现代数理统计中假设检验的教学探讨

现代数理统计中假设检验的教学探讨作者：肖进胜杨力衡丁玲张海剑
来源：《高教学刊》2024年第08期
摘要：假设检验是现代概率论与数理统计教学中的重要内容和知识点，而假设检验包含建立原假设、构造统计量、计算概率分布、确定临界值和得出结论等过程。

在教学过程中，很多教师都忽视建立原假设这个方面。

由于没有强调原假设设计方法，学生碰到此类问题很容易产生疑惑出错。

实际上，原假设的三个选择是不可以随意互换的，需要通过阅读问题，依据“小概率事件原理”来选择合适的假设。

通过对假设检验中单边检验真题案例的教学探讨和分析，完成对原假设存在的三个选择的不同分析，然后对得到的结果进行比较。

分析探讨在假设检验教学中做原假设和备择假设设计时，需要结合题目要求，按照“小概率事件原理”来设计假设的方案，促进学生对此问题的理解，并且在实际教学应用中取得良好的效果。

关键词：假设检验;原假设;备择假设;数理统计;假设方案
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2024）08-0117-04
Abstract： Hypothesis testing is an important content and knowledge point in the teaching of probability theory and mathematical statistics， while hypothesis testing includes the null hypothesis， the design and selection of alternative hypotheses. In the teaching process， many teachers have neglected this aspect in teaching. Since there is no emphasis on these choice， students often have doubts when they encounter such problems. In fact， the three choices of the null hypothesis are not freely interchangeable. It is necessary to read the topic and select the appropriate hypothesis based on the principle of small probability events. Through the discussion and analysis of the unilateral test case in the hypothesis test， the different analysis of the three choices of the null hypothesis is completed， and then the obtained results are compared to verify the hypothesis and alternative hypothesis in the hypothesis test. When designing， it is necessary to combine the requirements of the topic and design the hypothetical solution according to the principle of "small probability event"， and achieve good results in practical teaching applications.
Keywords： hypothesis test; null hypothesis; alternative hypothesis; mathematical statistics; hypothesis method
隨着社会的发展进步，教育理念、教育方法和培养模式的不断改进[1-2]，新的教学模式与实践方案，需要与培养“具有国际视野的拔尖创新人才”的指导思想相结合[3]，同时探索其他教学评价模式[4]，并及时应用于高校的日常教学工作中，以提高高等院校的教学效率和教学质量[5]。

概率论与数理统计课程是面向电子信息类学科专业开设的基础课程，同时也是电子与计算机专业等信息领域学科的专业基础课程，与语音处理、图像处理、机器学习及计算机视觉等专业核心课程有着密切的联系，是其先导课程。

在现代概率论与数理统计的课程教学中，参数的假设检验是概率论与数理统计中的重要内容。

对于同一个假设检验问题，选择两个不同的原假设进行检验时，可能会得出自相矛盾的两个结论。

选择单边和双边检验有时也会得出自相矛盾的结论[6]。

在岑成德[7]的《假设检验中的难点问题的教学方法》一文中，讨论了对单边假设检验的原假设选择问题。

同样，在卫海英[8]的《对假设检验方法应用的思考》一文中也表达了在假设检验实际应用中应该注意正确建立零假设和对立假设。

在对实际问题做假设检验时，什么作为原假设，什么作为备择假设应由问题本身确定，而不是检测者的态度或希望[9]。

作者认为假设检验主要依据的理论是“小概率事件原理”，教学中以相应的“小概率事件”发生的区域作为拒绝域来判断是否拒绝或接受该假设，就能很好地促进学生对此问题的理解，提高学习的效率和效果。

一假设检验问题的分析方法研究
在常规的概率论与数理统计教学过程中，对于假设检验问题的教学重点在于根据已有数据和参数，如何进行检验统计量的选取和统计参数计算方面，套用相关的假设检验公式。

