(2+1)维耦合KdV方程达布变换间的关系及其孤子解

(2+1)维耦合KdV方程达布变换间的关系及其孤子解
黄坤;陈友军
【摘要】从KdV方程的谱问题出发,推导出它的孤子方程族,并由前两个非平凡的孤子方程导出一个新的(2+1)维耦合KdV方程及其对应的Lax对.借助零曲率方程得到三种达布变换,并讨论三种达布变换间的关系.借助达布变换,解出(2+1)维耦合KdV方程的孤子解及研究解的性态.利用计算机数学软件,画出了孤子解各种碰撞图形.%Hierarchy of soliton equations of KdV equation is obtained from its spectral problem. Based on the first two nontrivial soliton equations, a new (2+1) dimensional coupled KdV equation and its Lax pair are derived. With the help of zero curvature equation, three Darboux transformations ( DTs) are obtained, and further relations among these three DTs are discussed. By an application of DT, the multiple soliton solutions of (2 + 1) dimensional coupled KdV equation are given, and properties of solutions are discussed. Using mathematical software, various collision graphics of the soliton solutions are given.
【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》
【年(卷),期】2013(030)001
【总页数】8页(P71-78)
【关键词】KdV方程;达布变换;孤子解
【作者】黄坤;陈友军
【作者单位】华北水利水电学院数学与信息科学学院,郑州450011
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
(2+1）维耦合KdV方程最初用来描述在浅水中长波的扩散。

近年来，越来越多的物理现象都可用其来描述，例如，一维非线性lattice波;非线性电介质中电磁波与横向光学声子的相互作用;在两个水平面上的瑞本对流;非线性简谐振动及等离子体
运动学中离子声波等现象，因而受到物理学家和数学家的重视。

求解孤子方程的孤子解是非线性领域中极其重要的问题，近年来，已经有许多求解孤子解的方法，例如反散射方法、双线性(Hirota）方法、贝克隆(Bäcklund）变
换法、达布(Darboux）变换法，代数几何法等等［1］。

这些方法各有特点，也
有其内在联系。

其中，达布变换是一种行之有效的方法，它从平凡解出发得到孤子方程的孤子解。

考虑(2+1）维耦合KdV方程［1］
文献［1－2］通过研究(2+1）维耦合KdV方程的谱问题，得到一个有限维可积系统，并证明在刘维尔意义下完全可积，进而证明解的存在性。

本文在已有的基础上，利用相应的谱问题和达布阵方法，推导出一个(2+1）维耦合KdV方程及其对应的Lax对。

借助Lax对，构造出(2+1）维耦合KdV方程的三种不同的达布变换。

与以往的达布变换不同的是它需要一定的限定条件。

然后，研究前两种基本达布变换和第三种达布变换间的关系。

最后，从平凡解出发给出了(2+1）维耦合KdV方程的孤子解，利用计算机数学软件，画出了孤子解各种碰撞图形。

考虑(2+1）维耦合KdV方程的谱问题
其中，u和v是两个势，λ是一个谱参数。

相应的辅谱问题为
首先引入谱问题(1）和(8）的规范变换=Tφ，这里T由下式确定
从而Lax对(1）和(8）可转化为
谱问题的规范变换T称为达布变换(Daboux），在此作用下和保持形式不变(U和，V和除了将u，v换成¯外，具有相同的形式）。

假设第一种达布变换T1有下列形式
引理［3］1 设α满足一阶常微分方程
则方程(1）的一组解(u，v）在第三种达布变换¯φ =Tφ 作用下，映射为一组新的解(¯u，¯v），
同理可证方程(13）～(14）其余各式成立。

(2+1）维耦合KdV方程有三类达布变换，那么它们之间是否有内在联系，相应的孤子解又有何关系?以下考虑n=1的特殊情形下三类达布变换之间的关系。

情形(II）当n=1时，假定第二类基本达布变换T2将(u，v）映射为(¯u，¯v），
第一类基本达布变换T1进
同理可证方程(35）其余各式成立。

综合定理2和定理3可得
即n=1时，三类达布变换间的关系，如下图所示
由三类达布变换间的关系，可得到以下定理
定理4 设φ1，φ2和ψ1，ψ2是λ =λ1，λ =λ2时方程(1）和(8）的解，则
其中
1.两个正碰的孤子解
当λ1＜－1，λ2＞1 时，两孤子解 u，v相互正碰，如图1。

2.两个追赶碰撞的孤子解
当λ2＞λ1＞1，两孤子解 u，v相互追赶碰撞。

3.周期解
当|λ1|＜1，|λ2|＜1 时，两孤子解 u，v是周期解，如图2 所示。

达布变换是求解孤子方程行之有效的方法。

本文从平凡解出发，通过达布变换，求解出谱问题(1）和(8）的新孤子解。

如果利用三类达布变换间的关系，会获得更多孤子解及其碰撞的情形。

【相关文献】
［1］GENG Xiang－guo，CAO Ce－wen.Quasi－periodic solution of the(2+1）－dimensional modified Korteweg－de equation［J］.Physics Letters A，1999，261:289－296.
［2］ZHANG J S，WU Y T，LI X M.Quasi－periodic solution of the(2+1）－dimensional Boussinesq－Burgers soliton equation［J］.Journal of Physics A，2003，319:213－232. ［3］LI Y S，MA W X，ZHANG J E.Darboux transformations of classical boussinesq system and its new solutions［J］.Physics Letters A，2000，275:60－66.
［4］LIU Ping，ZHANG Jin－shun.Darboux transformations of Broer－Kaup system and its odd－soliton solutions［J］.Journal of Southwest China Normal U－niversity，2006(5）:31－36.
［5］李云晖，张俊超，崔明根.二阶非线性常微分方程组的精确解［J］.黑龙江大学自然科学学报，2011，28(3）:324－329.
［6］代群，李辉来.一类非线性分数阶微分方程组的爆破解［J］.吉林大学学报(理学版），2012，50(1）:1－5.。