西安交通大学概率论实验报告-蒙特卡洛法

西安交通大学实验报告
课程：概率论与数理统计
实验日期：2013/12/22
报告日期：2013/12/24
专业班级：
姓名：学号：
实验内容：用蒙特卡洛方法估计积分值
要求：（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；
（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值；
（3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。

目的：（1）能通过 MATLAB 或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数及其期望、方差、协方差等；
（2）熟练使用 MATLAB 对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；
（3）能用 MATLAB 熟练进行样本的一元回归分析。

1用蒙特卡洛方法估计积分2
sin
x xdx
π
⎰，2
x
e dx
+∞
⎰和22
221
x y
x y
e dxdy
+
+≤
⎰⎰的
值，并将估计值与真值进行比较。

1)2
sin
x xdx
π
⎰用区间为0-π/2的均匀分布产生；
代码如下
N=10000;
x=unifrnd(0,pi/2,N,1); mean(x.*sin(x)*pi/2)
计算出10次的数值
计算出精确值：
syms x ;
int(x.*sin(x),0,pi/2)
精确值为1；
计算出均值：1.00158
计算出均方误差：0.0000637580
结论：这是一个计算积分的很好的近似，误差很小。

接下来考虑计算第二个积分：
2)考虑
2
x
e dx +∞
⎰
由对称性可以考虑正态分布N（0,1），代码如下：N=10000;
x=normrnd(0,1,N,1)
0.5*mean((sqrt(2.*pi)).*exp(-x.^2./2))
求出均值为0.88598取0.8860
计算出均方误差为：0.000018204
说明误差允许范围内，可以用其作为积分的近似。

若考虑用参数为1的指数分布E（1）
代码为：
N=10000;
x=exprnd(1,N,1)
mean(exp(-x.^2./2+x))
精确值为：0.8862
计算出平均值为：1.25164
计算出均方误差为：0.13356381
和正态分布比相去甚远，效果不如正态分布
3)
22
221
x y
x y
e dxdy
+
+≤
⎰⎰利用代码计算出积分：
N=10000;
x=unifrnd(0,1,N,1) //已经转换为极坐标，r在[0,1]取值，取[0,1]均匀分布2*pi*mean(x.*exp(-x.^2))
计算出十个值为：
计算出平均值为：1.98397
计算出均方误差为：0.000059
其值与精确值非常接近，可以作为一个很好的近似
第二类题：
4) dx e x ⎰102
用如下代码计算：
N=10000;
x=unifrnd(0,1,N,1) //[0,1]上的均匀分布
mean(exp(x.^2))
计算出平均值为：1.4619
计算出标准偏差为：0.003304 ，说明波动性较小
计算出均方误差为：0.000010
其值与精确值非常接近，可以作为一个很好的近似
5)
用如下代码计算：
N=10000;
x=unifrnd(0,2,N,1) //转换为极坐标后取[0,2]的均匀分布
4*pi*mean(x./sqrt(1+x.^2))
计算出平均值为：7.76363
计算出标准偏差为：0.015241，说明波动性较小
计算出均方误差为：0.000217
其值与精确值非常接近，可以作为一个很好的近似
22x y x d y +≤⎰⎰。