忽略了原假设设计，即备择假设的选取问题。

而实际教学中发现，假设检验中存在一些具体的应用问题，对待检验的问题有着不同的文字描述，如“大于”“小于”“不大于”“变多”“变少”“合格”等。

而这些不同的文字描述和复杂多样的应用问题在一起，很容易让学生产生混淆，并出错。

假设检验问题是不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题。

假设检验就是根据总体X 的信息，检验关于总体的某个假设是否正确，决定接受原假设拒绝备择假设或者拒绝原假设接受备择假设。

原假设就是本身根据问题假设出来的验证的主体，备择假设与原假设相反并且和原假设共同构成一个完备事件。

在显著性水平α条件下，检验假设H0：μ=μ0↔H1：μ≠μ0中的备择假设H1表示μ可能大于μ0，也可能小于μ0，称为双边备择假设，这样的假设检验称为双边假设检验。

相对的单边检验分为两种，一种是右边检验形如H0：μ≤μ0↔H1：μ>μ0;一种是左边检验形如H0：
μ≥μ0↔H1：μ<μ0。

假设检验问题的本质是运用小概率反证法思想。

小概率思想是指概率很小P<α（α=0.01或α=0.05等）的事件，在一次试验中基本上不会发生，也称为小概率事件原理。

这里备择假设是属于显著性水平α下的一个小概率事件。

假设检验中，针对需要判断的问题，进行准确的原假设提出是一个很关键的问题。

在实际教学应用中，很多学生都很难理解或者只能死记相关的规则，很容易出错和弄混淆。

实际上，我们分析理解了假设检验问题的本质，就能很准确地定位假设检验问题，进行准确合适的原假设。

根据小概率事件原理，概率很小的事件在一次实验中是几乎不会发生的，因此我们重点关注“小概率”的地方[10]。

可以从如下两点进行分析。

第一，小概率事件原理中的“小概率”究竟有多小呢？这要根据假设检验结论的重要程度和其在实际问题中可能造成结果的严重程度来决定。

第二，把其称作“小概率事件原理”，是因为“概率很小的事件在一次实验中是几乎不会发生的”，并没有说其“绝对不会发生”。

假设检验的思想是先提出原假设H0，假设合理的依据就是备择假设必须是属于不常发生的“小概率事件”，再用适当的检验统计量，通过对统计量的计算和判断来确定假设成立的可能性大小，通过概率是否落入备择假设区间来判断假设是否成立。

通过采用以上方法来分析假设检验中的问题，可以排除具体假设检验应用问题中各种文字描述的干扰，坚持“小概率事件”的判断原则，实现准确的原假设和备择假设的设计，顺利地解决假设检验问题。

二假设检验中假设问题的教学设计
在教学设计过程中，为了增强学生对于假设检验问题本质是“小概率原理”的认识，除了在讲授时重点强调假设检验原理和公式，以及常规的解题思路之外。

可以设计一些反例或看似矛盾的实例，利用实例来增强学生对该问题的关注度，提升对该问题的理解[11]。

下面通过一个具体问题来说明假设检验中原假设设计的教学过程。

可以先提出如下一个常见的例子。

一位大学校长在网上看到这样的报道：“这一城市的大学生平均每周玩8小时手机游戏”。

他认为他所在的学校，大学生玩手机游戏的时间明显小于该数字。

为此他随机向他所在学校的30个大学生作了调查，得知平均每周玩手机游戏的时间为7小时，样本标准差为3小时。

问是否可以认为这位校长的看法是对的？设显著性水平0.01，大学生玩手机游戏的时间服从正态分布。

首先，引导学生进行分析，这个问题其实不难。

根据上面问题的描述先得到一些必须的数值：μ0=8，n=30，X=7，S=3，α=0.01.已知大学生每周玩手机游戏的时间服从正态分布，X～N （μ，σ2），对于这类单边假设检验问题，能获得的原假设只有两种情况μ≤μ0或μ≥μ0（需要明确的一点，等号必须包含在原假设中）。

通过两种假设设计来分析这个问题的本质。

第一种情况：直接把校长的看法作为假设（这是很多人很容易想到的方法），假设大学生平均每周玩手机游戏的时间明显小于8小时，可以作如下假设
H0：μ≤μ0=8↔H1：μ>μ0。

