第九章 外汇期权

当 t 0 时，上式可表示为：
dSt r r* St dt St dZt
它被称为几何布朗运动（Geometric Brownian Motion）， 被普遍用来描述金融资产价格（这里是汇率）的变化过程。
但是这一描述有一个缺陷： 当随机变量 时， Stt 有可能取负数。
在现实中，汇率不可能为负数。因此我们要进行一下改进。
首先，我们要引入伊藤过程（Ito Process）与伊藤引理 （Ito’s Lemma）。它们是由数学家伊藤（K. Ito）在1951 年提出来的。伊藤过程表述为：
x ax,tt bx,tZ
或者： dx ax,tdt bx,tdZ
很明显，几何布朗运动就是一个伊藤过程。
以伊藤过程为基础，我们可以推导出伊藤引理。
例： 一项期权为USD Call / JPY Put，称为美元买权、日元卖权， 表明期权的买方有权从卖方买入美元，同时卖出日元。 一项期权为USD Put / CHF Call，称为美元卖权、瑞士法郎 买权，表明期权的买方有权向卖方卖出美元，同时买入瑞 士法郎。
由此可见，由于外汇买卖意味着买入一种货币的同时也卖出另 一种货币，因此对一项外汇期权来说，它是一种货币的买权， 同时也是另一种货币的卖权。为了避免混淆，在描述外汇期权 时，必须明确它是哪一种货币的买权和哪一种货币的卖权。
Pt St
er*Tt N d1 1 0
2. 执行价格：X
被报价币欧式买入期权的价格 Ct 将随着 X 的上升（下降）
而下降（上升）。
X ICt Ct
Ct X
erT t N d 2 0
同理，我们也可以求出 ： Pt 0 X
3. 汇率波动率： ，它主要影响期权的时间价值。
TVt Ct
ln St
r
r
*
1 2
2
t
Z t t
Zt
r
r
*
1 2
2
t
t
t 为任意长度时间。
所以：
ln Stt
ln St
~
N
r
r*
1 2
2
t
,
2t
或者：
ln Stt
~
N ln
St
r
r*
1 2
2
t
,
2
t
我们称汇率 S 服从对数正态分布（Lognormal Distribution）。
r：本国利率、报价币利率；r*：外国利率、被报价币利率
在推导上式时，我们作了一个假定：投资期限为一年。
如果投资期限为 t 年 ，则UIP变为：
E Stt St St r r* t St
E
S St
t
St
r r*
t
令 St 的年波动率为 2，则有：
Va
r
S St
t
E
S
t
St
E
St St
St
2
2t
我们可以设计出 St 的一个表达式，以满足上面这个等式： St
St St
E
St St
St
t
其中： ~ N0,1
所以：
St r r* Stt St t r r* Stt StZt
其中： Zt Ztt Zt t
称为 Zt 遵从维纳过程（Wiener Process）。
解上面的那个定积分，得：
Ct erTt St err* Tt N d1 X N d2
St er*T t N d1 erT t X N d2
d1
ln
St X
r
r* T
1
2 t
2 TΒιβλιοθήκη td2 d1 T t
d1
N 为标准正态变量的概率分布函数，Nd1
发现影响外汇期权价格的因素有：即期汇率、执行价格、 汇率波动率、报价币与被报价币的无风险利率、距到期日 的期限等。
1. 即期汇率： St 被报价币欧式买入期权的价格 Ct 将随着 St 的上升（下降）
而上升（下降）。
Ct ICt TVt maxSt X ,0 TVt
St ICt Ct
假设S服从对数正态分布，不仅解决了S取负值的问题，而且 给出了S的概率密度函数，这为外汇期权定价提供了帮助。
根据：
ln Stt
~
Nln St
r
r*
1 2
2
t,
2t
我们可以推导出 Stt 的概率密度函数为：
f Stt St
1
St t
2t
exp
ln
St t
ln
St
r r*
t TVt Ct
即：在一般情况下，由于距到期日的期限越长，汇率变动的 可能性就越大，期权的价格也越高。
Ct
St
er*T t N d1
0
即期汇率的变动导致的期权价格的变动，或者说期权价格对
即期汇率的偏导数，我们又称为期权的Delta（ ）值。
EuropeanCall
Ct St
er*Tt N d1 0
类似地，我们也可以求出被报价币欧式卖出期权的 值：
EuropeanPut
USD1000万 1.50=JPY1500万。
（2）用被报价币的百分比报价：表示交易1单位被报价币期权 所需交纳的以被报价币计价的期权费（使用较为广泛）。
例：USD Put / CHF Call 交易金额：USD100万。 Premium：2.50%~2.80%
2.5%：报价方买入1美元的美元卖权所愿意支付的美元期权费。 报价方买入100万美元的美元卖权愿意支付的期权费为：
所以：
dx2 b2 2dt b2dt
因此：
dG G dx G dt 1 2G b2dt
x
t
2 x2
G adt bdZ G dt 1 2G b2dt
x
t
2 x2
G x
a
G t
1 2
2G x 2
b2
dt
G x
bdZ
现在我们就可以运用伊藤引理来解决我们前面提到的问题：
令：
G
ln St
例：USD Call / JPY Put： 交易金额：USD1000万 Premium：1.30~1.50
1.30： 报价方买入1美元的美元买权所愿意支付的日元期权费。 报价方买入1000万美元的美元买权愿意支付的期权费为：
USD1000万 1.30=JPY1300万。
1.50： 报价方卖出1美元的美元买权所要获得的日元期权费收入。 报价方卖出1000万美元的美元买权的期权费收入为：
Pt r *
St
T
t er*T t N d1 0
即：被报价币利率上升，被报价币欧式卖出期权价格上升。
利率的变动导致的期权价格的变动，或者说期权价格对利率
的偏导数，我们又称为期权的Rho（ ）值。
5. 距到期日的期限：T t ，它主要影响期权的时间价值。
