Chapter8二维固体力学问题分析

ix iy jx jy kx kj

3、单元载荷矩阵

分量为px和py的分布载荷所做的功：
W up vp dA x y
( e ) A
u和v：x和y方向的位移； A：分布载荷作用范围的面积，其大 小为单元厚度t 和分布载荷作用边长 的乘积。

如使用三角形单元 表示位移，则分布载荷所做的功：

实际上，对于四边形等参单元，其方法类似， 只不过过程更加繁琐，这里给出最终结果。
二、四边形等参单元

四边形等参单元的单元刚度矩阵：
1 T K( t ) AD AD det Jd d e 2 1 1
( e ) 11
te 单元厚度；
( 1 ) x ( 1 ) x ( 1 ) x ( 1 ) x ( 1 ) y ( 1 ) y ( 1 ) y ( 1 ) y 1 i j m n i j m n J ( 1 ) x ( 1 ) x ( 1 ) x ( 1 ) x ( 1 ) y ( 1 ) y ( 1 ) y ( 1 ) y 4 i j m n i j m n
得到单元刚度矩阵K(e)：
( e ) T T K B μB dV V B μB V
V是单元的体积
3、单元载荷矩阵

对于最小总势能法： 对于由n个单元m个节点构成的稳定系 统，平衡位置上产生的位移总会使系统的总 势能最小：
m n ( e ) F u 0 i 1 ， 2 ， 3 ， ... ， n i i u u u 1 1 i ie i i
第八章 二维固体力学问题分析
孙 会 2012.4
本章内容
一、平面应力问题（重点，熟悉） 二、四边形等参单元（重点、难点） 三、轴对称问题（了解） 四、ANSYS应用（重点，掌握） 五、结果验证（重点，熟悉）
一、平面应力问题
1、基本概念与相关公式 2、单元刚度矩阵 3、单元载荷矩阵
1、基本概念与相关公式


1 E μ 1 2 0

1 0
0 0 1 2
J 0 0 J 22 12 1 A 0 0 J J 21 11 det J J J J J 21 11 22 12
对应单元 刚度矩阵
对应单元 载荷矩阵
2、单元刚度矩阵

对于平面应力问题，应变能：
1 ( e ) dV xx xx yy yy xy xy 2 V
1 T σ εdV 2V
(e)
，
T T T T T
Z方向没有施加力
三维问题变为平面应力问题：
σ
T
XXYYXY
备注：在应力分量的表示中， 第一个下角标对应应力所在 面的法向方向，第二个下角 标对应应力的方向。
1、基本概念与相关公式
图8.2 平面应力状态
1、基本概念与相关公式
(2)任一点的应变状态
T
ε
三、轴对称问题

轴对称问题：几何形状和载荷关于某个轴对 称，可用二维轴对称单元进行分析。 轴对称单元刚度矩阵的推导步骤与平面应力 问题类似。差别在于，平面应力问题采用直 角坐标系；而轴对称问题使用柱坐标系。


轴对称三角形单元的刚度矩阵：
( e ) T K 2 B BrdA
四、ANSYS应用
对应单元 刚度矩阵
对应单元 载荷矩阵
关键：获得功 的表达形式
3、单元载荷矩阵

W U Q( e ) T集 Nhomakorabea载荷Q：
U Q U Q U Q U Q U Q U Q ix ix iy iy jx jx jy jy k x k x k y ky
F
(e)
Q Q Q Q Q Q
F (e) STpdA
A
3、单元载荷矩阵
沿k－i 边：
F(e) STp dA
tL ik 2
A
沿i－j 边：
px p y tL ij p x ， F 2 py 0 0
沿j－k 边：
0 0 tL jk p x 2 py px py
px p y 0 0 px p y
F
(e)
(e)
二、四边形等参单元

上面针对平面应力问题，采用最小总势能法， 以线性三角形单元为例，推导获得了单元刚度 矩阵和单元载荷矩阵。
xx (S U SjU S U ) i i x j x k kx






