第四章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2025年高考数学备考

第四章三角函数
第2讲
同角三角函数的基本关系与诱导公式
课标要求
命题点
五年考情命题分析预测
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2
x ＝1，sin
Hs ＝
tan x .
2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π
2，α±π的正弦、余弦、正切）
同角三角函数关系的应用
2023全国卷乙
T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9
本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.
诱导公式的应用2020北京T9；2019全国卷ⅠT7
同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
学生用书P075
1.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.（2）商的关系：tan α＝
sin
Hs （α≠π
2
＋k π，k ∈Z ）.
（3）公式常见变形：sin 2α＝1－cos 2α；sin α＝±1－cos 2；sin 2α＝sin 2
sin 2＋c 2
＝
ta 2
tan 2r1
，
cos 2α＝cos 2
si 2＋cos 2
＝①
1
tan 2r1
；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.
注意
利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.
2.诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α（k ∈Z ）π＋α－απ－απ2
－α
π
2
＋α正弦sin α②－sin α－sin α③sin αcos α④cos α余弦cos α⑤－cos αcos α⑥－cos αsin α
⑦
－sin α
正切tan α
⑧tan α
－tan α
⑨
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限.
1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝（A）
A.－1213
B.－513
C.513
D.213
解析因为α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝
－1－sin2＝－1213.
2.[2023贵州联考]已知tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝（D）
A.－1
B.－3
C.－12
D.12
解析因为tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝1＋1tan＝1－12＝12.
3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（C）
A.sin（θ－π2）＝cosθ
B.cos（3π2＋θ）＝－sinθ
C.sin（3π2－θ）＝－cosθ
D.cos（θ－π2）＝－sinθ
解析∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cosθ，∴A错误；∵cos（3π2＋θ）＝sinθ，∴B 错误；∵sin（3π2－θ）＝－cosθ，∴C正确；∵cos（θ－π2）＝cos（π2－θ）＝sinθ，∴D错误.
4.sin1050°＝－12.
解析sin1050°＝sin（－30°）＝－12.
5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋）＋sin（π－）
cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝34.
解析因为tan（π＋α）＝tanα＝2，所以sin（π2＋）＋sin（π－）
cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝cos＋sin
sinr2cos＝1+tan tanr2＝1+22+2＝34.
学生用书P076
命题点1同角三角函数关系的应用
例1（1）[2024山东模拟]若tanθ＝2，则1＋sinθcosθ＝（B）
A.73
B.75
C.54
D.53
解析易知cosθ≠0，则1＋sinθcosθ＝1+sinvos1＝si2＋cos2＋sinvos
sin2＋cos2＝tan 2＋tanr1 tan2r1＝2
2+2+1
22+1
＝75.
（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝－55.
解析由
tan ＝
sin cos
＝1
2，
sin 2＋cos 2=1，
且θ∈（0，π
2
），解得
sin cos 故sin θ－cos θ方法技巧
同角三角函数基本关系的应用技巧
（1）利用sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin
Hs ，可以解决sin α，cos α，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.
（2）利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用.
（3）利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sin
Hs 可以实现角α的
弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.
训练1[多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sin θ＋cos θ＝7
13
，则下列结论正确的是（BD ）
A.θ∈（－π，－π
2） B.cos θ＝
1213
C.tan θ＝5
12 D.sin θ－cos θ＝－
1713
解析
由sin θ＋cos θ＝7
13可得，cos θ＝7
13－sin θ，
则（7
13－sin θ）2＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝1213或sin θ＝－5
13.
由θ∈（－π，0），可得sin θ＝－513
，cos θ＝12
13
，故B 正确；
由sin θ＝－5
13
＜0，cos θ＝12
13＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈（－π
2，0），故A 错误；tan θ＝
sin
Hs ＝－5
12，故C 错误；
sin θ－cos θ＝－5
13－1213
＝－1713
，故D 正确.故选BD.命题点2
诱导公式的应用
例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f （x ）＝15
sin （x ＋π3
）＋cos （x －π6
）的最大值为（A ）
A.
65
B.1
C.
35
D.
15
解析
因为cos （x －π
6
）＝cos[（x ＋π3
）－π
2
]＝sin （x ＋π3
），所以f （x ）＝65
sin （x ＋π
3
），所
以f （x ）的最大值为65
，故选A.
（2）[北京高考]若函数f （x ）＝sin （x ＋φ）＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为
π2
（答案不唯一）.
解析易知当y＝sin（x＋φ），y＝cos x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cos x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cos x，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.
方法技巧
应用诱导公式的一般思路
（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；
（2）统一角，统一名；
（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.
训练2（1）[2023山东省济宁市模拟]已知cos（π6－θ）＝13，则cos（5π6＋θ）＋
2sin（5π3－θ）的值为－1.