T t TVt Ct
或者：
那么，在期权订立之初的t时点，期权的价格应为：
Ct erTt E max ST X,0 St
erT t max ST X ,0 f ST St dST
0
erTt ST X f ST St dST
X
将 t T t 代入 f Stt St ，就可以得到 f ST St 。
（二）根据期权执行时间的不同，分为： 1.欧式期权European Option：P194 2.美式期权American Option：P194 3.百慕大期权Bermudan Option：P197。
（三）其他分类：参见书P196。
三、外汇期权的基本术语：书P193 1. 期权的买方：Option’s Buyer / Holder；
Ct
er* T t
St
N d1 d1
Pt Ct 0
T t 0
汇率波动率的变动导致的期权价格的变动，或者说期权价
格对汇率波动率的偏导数，我们又称为期权的Vega /
Kappa（ ）值。
4. 报价币与被报价币的利率：r 与 r*
（1）报价币利率变化对期权价格的影响：
Ct r
X
T t erT t N d2 0
期权的卖方：Option’s Seller / Writer。 2.执行价格：Strike / Exercise Price 3.到期日：Expiry / Expiration Date
4. 期权费（权利金）Premium、期权价格 Option’s Price
外汇期权期权费的报价方式主要有两种： （1）用报价币的点数报价：以报价币表示被报价币的单位价。
伊藤引理：若变量 x 遵循伊藤过程，则变量 x 与 t 的函数
Gx,t 将遵循如下过程：
dG
G x
a
G t
1 2
2G x 2
b2
dt
G x
bdZ
证明： 已知 G Gx,t ，
根据泰勒展开式（Taylor series expansion），有：
G
G x
x
G t
t
1 2
2G x2
x2
2G xt 1 2G t2 ......
P194 最后一段给出了三者的定义。
2.时间价值 Time Value：是期权价格超过其内在价值的部分。
时间价值 = 期权价格 内在价值
（二）影响外汇期权价格的因素： 我们可以通过学习外汇期权的定价模型，来分析外汇期权的 价格具体是由哪些因素决定和影响的。
首先，回忆一下非抵补利率平价：UIP
E St1 St St r r* St
即：报价币利率上升，被报价币欧式买入期权价格上升。
（2）被报价币利率变化对期权价格的影响：
Ct r *
St T t er*T t N d1 0
即：被报价币利率上升，被报价币欧式买入期权价格下降。
类似地，我们也可以计算得出：
Pt r
X T t erT t N d2 0
即：报价币利率上升，被报价币欧式卖出期权价格下降。
2.外汇期权买卖双方的权利与义务是不对等的：买方只有权利 而无义务，卖方只有义务而无权利。所以期权买方拥有的权 利是有价值的：期权费（期权价格）。
二、外汇期权的种类： （一）根据期权买方权利的不同，分为： 1.看涨期权（买入期权）：Call Option 书P194 2.看跌期权（卖出期权）：Put Option 书P194
1
y2
e 2 dy
2
我们这里推导出的欧式被报价币买入期权的定价公式就是 书P214的（10.2.57）。类似地，我们也可以推导出欧式被 报价币卖出期权的定价公式，即（10.2.58）。
通过被报价币欧式买入期权的定价公式：
Ct St er*T t N d1 erT t X N d2
第七章 外汇期权
Currency Option
一、外汇期权的概念：书P193
1.区分期权的买卖方与标的资产的买卖方（标的资产Underlying Asset：期权合约中买卖的某种货币）。 （1）期权的买方：拥有买卖某种货币的权利，他既可以是某 种货币的买方，也可以是某种货币的卖方。
（2）期权的卖方：承担买卖某种货币的义务，他既可以是某 种货币的买方，也可以是某种货币的卖方。
USD100万 2.50%=USD2.5万。
2.80%：报价方卖出1美元的美元卖权所获得的美元期权费。 报价方卖出100万美元的美元卖权的期权费收入为：
USD100万 2.80%=USD2.8万。
四、外汇期权价格（期权费、权利金）的价值分析：
（一）期权价格的构成： 1. 内在价值 Intrinsic Value：定义：P202 。
，则： G St
1 St
，2G St 2
1 St 2
，G 0 。 t
将它们代入伊藤引理中，则有：
d ln St
r
r
*
1 2
2
dt
dZ
若汇率的变动遵循上式，就不可能取负值。
对上式在 t,t t 上进行积分：
tt d ln St
t
rr
*
1 2
2
t
t
d
t
t
t t
dZt
t
ln Stt
xt
2 t 2
因为： x ax,tt bx,tZ
所以： x2 a2 t2 2abtZ b2 Z 2
a2 t2
2a
b
t
3 2
b2
2 t
当
t
0
时，t 2
、t
3 2
都是比 t
高阶的无穷小，
所以：
dx2 b2 2dt
同时：
E 2dt dtE 2 dt
Var 2dt dt2Var 2 0
（1）被报价币买权在 t 时点的内在价值：
ICt maxSt X ,0
（2）被报价币卖权在 t 时点的内在价值：
IPt maxX St ,0
（3）实值期权 In-the-Money：有内在价值的期权 平值期权 At-the-Money ：没有内在价值 虚值期权 Out-of-the-Money ：没有内在价值
2 2t
1
2
2
2
t
以前面的这些知识为基础，现在我们来看看外汇期权的定价 机制。为简单起见，我们考察一种最为简单的期权：在t时点 订立的，到期日为T时点（T > t）、执行价格为X的欧式被报
价币买入期权（European Call Option）。设其价格为 Ct 。
在到期日，期权的价值为： maxST X ,0