（1）
这里方差σ2未知，需做T检验，所以取检验统计量
T=～t（n-1）。

（2）
在顯著性水平α=0.01的情况下，拒绝域（图1右边阴影部分）为
C={T≥tα（n-1）=t0.01（29）≈2.46} 。

（3）
而实际计算统计量T的观测值可得
T=≈-1.82 。

（4）
显然T<tα（n-1），没有落入拒绝域，不拒绝原假设，即玩手机的时间小于8小时。

第二种情况：我们可以反过来，假设大学生平均每周玩手机的时间不明显小于8小时，所以有
H0：μ≥μ0=8↔H1：μ<μ0 。

（5）
可以计算得拒绝域（图1左边阴影部分）为
C={T≤-tα（n-1）=-t0.01（29）≈-2.46} 。

（6）
同样，可以计算出统计量T的观测值为T≈-1.826，所以T>-tα（n-1），没有落入拒绝域，不拒绝原假设，即玩手机的时间不小于8小时。

其次，针对两种不同的假设设计做法，引导学生发现和分析问题。

两种假设的过程都是正确的，但是相反的假设却都得到了不拒绝原假设的结论。

显然这两个结果是相互矛盾的，事出反常必有因。

提醒并引导学生思考，到底哪个假设是正确的呢？到底校长的看法是对是错？通过这个例子，通过一系列反问，能激起学生的兴趣和求知欲。

然后，引导学生回到假设检验问题的本质“小概率事件”。

告诉学生假设检验的关键是寻找问题中的“小概率事件”，明确拒绝域为“小概率事件”。

因此，拒绝域应该处在正态分布的两端区域（如图1的阴影部分），不包括正态分布的中心区域。

根据假设检验的定义，强调原假设中的等号成立对应于正态分布图中的中间峰值（如图1的中间非阴影部分），是“较大概率”，必须包含在原假设中。

仔细观察图1的正态分布图，考虑拒绝域的分布区域，通过“小概率”的区域，来仔细分析原假设的设计问题。

其拒绝区域如图1所示。

假设检验问题是不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题。

假设检验就是根据总体X 的信息，检验关于总体的某个假设是否正确，决定接受原假设拒绝备择假设或者拒绝原假设接受备择假设。

原假设就是本身根据问题假设出来的验证的主体，备择假设与原假设相反并且和原假设共同构成一个完备事件。

在显著性水平α条件下，检验假设H0：μ=μ0↔H1：μ≠μ0中的备择假设H1表示μ可能大于μ0，也可能小于μ0，称为双边备择假设，这样的假设检验称为双边假设检验。

相对的单边检验分为两种，一种是右边检验形如H0：μ≤μ0↔H1：μ>μ0;一种是左边检验形如H0：
μ≥μ0↔H1：μ<μ0。

假设检验问题的本质是运用小概率反证法思想。

小概率思想是指概率很小P<α（α=0.01或α=0.05等）的事件，在一次试验中基本上不会发生，也称为小概率事件原理。

这里备择假设是属于显著性水平α下的一个小概率事件。

假设检验中，针对需要判断的问题，进行准确的原假设提出是一个很关键的问题。

在实际教学应用中，很多学生都很难理解或者只能死记相关的规则，很容易出错和弄混淆。

实际上，我们分析理解了假设检验问题的本质，就能很准确地定位假设检验问题，进行准确合适的原假设。

根据小概率事件原理，概率很小的事件在一次实验中是几乎不会发生的，因此我们重点关注“小概率”的地方[10]。

可以从如下两点进行分析。

第一，小概率事件原理中的“小概率”究竟有多小呢？这要根据假设检验结论的重要程度和其在实际问题中可能造成结果的严重程度来决定。

第二，把其称作“小概率事件原理”，是因为“概率很小的事件在一次实验中是几乎不会发生的”，并没有说其“绝对不会发生”。

假设检验的思想是先提出原假设H0，假设合理的依据就是备择假设必须是属于不常发生的“小概率事件”，再用适当的检验统计量，通过对统计量的计算和判断来确定假设成立的可能性大小，通过概率是否落入备择假设区间来判断假设是否成立。

