《奇偶性》完美课件 人教版1

数学 必修1 配人教 A版
第一章 集合与函数概念
2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
答案：B
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第一章 集合与函数概念
3．奇函数f(x)的定义域是(t,2t＋3)，则t＝________. 答案：－1
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第一章 集合与函数概念
(2)因为x∈R，所以－x∈R. 又因为f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (3)显然函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以 f(x)是非奇非偶函数．
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第一章 集合与函数概念
题型二 奇、偶函数的图象 【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5] 上的图象如图所示．
(1)画出函数f(x)在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0成立的x的取值集合．
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第一章 集合与函数概念
|方法总结| 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或 [0，＋∞))上对应的函数图象． [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0) 关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0).
(3)已知f(x)＝ax3＋bx＋1，且f(2)＝3，求f(－2)的值．
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[解] (1)∵f(x)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， 即ax2－bx＋1＝ax2＋bx＋1，∴b＝0， 又f(x)的定义域为3a－2，2a＋13， ∴3a－2＋2a＋13＝0，得a＝13. 故5a＋3b＝53.
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第一章 集合与函数概念
题型三 利用函数的奇偶性求参数
【例3】 (1)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在 3a－2，2a＋13 上的偶函数，求5a＋3b的值；
(2)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＋ b，求f(－1)的值；
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(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．
即有－1≤x≤1，且x≠0，
则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又因为f(－x)＝
1－－x2 －x
＝－ 1－x x2＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
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第一章 集合与函数概念
函数f(x)叫做奇函数
图象特征 图象关于 3 _y_轴____对称 图象关于 4 _原__点____对称
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第一章 集合与函数概念
[思考辨析]|判断正误| 1．奇、偶函数的定义域都关于原点对称．( √ ) 2．函数f(x)＝x2的图象关于原点对称．( × ) 3．对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝－f(1)，则函数f(x) 一定是奇函数．( × ) 4．若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( √ )
‖自主导学‖ 知识点|函数的奇偶性
阅读教材P33～P35的内容，完成下列问题． 函数奇偶性的概念
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第一章 集合与函数概念
偶函数
奇函数
对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
定 条件
f(－x)＝ 1 ___f(_x_)_
f(－x)＝ 2 __－__f(_x)
义
结论 函数f(x)叫做偶函数
1 课前自主学习
登高揽胜 拓界展怀
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第一章 集合与函数概念
学习目标
1．了解函数奇偶性的概念． 2．掌握判断函数奇偶性的方法． 3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系． 4．会利用函数的奇偶性解决简单问题．
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第一章 集合与函数概念
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第一章 集合与函数概念
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解：(1)因为x∈R， 所以－x∈R， 又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数．
第一章 集合与函数概念
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第一章 集合与函数概念
|方法总结|
1用定义法判断fx的奇偶性，应首先验证定义域是否关于
原点对称，其次要验证f－x与fx的关系，即f－x＝fx或f－x
＝－fx，有时还可以用其等价式f－x±fx＝0或
f－x fx
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第一章 集合与函数概念
[解] (1)函数f(x)＝1x的定义域为{x|x∈R且x≠0}， 因为对定义域内的每一个x， 都有f(－x)＝－1x＝－1x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝1x为奇函数．
用结论时要注意各函数的定义域！
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1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (2)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2； (3)f(x)＝ 1－x x2； (4)f(x)＝x－＋x1＋，1x，>x0<，0.
1. 提高效率 Increase the Efficiency 2. 创造未来 To create the future 3. 铸就辉煌 C a s t b r i l l i a n t
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第一章 集合与函数概念
1.3.2 奇偶性
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第一章 集合与函数概念
(3)设F(x)＝f(x)－1＝ax3＋bx，
显然F(x)为奇函数．
∴F(－2)＝－F(2)＝－[f(2)－1]＝－2，又F(－2)＝f(－2)－
1，
∴f(－2)＝－2＋1＝－1.
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第一章 集合与函数概念
|方法总结| 利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据 定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比 较系数即可求解.
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第一章 集合与函数概念
解析：由奇、偶函数的定义知y＝－|x|为偶函数，故①不正 确；
注意到函数y＝x2(x∈(－1,1])的定义域不关于原点对称，可知 它既不是奇函数也不是偶函数，故②不正确；
由奇函数的定义知③正确； 由奇、偶函数的运算性质知④正确． 答案：③④
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第一章 集合与函数概念
[互动探究2] [变条件]将本例中的“奇函数”改为“偶函 数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．
[解] 因为函数f(x)是偶函数， 所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称． 由y＝f(x)在[0,5]上的图象， 可知它在[－5,0]上的图象， 如图所示．
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第一章 集合与函数概念
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝ f(x)，f(x)为偶函数．
第一章 集合与函数概念
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(2)∵f(x)为定义在R上的奇函数，
第一章 集合与函数概念
∴f(0)＝02＋2×0＋b＝0，∴b＝0，
∴当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(12＋2×1)＝－3.
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第一章 集合与函数概念
4．给出下列四个函数的论断： ①y＝－|x|是奇函数； ②y＝x2(x∈(－1,1])是偶函数； ③y＝－2x是奇函数； ④若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内f(x)·g(x) 为奇函数． 其中正确的有________．(把所有正确论断的序号全填上)
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第一章 集合与函数概念
解：(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－ 2,0)，连线可得f(x)的图象如图．
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知， xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
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＝
±1fx≠0来判断.
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第一章 集合与函数概念
2在选择、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶 性：
①偶函数的和、差、积、商分母不为零仍为偶函数；②奇 函数的和、差仍为奇函数；③奇偶数个奇函数的积、商分母不 为零为奇偶函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
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第一章 集合与函数概念
‖小试身手‖
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x
B．y＝2x2－3
C．y＝
1 x
D．y＝x2，x∈[0,1]
答案：B
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第一章 集合与函数概念
(2)因为函数f(x)的定义域为{－1,1}， 关于原点对称， 且f(x)＝0， 又因为f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
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第一章 集合与函数概念
2．定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象； (2)解不等式xf(x)>0.
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第一章 集合与函数概念
[互动探究1] [变问法]在本例条件下，试比较f(3)与f(－3)的 大小．
[解] 由图象可知f(3)<0，f(－3)>0， 故f(3)<f(－3)．
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第一章 集合与函数概念
2 课堂互动探究
剖析题型 总结归纳
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题型一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝1x； (2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝x－x 1.
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第一章 集合与函数概念
[解] (1)因为函数f(x)是奇函数， 所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在 [0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使函数值y<0即f(x)<0的x的取值集合为(－2,0) ∪(2,5)．