(晨鸟)2019年浙江省中考数学真题分类汇编专题08图形的性质之选择题(解析版)

专题 08 图形的性质之选择题
参考答案与试题解析
一．选择题（共27 小题）
1．（ 2019?湖州）已知∠α＝ 60° 32′，则∠ α的余角是（）
A ． 29° 28′B． 29° 68′C． 119° 28′ D ． 119° 68′
【答案】解：∵∠α＝60°32′，
∠ α的余角是为： 90°﹣ 60° 32′＝ 29° 28′，
故选： A．
【点睛】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于 180°，就说这两个角互为补角．
2．（ 2019?杭州）在△ ABC 中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）
A ．必有一个内角等于30°
B ．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D ．必有一个内角等于90°
【答案】解：∵∠A+∠ B+∠C＝ 180°，∠ A＝∠ C﹣∠ B，
∴2∠C＝ 180°，
∴∠ C＝ 90°，
∴△ ABC 是直角三角形，
故选： D ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三
角形的内角和等于180°．
3．（ 2019?金华）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标 A 的位置表述正确的是（）
A ．在南偏东 75°方向处
B ．在 5km 处
C ．在南偏东 15°方向 5km 处
D ．在南偏东 75°方向 5km 处
【答案】解：由图可得，目标
A 在南偏东 75°方向 5km 处，
故选： D ．
【点睛】此题主要考查了方向角，正确理解方向角的意义是解题关键．
4．（ 2019?宁波）能说明命题“关于
2
﹣4x+m ＝0 一定有实数根”是假命题的反例为（
）
x 的方程 x A ． m ＝﹣ 1 B ． m ＝0
C ． m ＝ 4
D ． m ＝ 5
【答案】解：当 m ＝5 时，方程变形为 x 2
﹣ 4x+m ＝ 5＝ 0，因
为△＝（﹣ 4） 2﹣ 4×5＜ 0，所以方程没有实数解，
2
所以 m ＝ 5 可作为说明命题“关于
x 的方程 x ﹣ 4x+m ＝ 0 一定有实数根”是假命题的反例．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真” “假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．（ 2019?台州）已知某函数的图象 C 与函数 y 的图象关于直线 y ＝ 2 对称．下列命题： ① 图象 C 与函
数 y 的图象交于点（ ，2）；② 点（ ，﹣ 2）在图象 C 上； ③ 图象 C 上的点的纵坐标都小于 4； ④ A
（ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）是图象 C 上任意两点，若
x 1＞ x 2，则 y 1
＞ y 2．其中真命题是（
）
A ． ①②
B ． ①③④
C ． ②③④
D ． ①②③④
【答案】解：∵函数
y 的图象在第一、三象限，
则关于直线 y ＝2 对称，点（ ，2）是图象 C 与函数 y 的图象交于点；
∴ ① 正确；
点（，﹣ 2）关于 y＝2 对称的点为点（， 6），
∵（， 6）在函数y上，
∴点（，﹣ 2）在图象 C 上；
∴ ② 正确；
∵y中y≠ 0，x≠ 0，
取 y上任意一点为（x， y），
则点（ x， y）与 y＝ 2 对称点的纵坐标为4；
∴ ③ 错误；
A（x1， y1）， B（ x2， y2）关于 y＝ 2 对称点为（ x1， 4﹣ y1），B（ x2，4﹣ y2）在函数y上，
∴ 4﹣y1，4﹣y2，
∵x1＞ x2＞ 0 或 0＞x1＞ x2，
∴4﹣y1＜4﹣y2，
∴ y1＞ y2；
∴ ④ 不正确；
故选： A．
【点睛】本题考查反比例函数图象及性质；熟练掌握函数关于直线后对称时，对应点关于直线对称是解题的关键．
6．（ 2019?台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A ． 3， 4，8B． 5， 6，10C． 5，5， 11 D ． 5，6， 11
【答案】解：
A选项， 3+4＝ 7＜ 8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
B选项， 5+6＝ 11＞ 10， 10﹣ 5＜ 6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形C选项， 5+5＝ 10＜ 11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
D选项， 5+6＝ 11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形
故选： B．
【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，要掌握并熟记三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
