高中数学第5章函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值pptx课件新人教A版选择性必修第二册
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第五章 一元函数的导数及其应用
5．3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．借助教材实例了解函数的极值及相关的概念． 2．能利用导数求某些函数极值．
1．了解函数极值的概念，会从几何直观角度理解函数的极值与导 数的关系，并会灵活应用．(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
[解析] (1)因为导函数的图象如图，可知导函数图象中有4个函数值 为0，
即f ′(a)＝0，f ′(b)＝0，f ′(c)＝0，f ′(d)＝0 x∈(－∞，a)，函数是增函数，x∈(a，b)，函数是减函数，x∈(b， c)，函数是增函数，x∈(c，d)函数是减函数，x∈(d，＋∞)，函数是增函 数， 可知极大值点为：x＝a，x＝c；极小值点为：x＝b，x＝d. 故选C.
A．－1
B．0
C．2
D．3
[解析] f(x)＝x3－x2－x＋3 的定义域为 R， 所以 f ′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋1x－1， 所以当 x<－13或 x>1 时，f ′(x)>0，当－13<x<1 时，f ′(x)<0， 所以 f(x)在－∞，－13和1，＋∞上单调递增，在－13，1上单调递 减， 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值，该值为 f1＝2. 故选 C.
(2)由图象可知：当x＝±3时，函数取极小值0；当x＝0时，函数取极 小值3；当x＝±1时，函数取极大值4.
注：这个函数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均不存 在．
[规律方法] 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x) 的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出 f(x)的单调区间 及极(最)值点，如果给的是 f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正 变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
[解析] (1)若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值，不正确，反例y ＝x3中，f ′(0)＝0，但是x＝0不是函数的极值点，故A不正确；对于B， 例如f(0)＝0是f(x)＝|x|的极小值，但f(x)＝|x|在x＝0处不可导，所以错误； 对于C，函数f(x)可有多个极大值和极小值，所以错误．对于D，根据可 导函数判断是否存在极值的条件，可得若方程f ′(x)＝0无实数解，则定 义在R上的函数f(x)无极值，所以正确．
2．掌握函数极值的判定及求法．(逻辑推理、数学运算) 3．掌握函数在某一点取得极值的条件．(数学抽象、逻辑推理)
必备知识•探新知
知识点 1 极小值、极大值的概念
极小值
极大值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a) 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值
比它在点x＝a附近其他点的函数值都 f(b)比它在点x＝b附近其他点的
函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函 b叫做函数y＝f(x)的极大值点，
数y＝f(x)的极小值
f(b)叫做函数y＝f(ຫໍສະໝຸດ )的极大值图象极小值
极大值
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
想一想：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 提示：可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点 不一定是该函数的极值点，因此可导函数的导数值为0只是该点为极值 点的必要条件，其充要条件是该点处导数值为0且该点附近两侧的导数 值异号．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
函数极值概念的理解
典例 1 (1)函数f(x)的定义域为R，其导函数f ′(x)的图象如图所 示，则函数f(x)( C )
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
(2)已知函数y＝|x2－2|x|－3|的图象如图所示，由图象指出该函数的 极值．
(2)(2023·北 京 八 中 高 二 检 测 ) 如 图 所 示 是 函 数 y ＝ f(x) 的 导 函 数 y ＝ f′(x)的图象，给出下列结论：
①－2是函数f(x)的极值点； ②1是函数f(x)的极值点； ③f(x)在x＝0处切线的斜率小于零； ④f(x)在区间(－2,2)上单调递增． 其中正确结论的序号是__①__④___.(写出所有正确命题的序号)
① 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 f′(x)>0 ， 右 侧 f′(x)<0 ， 那 么 f(x0) 是 __极__大__值___；
② 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 f′(x)<0 ， 右 侧 f′(x)>0 ， 那 么 f(x0) 是 __极__小__值___.
练一练：函数f(x)＝x3－x2－x＋3的极小值是( C )
小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近
定 义
的左侧______f′__(_x_)<__0______，右侧 ______f′__(_x_)>__0______，就把点a叫做
函数值都大，f ′(b)＝0；而且在 点x＝b附近的左侧f ′(x)>0；右 侧______f′__(_x_)_<_0______，就把点
练一练：若函数y＝f(x)可导，则“f ′(x)＝0有实根”是“f(x)有极 值”的( A )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点 2 函数极值的求解步骤
一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是： (1)求出函数的定义域及导数f ′(x)； (2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)； (3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间， 可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； (4)由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f ′(x)＝0的各个根处 的极值情况：
对点训练❶ (1)下列说法正确的是( D ) A．若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值 B．若f(x0)是函数f(x)的极值，则f(x)在x0处有导数 C．函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值 D．定义在R上的可导函数f(x)，若方程f′(x)＝0无实数解，则f(x)无 极值
5．3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．借助教材实例了解函数的极值及相关的概念． 2．能利用导数求某些函数极值．
1．了解函数极值的概念，会从几何直观角度理解函数的极值与导 数的关系，并会灵活应用．(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
[解析] (1)因为导函数的图象如图，可知导函数图象中有4个函数值 为0，
即f ′(a)＝0，f ′(b)＝0，f ′(c)＝0，f ′(d)＝0 x∈(－∞，a)，函数是增函数，x∈(a，b)，函数是减函数，x∈(b， c)，函数是增函数，x∈(c，d)函数是减函数，x∈(d，＋∞)，函数是增函 数， 可知极大值点为：x＝a，x＝c；极小值点为：x＝b，x＝d. 故选C.
