高考数学复习点拨 复数中的数形结合

复数中的数形结合
因为复数i b a z +=与复平面上的点()b a Z ,是一一对应的，体现了数与形上的对应，所以在复数中利用数形结合解某些问题不仅巧妙，而且也体现出一种数学之美． 知识点：设动点Z 、定点1Z 、2Z 分别表示复数z 、1z 、2z 所对应的点，则 ⑴1z z -的几何含义：点Z 到点1Z 的距离； ⑵r z z =-1表示以r 为半径，点1Z 为圆心的圆； ⑶21z z z z -=-表示线段的垂直平分线，其中点1Z 、2Z 是线段的两个端点； ⑷a z z z z 221=-+-，当212Z Z a =时，表示线段1Z 2Z ； 当212Z Z a >时，表示以点1Z 、2Z 为焦点，a 2为长轴长的椭圆； 上述几种曲线都可以结合⑴当中的1z z -的几何含义来理解，比如，⑶中1z z -表示点Z 到点1Z 的距离，2z z -表示点Z 到点2Z 的距离，即点Z 到点1Z 的距离与到点2Z 的距离相等，所以，点Z 的轨迹是线段1Z 2Z 的垂直平分线．
下面举例说明数形结合的用法：
例1．若24i 3≤++z ，则z 的最大值为．
解析：由24i 3≤++z 知，复数z 对应点的轨迹为以2为半径，点()431--,Z 为圆心的圆及其内部．所以，z 的最大值为7251=+=+r OZ ．
例2．如果复数z 满足2i i =-++z z ，那么1i ++z 的最小值为(
)
A ．1
B ．2
C ．2
D ．5 解析：由2i i =-++z z 知，复数z 对应的点的轨迹是线段AB ，其中()01，-A ，()01,B ．又
1i ++z 表示点()1,1--到线段AB 的距离，故当i -=z 时，11i i =++n m z ．
例3．复数z 满足条件4i 2-=+z z ，则z 的最小值为．
解析：由4i 2-=+z z 知，复数z 对应点的轨迹为线段AB 的垂直平分线，其中()02，
-A ，()40,B ，z 即原点到垂直平分线上点的距离．故55
3z =
min ．
例4．复数z 满足2i 2=-z ，则2i +z 的取值X 围是(
) A ．⎥⎦⎤
⎢⎣⎡25,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡27,23 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡
221,1 D ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡221,2 解析：由2i 2=-z 可得：12i =-z ．因此复数z 对应点Z 的轨迹是以)2
1,0(为圆心，1为半径的圆周，而()2i 2i --=+z z 即点Z 到点()2,0-的距离，最小值为
23，最大值为27．。