解析原式＝cos[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cos（π6－θ）－2cos（π6－θ）＝－3cos（π6－θ）＝－1.
（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－－3π2）cos（3π2－）
cos（π2－）sin（π2＋）·tan2（π－α）的值为－916.
解析原式＝－sin（3π2＋）cos（3π2－）
sinvos·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，sinvos·tan2α＝－cosLin
得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－45，∴tanα＝34.故原式＝－tan2α＝－916.
命题点3同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
例3（1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cos（α＋π3）＝－23，则tan（2π3－α）＝
（A）
B. D.
解析由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）
tan（α＋π3）＝sin（＋π3）
Hs（＋π3）＝－tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan
（α＋π3）故选A.
（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝－43.
解析解法一因为sin（θ＋π4）＝35，所以cos（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，
k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（－π4）
cos（－π4）＝－43.
解法二因为θ是第四象限角，且sin （θ＋π4
）＝35
，所以θ＋π4
为第一象限角，所以
cos （θ＋π4
）＝45
，所以tan （θ－π4
）＝sin （－π
4）
Hs （－π
4）
＝
－cos[π
2＋（－π
4)]
sin[π2＋（－π4)]
＝－
cos （＋π
4）
sin （＋π
4）
＝－4
3
.
方法技巧
利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路
（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；（3）化简求值.注意
（1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.
（2）化简过程是恒等变换.
训练3[2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M （2，4）在角α终边上，则sin 3（π－）＋cos 3（－）
sin 3－2cos 3
＝（B ）A.
23
B.
32
C.－
35
D.－
53
解析由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin 3＋cos 3
si 3－2cos 3＝tan 3r1
tan 3－2＝
8+1
8－2
＝3
2
.故选B.
1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sin θ－cos θtan 2θ＝（D ）
C. D.
解析由sin θ－cos θ1－2sin θcos θ＝13
，∴sin θcos θ＝13
，∴（sin θ＋
cos θ）2＝1＋2sin θ·cos θ＝53
.
∵θ是第一象限角，∴sin θ＋cos θ
解法一
易得sin θcos θ∴tan θ
∴tan 2θ＝－52]5 D.
解法二
易得sin θcos θ＝1
3
，∴sin 2θ＝23
，
∵sin θ－cos θ＞0，θ是第一象限角，∴π4
＜θ＜π2
，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）∴π
2
＜2θ＜π，
∴cos 2θ∴tan 2θ D.
2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋（－1）k β”是“sin α＝sin β”的（
C
）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝
sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，
n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是
“sinα＝sinβ”的充分必要条件.
3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tanα＝cos3－sin，则sin（2α＋π2）＝（D）
A.23
B.13
C.89
D.79
解析因为tanα＝cos3－sin，所以sin Hs＝cos3－sin，
即3sinα－sin2α＝cos2α，
所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，
即sinα＝13，
所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝79，
故选D.
学生用书·练习帮P292
1.若θ∈（π2，πA）
A.sinθ－cosθ
B.cosθ－sinθ
C.±（sinθ－cosθ）
D.sinθ＋cosθ
解析）＝1－2sinBos＝（sin－cos）2＝｜sinθ－cosθ｜，因为θ∈（π2，π），所以sinθ－cosθ＞0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.
2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sinα＝45，则cosβ＝（B）
A.－45
B.45
C.－35
D.35
解析因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x 对称，所以＋2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sinα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα＝45（k∈Z），故选B.
3.[2024江西联考]已知sin （α＋π3
）＝－14
，则cos （α＋5π6
）＝（B ）
A.－
14
B.
14
解析
因为sin （α＋π3
）＝－1
4
，所以cos （α＋5π
6
）＝cos[（α＋π3
）＋π2
]＝－sin （α＋π
3
）＝
14
，故选B.
4.[2024内蒙古包头模拟]若tan α＝2，则sin α（sin α＋cos α）＝（D ）
A.
25
B.
35
C.
45
D.65
解析sin α（sin α＋cos α）＝
sin 2＋sinvos sin 2＋cos 2
＝
tan 2＋tan tan 2r1
＝
22+222+1
＝6
5
.故选D.
5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan （π2
－θ）＝43，则cos （θ＋π2
）＝（C
）
A.－
45
B.－
35
C.
35
D.
45
解析tan （π2
－θ）＝
sin （π
2－）
Hs （π
2－）
＝
Hs sin
＝43
，即3cos θ＝4sin θ，∵θ为第三象限角，
∴sin θ＜0，cos θ＜0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－3
5
，cos θ＝－4
5
，∴cos （θ＋π
2
）＝－sin θ＝3
5.故选C.
