高二数学上学期期末考试模拟试题

高二数学上学期期末考试模拟试题
一、选择题：（每题5分，共60分） 1、若a<1,那么 （ D ）
（A ）a
1>1, (B)|a|<1, (C)a 2<1, (D)a 3<1 2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ B ） （A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式
x
x --23
≥0同解的不等式是 （ B ） A 、（x-3）(2-x)≥0 B 、0<x-2≤1 C 、
3
2--x x
≥0 D 、(x-3)(2-x)>0 4、直线3x+2y+6=0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则 （ C ）
(A)k=－23,b=3 (B)k=－32,b=-2 (C)k=－23,b=-3 (D) k=－3
2,b=-3 5、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么a 等于 （ B ） （A ）－3， （B ）－6， （C ）－23， （D ）3
2 6. 直线1y kx =+被圆22(1)2x y +-=所截得的弦AB 的长等于（ D ）
A ．2
B ．4
C ．
2 D ．22
7、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ B ）
（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=0 8、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距是（ D ）
（A ）29 （B ）29 （C ）
429 （D ）2
29 9、直线y=x –1上的点到圆x 2+y 2+4x –2y+4=0上的点的最近距离是 （ C ）
（A ）22 （B ）2－１ （C ）22－１ （D ）1
10、椭圆252x +9
2
y =1上一点p 到一个焦点的距离为5，则p
到另一个焦点的距离为（ A ）
（A ）5 （B ）6 （C ）4 （D ）10
11、双曲线： 的准线方程是19
162
2=-x y （ D ）
（Ａ）y=±
7
16 (B)x=±
516 (C)X=±7
16
(D)Y=±516 12、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ B ） （A ）（
a 41，0） （B ）（0, a 161）(C)(0, -a 161) (D) (a
161
,0) 二、填空题：（每题4分，共16分）
13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–2
1,3
1），则a-b= -10 .
14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 8 . 15、已知圆的方程⎩⎨
⎧-=+=θ
θ
sin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准
方程为（x-5）2+(y-3)2=42,
16、已知双曲线162x -9
2
y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两
个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程
为 13
522
22=+y x
三、解答题：（74分）
17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分）
17、证明：(a ）422466()b a b a b +-+
)()())(()()()()222224
4
2
2
224224426246>+-=--=---=-+-=b a b a b a b a b a b b a a b a b b a a
于是422466422466,0)()b a b a b a b a b a b a +>+>+-+即 18. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<． 18.解：0a =时，解得x ＞1；0a ≠时，1
()(1)0a x x a
--<，……………………4分
若a ＞1，则解集为：1(,1)a
，………………………………6分若1a =，则解集为：φ，………………………………8分
若0＜a ＜1，则解集为：1(1,)a ，………………………………10分若a ＜0，则解集为：1(,)(1,)a
-∞⋃+∞，………………………………12分 综上，略………………………………13分
19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。

（12分）
19、解：设点M 的坐标为(x, y) , 点P 的坐标为(x ),00y ，则
x=x 44),(,2
,2
020220000=+=+=
y x y x y x P y y 上所以在圆因为 (1) 将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程
即14
22
=+y x ，所以点M 的轨迹是一个椭圆。

20.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 过点)23
,1(，且离心率e ＝12．
(Ⅰ）求椭圆方程；
(Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,8
1(G ，求k 的取值范围． 20解：由题意椭圆的离心率
2
1
==
∴a c e c a 2=∴ 22223c c a b =-=∴ ∴椭圆方程为13422
22=+c
y c x ……3分
又点)23,1(在椭圆上 13)23(41
22
2=+∴c
c 12=∴c
∴椭圆的方程为13
422=+y
x ……5分
(Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M 由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1
34
2
2 消去y 并整理得01248)43(222=-+++m kmx x k ……6分 ∵直线m kx y +=与椭圆有两个交点
0)124)(43(4)8(222>-+-=∆m k km ，即3422+<k m ……8分
又221438k km x x +-
=+ MN ∴中点P 的坐标为
)433,434(2
2k m
k km ++-……9分 设MN 的垂直平分线'l 方程：)8
1
(1--=x k y
p 在'l 上 )8
1
434(14332
2-+--=+∴k km k k m 即03842=++km k )34(81
2+-=∴k k
m ……11分
将上式代入得3464)34(22
22+<+k k
k 2012
>∴k 即10
5>
k 或105-<k k ∴的取值范围为),105
()105,(+∞--∞ ……………12分
21、某家具厂有方木料90m 3，五合板600㎡，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2㎡，生产每个书橱需方木料0.2m 3，五合板1㎡，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，问怎样安排同时生产书桌和书橱可使所获利润最大？（13分）
21、解：设生产书桌x 张，书橱y 张，由题意得
,0
600290
2.01.0⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥≥≤+≤+y o x y x y x 求Z=80x+120y 的最大值最优解为两直线 ⎩
⎨
⎧=+=+600290
2.01.0y x y x 的交点A （100，400）。

答：生产书桌100张，书橱400张时，可使生产利润最大。

22. 已知平面区域00
240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖． (Ⅰ)试求圆C 的方程；
(Ⅱ)若斜率为1的直线l 与圆C 交于点A 、B
，且AB =l 的方程.
22.解：(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形, …所以覆盖它的且面积最
小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),
………………4分 所
以
圆
C
的方程是
22(2)(1)5x y -+-=. …………………………………………6分
(2)设直线l 的方程是:y x b =+. … 因为AB =,所以圆心
C 到直线l , ……… 8分
即
=
解得:1b =-±所以直线l 的方程
是:
1y x =-………………………………………………12分
另解：设直线l 的方程是:y x b =+. 代人圆C 的方程是
22(2)(1)5x y -+-=
整理得：
222(26)20x b x b b +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121223,2
b b
x x b x x -+=-=
所以22121212()()4x x x x x x -=+-
所以2
222122()2(3)4(2)10AB x x b b b =-=---=解得：1b =-所以直线
l 的方程是:1y x =-（参照给分）。