7．（ 2019?金华）若长度分别为a， 3， 5 的三条线段能组成一个三角形，则 a 的值可以是（）
A ． 1B． 2C． 3 D ． 8
【答案】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜ a＜5+3，
即2＜a＜ 8，
即符合的只有 3，
故选： C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出
形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．8．（ 2019?绍兴）如图，墙上钉着三根木条a， b， C，量得∠线所夹的锐角是（）
5﹣ 3＜ a＜ 5+3 是解此题的关键，注意：三角1＝70°，∠ 2＝ 100°，那么木条a， b 所在直
A ． 5°B． 10°C． 30° D ． 70°
【答案】解：∠3＝∠ 2＝100°，
∴木条 a， b 所在直线所夹的锐角＝180°﹣ 100°﹣ 70°＝ 10°，
故选： B．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．9．（ 2019?湖州）如图，已知在四边形ABCD 中，∠ BCD ＝ 90°， BD 平分∠ ABC，AB＝ 6，BC＝ 9，CD＝4，则四边形ABCD 的面积是（）
A ． 24B． 30C． 36 D ． 42
【答案】解：过 D 作 DH ⊥ AB 交 BA 的延长线于 H ，
∵BD 平分∠ ABC，∠ BCD ＝90°，
∴ DH ＝ CD＝ 4，
∴四边形 ABCD 的面积＝ S△ABD+S△BCD AB ?DHBC?CD6× 49× 4＝ 30，
故选： B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
BC 与直10．（ 2019?宁波）已知直线 m∥ n，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边线 n 交于点 D．若∠ 1＝ 25°，则∠ 2 的度数为（）
A ． 60°B． 65°C． 70° D ． 75°
【答案】解：设AB 与直线 n 交于点 E，
则∠ AED ＝∠ 1+∠ B＝25° +45 °＝ 70°．
又直线 m∥ n，
∴∠ 2＝∠ AED＝ 70°．
故选： C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
11．（ 2019?衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”
能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕点固定，OC＝CD ＝ DE，点 D、 E 可在槽中滑动．若∠ BDE ＝75°，则∠ CDE 的度数是（O 转动、
）
C
A ． 60°B． 65°C． 75° D ． 80°
【答案】解：∵OC＝ CD＝DE ，
∴∠ O＝∠ ODC ，∠ DCE ＝∠ DEC ，
∴∠ DCE ＝∠ O+∠ODC ＝2∠ ODC ，
∵∠ O+∠OED ＝ 3∠ODC ＝∠ BDE ＝75°，
∴∠ ODC ＝ 25°，
∵∠ CDE +∠ ODC ＝ 180°﹣∠ BDE ＝ 105°，
∴∠ CDE ＝ 105°﹣∠ ODC ＝ 80°．
故选： D ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题
的关键．
12．（ 2019?宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）
1，
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，222
，c＝ a +b
阴影部分的面积＝c 2
﹣ b
2
﹣a（ c﹣ b）＝ a
2
﹣ ac+ab＝ a（ a+b﹣ c），
较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（ c﹣ b），宽＝ a，
则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（ a+b﹣ c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选： C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为
22 c，那么 a +b
＝c 2．
13．（2019?衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A， B，C 在⊙O 上， CD 垂直平分 AB 于点 D．现测得AB＝ 8dm， DC＝2dm，则圆形标志牌的半径为（）
A ． 6dm B． 5dm C． 4dm D ． 3dm
【答案】解：连接OA， OD，
∵点 A， B， C 在⊙ O 上， CD 垂直平分AB 于点 D ．AB＝ 8dm， DC＝ 2dm，
∴ AD ＝4dm，
设圆形标志牌的半径为r，可得：r2＝ 42+（ r ﹣ 2）2，
解得： r ＝ 5，
故选： B．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．