通过采用以上方法来分析假设检验中的问题，可以排除具体假设检验应用问题中各种文字描述的干扰，坚持“小概率事件”的判断原则，实现准确的原假设和备择假设的设计，顺利地解决假设检验问题。

二假设检验中假设问题的教学设计
在教学设计过程中，为了增强学生对于假设检验问题本质是“小概率原理”的认识，除了在讲授时重点强调假设检验原理和公式，以及常规的解题思路之外。

可以设计一些反例或看似矛盾的实例，利用实例来增强学生对该问题的关注度，提升对该问题的理解[11]。

下面通过一个具体问题来说明假设检验中原假设设计的教学过程。

可以先提出如下一个常见的例子。

一位大学校长在网上看到这样的报道：“这一城市的大学生平均每周玩8小时手机游戏”。

他认为他所在的学校，大学生玩手机游戏的时间明显小于该数字。

为此他随机向他所在学校的30个大学生作了调查，得知平均每周玩手机游戏的时间为7小时，样本标准差为3小时。

问是否可以认为这位校长的看法是对的？设显著性水平0.01，大学生玩手机游戏的时间服从正态分布。

首先，引导学生进行分析，这个问题其实不难。

根据上面问题的描述先得到一些必须的数值：μ0=8，n=30，X=7，S=3，α=0.01.已知大学生每周玩手机游戏的时间服从正态分布，X～N （μ，σ2），对于这类单边假设检验问题，能获得的原假设只有两种情况μ≤μ0或μ≥μ0（需要明确的一点，等号必须包含在原假设中）。

通过两种假设设计来分析这个问题的本质。

第一种情况：直接把校长的看法作为假设（这是很多人很容易想到的方法），假设大学生平均每周玩手机游戏的时间明显小于8小时，可以作如下假设
H0：μ≤μ0=8?H1：μ>μ0。

（1）
这里方差σ2未知，需做T检验，所以取检验统计量
T=～t（n-1）。

（2）
在显著性水平α=0.01的情况下，拒绝域（图1右边阴影部分）为
C={T≥tα（n-1）=t0.01（29）≈2.46} 。

（3）
而实际计算统计量T的观测值可得
T=≈-1.82 。

（4）
显然T<tα（n-1），没有落入拒绝域，不拒绝原假设，即玩手机的时间小于8小时。

第二种情况：我们可以反过来，假设大学生平均每周玩手机的时间不明显小于8小时，所以有
H0：μ≥μ0=8↔H1：μ<μ0 。

（5）
可以计算得拒绝域（图1左边阴影部分）为
C={T≤-tα（n-1）=-t0.01（29）≈-2.46} 。

（6）
同样，可以计算出统计量T的观测值为T≈-1.826，所以T>-tα（n-1），没有落入拒绝域，不拒绝原假设，即玩手机的时间不小于8小时。

其次，针对两种不同的假设设计做法，引导学生发现和分析问题。

两种假设的过程都是正确的，但是相反的假设却都得到了不拒绝原假设的结论。

显然这两个结果是相互矛盾的，事出反常必有因。

提醒并引导学生思考，到底哪个假设是正确的呢？到底校长的看法是对是错？通过这个例子，通过一系列反问，能激起学生的兴趣和求知欲。

然后，引导学生回到假设检验问题的本质“小概率事件”。

告诉学生假设检验的关键是寻找问题中的“小概率事件”，明确拒绝域为“小概率事件”。

因此，拒绝域应该处在正态分布的两端区域（如图1的阴影部分），不包括正态分布的中心区域。

根据假设检验的定义，强调原假设中的等号成立对应于正态分布图中的中间峰值（如图1的中间非阴影部分），是“较大概率”，必须包含在原假设中。

仔细观察图1的正态分布图，考虑拒绝域的分布区域，通过“小概率”的区域，来仔细分析原假设的设计问题。

其拒绝区域如图1所示。