6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cos （α＋10°）＝1
3
，则tan （170°－α）＝（
A
）
A.－22
B.22
C.－2
D.2
解析
因为α为第一象限角，且cos （α＋10°）＝1＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以
sin （α＋10°）＝1－cos 2（+10°）＝tan （α＋10°）＝
sin （r10°）
cos （r10°）＝22，则tan （170°－α）＝tan[180°－（α＋10°）]＝－tan （α＋10°）＝－22.
故选A.
7.[多选]在△ABC 中，下列结论正确的是（ABC ）
A.sin （A ＋B ）＝sin C
B.sin
＋2
＝cos
2
C.tan （A ＋B ）＝－tan C （C ≠π
2
）D.cos （A ＋B ）＝cos C 解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin （A ＋B ）＝sin （π－C ）＝sin C ，A 正
确.sin
＋2
＝sin （π2
－2
）＝cos 2
，B 正确.tan （A ＋B ）＝tan （π－C ）＝－tan C （C ≠π
2
），C
正确.cos （A ＋B ）＝cos （π－C ）＝－cos C ，D 错误.故选ABC.
8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC 中，3sin （π2
－A ）＝3sin （π－A ），cos A ＝－3cos （π－B ），则△ABC 为直角三角形.
解析
在△ABC 中，由3sin （π2
－A ）＝3sin （π－A ），得3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝
3A ∈（0，π），∴A ＝π6
，又cos A ＝－3cos （π－B ），＝3cos B ，即cos B ＝
12
，又B ∈（0，π），∴B ＝π3
，∴C ＝π－π6
－π3
＝π2
，∴△ABC 为直角三角形.
9.已知sin θ＋cos θ＝15
，θ∈（0，π），则tan θ＝－
43
；
2sinBosr2si 2
1－tG
＝
24
175
.
解析
因为sin θ＋cos θ＝15
，θ∈（0，π），所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝1
25，所
以sin θcos θ＝－1225
＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0.由
sin ＋Hs ＝15
，si 2＋c 2
=1，
得25sin 2θ－5sin θ
－12＝0，解得sin θ＝45
或sin θ＝－35
（舍去），所以sin θ＝45
，cos θ＝－3
5
，所以tan θ＝－4
3
.（或sin θ－cos θ＞0，（sin θ－cos θ）2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1＋2425
＝49
25，则sin θ－cos θ＝75，由sin ＋cos ＝15
，sin －cos ＝75
，得sin ＝4
5，cos ＝－35
，所以tan θ＝－43
）解法一2sinvosr2sin 2
1－tan
＝
2sin （cos ＋sin ）
1－sin cos
＝
2sinvos （cos ＋sin ）
cos －sin
＝
－2425×1
5
－75
＝
24
175
.
解法二
2sin θcos θ＋2sin 2θ＝
2sinvosr2sin 2sin 2＋cos 2
＝
2tanr2tan 2tan 2r1
＝
2×（－43）+2×（－4
3）
2
（－43）2+1
＝8
25
，故
2sinvosr2sin 2
1－tan
＝
825
1－（－4
3）
＝
24
175
.
10.设f （x ）＝a sin （πx ＋α）＋b cos （πx ＋β），其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f （2024）＝1，则f （2025）＝（D
）
A.1
B.2
C.0
D.－1
解析
f （2024）＝a sin （2024π＋α）＋b cos （2024π＋β）＝a sin α＋b cos β＝1，
f （2025）＝a sin （2025π＋α）＋b cos （2025π＋β）＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＝－a sin α－b cos β＝－（a sin α＋b cos β）＝－1.故选D.
11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cos （χ
3
＋2π
3）＝（
C
）
B. C.12 D.－12
解析任取数字2023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cos（χ3＋2π3）＝cos（123π3＋2π3）＝cos（41π＋2π3）＝cos（π＋2π3）＝－cos2π3＝cosπ3＝12，故选C.
12.已知－π＜α＜0，且满足.
从①sinαcosα＋sinαtanα＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.
（1）求cosα－sinα的值；
（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求Hs＋sin
Hs－sin的值.
解析方案一选择条件②.
（1）由cosα＋sinαcosα＋sinα）2＝15，
则2sinαcosα＝－45＜0.
又－π＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＞0，
所以cosα－sinα＝1－2cosLin＝
（2）由题意得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，
所以cos＋sin
＝ 3.
cos－sin＝－cos＋sin
－cos－sin
方案二选择条件③.
（1）因为tanα＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sinα＝－2cosα＜0.
又sin2α＋cos2α＝1，所以sinαcosα
所以cosα－sinα
（2）由题可得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，
所以Hs＋sin
Hs－sin＝ 3.
（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sinα＜0，与sinα①不符合题意.）。