ε
B
U
2、单元刚度矩阵
(e)
1 T ε με dV 2V
ε BU
1 T 1 T T ε με dV U B μBU dV 2 2 V V
( e )
求关于节点位移的微分：
( e ) 1 T T UBμBU dV ， k ＝ 1,2,...6 U U 2 k k V
Z方向没有位移w=0 三维问题变为平面应变问题
1、基本概念与相关公式
(3)应力和应变的关系---虎克定律
xx yy zz xy
1 xx yy zz E 1 yy xx zz E 1 zz xx yy E 1 1 1 xy， yz yz， zx zx G G G
σ με
σ

μ
ε
应变和位移的关系：
u v u v ， ， xx yy xy x y y x
2、单元刚度矩阵

采用最小总势能法： 对于由n个单元m个节点构成的稳定系 统，平衡位置上产生的位移总会使系统的总 势能最小：
m n ( e ) F u 0 i 1 ， 2 ， 3 ， ... ， n i i u u u 1 1 i ie i i






E弹性模量；
泊松比；
G 弹性剪切模量。
1、基本概念与相关公式

对于平面应力问题，虎克定律变为：
xx 0 xx 1 E 0 yy yy 1 2 1 1 xy 0 0 xy 2
XX YY ZZ XY YZ XZ
采用6个独立的应力分量表示，其中 XX、 YY、 ZZ正应变， XY、 YZ、 XZ剪应变。
u v w ， yy ， zz xx x y z u v v w u w xy ， yz ， xz y x z y z x

基本原理基于静力平衡条件。 具体操作可取其中一个截面，利用ANSYS 计算出该截面上的受力情况，并对该截面 进行积分，之后看计算结果是否和施加的 外力相等，是否满足静力平衡条件。

W [( U S U S U S ) p ( U S U S U S ) p ] dA
( e ) ix i jx j kx kx iy i jy j ky ky A
F
(e)


A
Sipx S p i y S jpx dA S jp y Sk px S k p y
S j 0 S k 0 Si 0
3、单元载荷矩阵----推导过程
推导过程：
( e ) W up vp dA x y A
u u v
A
px p py
Uix U iy 0 U jx Sk U jy Ukx Uky
(e ) W UTSTp dA A
F (e) STpdA
A
U U px U p U U py U U
ix iy jx jy kx ky
S
T
Si 0 S j 0 S k 0
(e)
1 T ε με dV 2V
关键：构造应变矩 阵的表达形式
2、单元刚度矩阵
以线性三角形单元为例：

xx
yy
xy
u x 等参 公式 v y u v y x
1 U jU U i i x j x k kx x 2 A 1 yy (S U S U S U ) U jU U i iy j jy k ky i i y j y k ky y 2 A 1 xy U U jU jU U U i i x i i y j x j y k kx k ky 2 A Uix U iy xx i 0 j 0 k 0 1 U jx yy 2A 0 i 0 j 0 k U ε B U xy i i j j k k jy U kx Uky
U
W
(e)
ix
U iy
U jx
U jy
U kx
U ky

Si 0 S j A 0 Sk 0
0 Si 0 px dA S j py 0 Sk
3、单元载荷矩阵----推导过程
W
( e )
p x U S U S U S U S U S U S dA ix i jx j kx k iy i jy j ky k p y A
W(e) uTpdA
T T T u U S
(e ) W UTSTp dA A
u Si u v 0
0 Si
Sj 0
0 Sj
Sk 0
u SU
T T TT u S U U S
3、单元载荷矩阵----推导过程
(e ) W UTSTp dA A
( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 1 D 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 4 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0


微元法
材料体内任一点
外力作用 产生内力 产生应力、应变
图8.1 任一点上的应力分量
如何描述材料体内任一点的应力、应变状态？
1、基本概念与相关公式
(1)任一点的应力状态
T
σ
XX YY ZZ XY YZ XZ
采用6个独立的应力分量表示，其中XX、YY、ZZ正 应力，XY、YZ、XZ剪应力。

设有一支撑书架的钢托 架，E＝29106lb/in2， ＝0.3。该托架上表面承 受均布载荷，左端固定。 试在给定的载荷和约束 下，绘制托架变形后的 形状，并确定托架的主 应力和von Mises应力。
四、ANSYS应用
图8.6 钢托架示意图
四、ANSYS应用

具体过程软件演示。
五、结果验证