A．－1
B．0
C．2
D．3
[解析] f(x)＝x3－x2－x＋3 的定义域为 R， 所以 f ′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋1x－1， 所以当 x<－13或 x>1 时，f ′(x)>0，当－13<x<1 时，f ′(x)<0， 所以 f(x)在－∞，－13和1，＋∞上单调递增，在－13，1上单调递 减， 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值，该值为 f1＝2. 故选 C.
(2)由图象可知：当x＝±3时，函数取极小值0；当x＝0时，函数取极 小值3；当x＝±1时，函数取极大值4.
注：这个函数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均不存 在．
[规律方法] 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x) 的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出 f(x)的单调区间 及极(最)值点，如果给的是 f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正 变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
[解析] (1)若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值，不正确，反例y ＝x3中，f ′(0)＝0，但是x＝0不是函数的极值点，故A不正确；对于B， 例如f(0)＝0是f(x)＝|x|的极小值，但f(x)＝|x|在x＝0处不可导，所以错误； 对于C，函数f(x)可有多个极大值和极小值，所以错误．对于D，根据可 导函数判断是否存在极值的条件，可得若方程f ′(x)＝0无实数解，则定 义在R上的函数f(x)无极值，所以正确．
2．掌握函数极值的判定及求法．(逻辑推理、数学运算) 3．掌握函数在某一点取得极值的条件．(数学抽象、逻辑推理)
必备知识•探新知
知识点 1 极小值、极大值的概念
极小值
极大值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a) 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值
比它在点x＝a附近其他点的函数值都 f(b)比它在点x＝b附近其他点的
函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函 b叫做函数y＝f(x)的极大值点，
数y＝f(x)的极小值
f(b)叫做函数y＝f(ຫໍສະໝຸດ )的极大值图象极小值
极大值
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
想一想：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 提示：可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点 不一定是该函数的极值点，因此可导函数的导数值为0只是该点为极值 点的必要条件，其充要条件是该点处导数值为0且该点附近两侧的导数 值异号．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
函数极值概念的理解
典例 1 (1)函数f(x)的定义域为R，其导函数f ′(x)的图象如图所 示，则函数f(x)( C )
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
(2)已知函数y＝|x2－2|x|－3|的图象如图所示，由图象指出该函数的 极值．
(2)(2023·北 京 八 中 高 二 检 测 ) 如 图 所 示 是 函 数 y ＝ f(x) 的 导 函 数 y ＝ f′(x)的图象，给出下列结论：
①－2是函数f(x)的极值点； ②1是函数f(x)的极值点； ③f(x)在x＝0处切线的斜率小于零； ④f(x)在区间(－2,2)上单调递增． 其中正确结论的序号是__①__④___.(写出所有正确命题的序号)
① 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 f′(x)>0 ， 右 侧 f′(x)<0 ， 那 么 f(x0) 是 __极__大__值___；
② 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 f′(x)<0 ， 右 侧 f′(x)>0 ， 那 么 f(x0) 是 __极__小__值___.
练一练：函数f(x)＝x3－x2－x＋3的极小值是( C )
小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近
定 义
的左侧______f′__(_x_)<__0______，右侧 ______f′__(_x_)>__0______，就把点a叫做
函数值都大，f ′(b)＝0；而且在 点x＝b附近的左侧f ′(x)>0；右 侧______f′__(_x_)_<_0______，就把点
练一练：若函数y＝f(x)可导，则“f ′(x)＝0有实根”是“f(x)有极 值”的( A )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点 2 函数极值的求解步骤
一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是： (1)求出函数的定义域及导数f ′(x)； (2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)； (3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间， 可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； (4)由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f ′(x)＝0的各个根处 的极值情况：
对点训练❶ (1)下列说法正确的是( D ) A．若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值 B．若f(x0)是函数f(x)的极值，则f(x)在x0处有导数 C．函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值 D．定义在R上的可导函数f(x)，若方程f′(x)＝0无实数解，则f(x)无 极值