14．（ 2019?绍兴）如图，△ ABC 内接于⊙ O，∠ B＝65°，∠C＝ 70°．若BC＝ 2，则的长为（）
A ．πB．πC． 2π D ． 2π
【答案】解：连接OB， OC．
∵∠ A＝ 180°﹣∠ ABC﹣∠ ACB＝ 180°﹣ 65°﹣ 70°＝ 45°，
∴∠ BOC＝ 90°，
∵ BC＝ 2，
∴OB＝OC＝ 2，
∴的长为
π，
故选： A．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
15．（ 2019?金华）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O．已知 AB＝ m，∠ BAC＝∠α，则下列结论错误的是（）
A ．∠ BDC＝∠αB． BC＝ m?tanαC． AO D ． BD
【答案】解： A、∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ ABC＝∠ DCB＝ 90°， AC＝ BD ， AO＝ CO，BO＝ DO ，
∴AO＝OB＝CO＝DO ，
∴∠ DBC ＝∠ ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠ BAC＝∠ BDC ＝∠α，故本选项不符合题意；
，
B、在 Rt△ ABC 中， tanα
即 BC＝m?tanα，故本选项不符合题意；
C、在 Rt△ ABC 中， AC，即AO，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD 是矩形，
∴DC ＝AB＝m，
∵∠ BAC＝∠ BDC＝α，
∴在 Rt△ DCB 中， BD，故本选项不符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
16．（ 2019?湖州）如图，已知正五边形ABCDE 内接于⊙ O，连结 BD ，则∠ ABD的度数是（）
A ． 60°B． 70°C． 72° D ． 144°
【答案】解：∵五边形ABCDE 为正五边形，
∴∠ ABC＝∠ C108°，
∵CD ＝CB，
∴∠ CBD36°，
∴∠ ABD ＝∠ ABC﹣∠ CBD＝ 72°，
故选： C．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（ n﹣ 2）× 180°是解题的关键．
17．（ 2019?宁波）如图所示，矩形纸片ABCD 中，AD ＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片
后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为（EFCD ）
A ． 3.5cm B． 4cm C． 4.5cm D ． 5cm
【答案】解：设AB＝ xcm，则 DE ＝（ 6﹣ x） cm，
根据题意，得π（ 6﹣ x），
解得 x＝ 4．
故选： B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
18．（ 2019?舟山）如图，已知⊙ O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ ABC＝ 30°，切线PA 交 OC延长线于点 P，则PA 的长为（）
A ． 2B．C． D ．
【答案】解：连接OA，
∵∠ ABC＝ 30°，
∴∠ AOC＝ 2∠ABC＝ 60°，
∵过点 A 作⊙ O 的切线交OC 的延长线于点P，
∴∠ OAP＝ 90°，
∵ OA＝OC＝ 1，
∴ AP＝ OAtan60°＝ 1
，
故选： B．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的
关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
19．（ 2019?杭州）如图， P 为圆 O 外一点， PA， PB 分别切圆O 于 A， B 两点，若 PA＝ 3，则 PB＝（）
A ． 2B． 3C． 4 D ． 5
【答案】解：连接OA、 OB、OP，
∵PA， PB 分别切圆 O 于 A， B 两点，
∴ OA⊥PA，OB⊥ PB，
在Rt△AOP 和 Rt △ BOP 中，
，
∴Rt△AOP≌ Rt△BOP（ HL ），∴PB＝ PA＝ 3，
故选： B．
【点睛】本题考查了切线长定理，20．（ 2019?台州）如图，等边三角形三角形全等的判定和性质，
ABC 的边长为8，以 BC
作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．
上一点 O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，
则⊙O 的半径为（）
A ． 2B． 3C． 4 D ． 4【答案】解：设⊙ O与AC的切点为E，
连接 AO， OE，
∵等边三角形ABC 的边长为8，
∴AC＝ 8，∠ C＝∠ BAC＝60°，∵圆
分别与边 AB， AC 相切，
∴∠ BAO＝∠ CAO
∴∠ AOC＝ 90°，
BAC＝ 30°，
∴OC AC＝ 4，∵
OE⊥AC，
∴ OE OC＝ 2，
∴ ⊙O 的半径为2，
故选： A．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（ 2019?金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝ 90°，∠ ABC＝ 105°，若上面圆锥的侧面积为 1，则下面圆锥的侧面积为（）
A ． 2B．C． D ．
【答案】解：∵∠A＝90°， AB＝ AD，
∴△ ABD 为等腰直角三角形，
∴∠ ABD ＝ 45°， BD AB，
∵∠ ABC＝ 105°，
∴∠ CBD ＝ 60°，
而CB＝CD，
∴△ CBD 为等边三角形，
∴ BC＝ BD AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
AB ： CB，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于
∴下面圆锥的侧面积1．
故选： D ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
22．（ 2019?温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）
A ．πB． 2πC． 3π D ． 6π
【答案】解：该扇形的弧长3π．
故选： C．
【点睛】本题考查了弧长的计算：弧长公式： l（弧长为 l，圆心角度数为n，圆的半径为 R）．23．（ 2019?湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为 13cm，则这个圆锥的侧面积是（）
A ． 60πcm 2222 B． 65πcm C． 120πcm D ． 130πcm
【答案】解：这个圆锥的侧面积2π× 5× 13＝ 65π（ cm2）．
故选： B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，
扇形的半径等于圆锥的母线长．
24．（ 2019?台州）如图，有两张矩形纸片ABCD 和 EFGH ，AB ＝ EF＝2cm，BC ＝FG ＝ 8cm．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点 D 与点 G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时， tanα等于（）
A ．B．C． D ．
【答案】解：如图，
∵∠ ADC ＝∠ HDF ＝ 90°
∴∠ CDM ＝∠ NDH ，且 CD ＝DH ，∠ H ＝∠ C＝ 90°
∴△ CDM ≌△ HDN （ ASA）
∴MD ＝ ND ，且四边形 DNKM 是平行四边形
∴四边形 DNKM 是菱形
∴KM ＝ DM
∵sinα＝ sin∠ DMC
∴当点 B 与点 E 重合时，两张纸片交叉所成的角 a 最小，设MD ＝ a＝ BM，则 CM ＝ 8﹣ a，
222
∵ MD ＝ CD +MC ，
∴ a 2
＝4+（ 8﹣ a）
2
，
∴a
∴CM
∴tanα＝ tan∠ DMC
故选： D ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求CM 的长是本题的关键．
252019?2
为（）
A ． 1B．C． D ． 2
【答案】解：边长为 2 的正六边形由 6 个边长为 2 的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，
所以原来的纸带宽度2．
故选： C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆：把一个圆分成n（ n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．熟练掌握正六边形的性质．
26．（ 2019?绍兴）如图 1，长、宽均为3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意图，则图 2 中水面高度为（）
A ．B．C． D ．
【答案】解：过点 C 作 CF⊥ BG 于 F，如图所示：
设DE ＝x，则 AD ＝ 8﹣x，
根据题意得：（ 8﹣ x+8）× 3× 3＝ 3× 3×6，
解得： x＝ 4，
∴DE ＝4，
∵∠ E＝ 90°，
由勾股定理得：CD，
∵∠ BCE＝∠ DCF ＝ 90°，
∴∠ DCE ＝∠ BCF ，
∵∠ DEC ＝∠ BFC ＝ 90°，
∴△ CDE ∽△ BCF ，
∴，
即，
∴ CF．
故选： A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由
长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
27．（ 2019?绍兴）正方形ABCD 的边 AB 上有一动点E，以 EC 为边作矩形ECFG ，且边 FG 过点 D ．在点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中，矩形ECFG 的面积（）
A ．先变大后变小
B ．先变小后变大
C．一直变大 D ．保持不变
【答案】解：连接DE ，
∵，
，
∴矩形 ECFG 与正方形ABCD 的面积相等．
故选： D ．
【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接DE由面积关系进行转化是解题的关键.。