2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市九年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年浙江省绍兴市嵊州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.cos30°的值是( )
A. 1
2B. √3
2
C. √3
3
D. √3
2.将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线( )
A. y=3(x−1)2+1
B. y=3(x+1)2+1
C. y=3(x−1)2−1
D. y=3(x+1)2+1
3.在一个不透明的箱子里放有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同．从箱子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是( )
A. 1
5B. 2
5
C. 3
5
D. 2
3
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE//BC，若BD=2AD，则( )
A. AD
AB =1
2
B. AE
EC =1
2
C. AD
EC =1
2
D. DE
BC =1
2
5.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为( )
A. 3.71cm
B. 4.14cm
C. 4.32cm
D. 4.86cm
6.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )
A. 4π
B. 6π
C. 8π
D. 12π
7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sinA的是( )
A. CD
AC B. BD
CB
C. CB
AB
D. CD
CB
8.如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD.若CD=8，
BM=2，则AD
的长为( )
A. 10
B. 5√3
C. 4√5
D. 3√10
9.如图，AB=AC=25cm，DB=DE=5cm，点B，E，C三点共线，AB⊥BD.若BE=6，则BC的长为( )
A. 45cm
B. 42cm
C. 40cm
D. 5√26cm
10.已知A，B两点的坐标分别为(−2,−2)，(1,2)，线段AB上有一动点M(m,n)，过点M作x轴的平行线交抛物线y=−(x+1)2+b于点P(x1,y2)，Q(x2,y2)两点(点P在Q的左侧).若x1<
m≤x2恒成立，则b的取值范围为( )
A. b≤1
B. b≥6
C. −1<b≤6
D. −2<b≤5
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11.已知2m−7n=0，则m
n
的值为______．
12.某林业部门对某种树苗在一定条件下的移植成活率进行了统计，结果如表：
移植总数/棵50270400750150035007000900014000
成活的频率0.9400.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.900
若要有18000棵树苗成活，估计需要移植______棵树苗较为合适．
13.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将
△OAB放大后得到△OCD，若B(0,1)，D(0,3)，则△OAB与
△OCD的面积比为______．
14.如图，直线y=kx+b与抛物线y=−x2+2x+3交于点A，
B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式−x2+2x+3>
kx+b的解集为．
15.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，连结AO、CO.若BC=6，
sin∠BAC=3
5
，则⊙O的半径为______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连结DM.以DM为直角边作
直角三角形DEM，使得∠DEM=30°，斜边DE所在直线交射线MC于点F.若△MDF的面积是△MEF面积的√3倍，则CM的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
(1)计算：cos245°+tan60°⋅cos30°．
(2)已知线段c是线段a，b的比例中项，且a=4，b=16，求线段c的长．
18.(本小题8.0分)
一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、
③中的2个座位上．
(1)甲坐在①号座位的概率是______ ；
(2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．
19.(本小题8.0分)
如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84)
20.(本小题8.0分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE．
(1)求证：BD=DC．
(2)若∠BAC=50°，求∠ODE的度数．
21.(本小题10.0分)
嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面OB长240米．点A是桥面OB的中点，钢梁最高点C，D离桥面的高度均为30米．以桥面OB所在的直线为x轴，过点O且垂直于OB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求过点O，C，A三点的抛物线表达式．
(2)“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为22.5米的拱形钢梁的点E处(点E在点C的左侧)，小明从点O出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点E正下方的点F处，则小明通过桥面OB需多少分钟？
22.(本小题12.0分)
在矩形ABCD中，AB=2，E是AD上一点，AE=1.将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．
(1)如图1，若点F落在矩形ABCD的边CD上．
①求证：△BCF∽△FDE．
②求边AD的长．
(2)如图2，若点F落在对角线BD上，求边AD的长．
23.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为d(P,O)=|x1−x2|+|y1−y2|，二次函数y=x2−3x+4的图象如图所示．
(1)点A为图象与y轴的交点，点B(−1,b)在该二次函数的图象上，求d(A,B)的值．
(2)点C是二次函数y=x2−3x+4(x≥0)图象上的一点，记点C的横坐标为m．
①求d(O,C)的最小值及对应的点C的坐标．
②当t≤m≤t+1时，d(O,C)的最大值为p，最小值为q，若p−q=3
，求t的值．
4
24.(本小题14.0分)
正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点P是劣弧CD⏜上一点(点P与点C，D不重合)，连结PA，PD．
(1)如图1，求∠APD的度数．
(2)如图2，连结PB.在线段PB上取点M，使得AM=AB，过点M作MN//AB交PA于点N.记PA，
PB与边CD交于点E，F．
①求证：△ADP≌△AMP．
②若MN=5，CF=12，求正方形ABCD的面积．
答案和解析
1.【答案】B
，
【解析】解：cos30°=√3
2
故选：B．
根据特殊角的三角函数值可得答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
2.【答案】A
【解析】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0)，先把(0,0)向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的对应点的坐标为(1,1)，所以平移后的抛物线解析式为y=3(x−1)2+1．
故选：A．
先利用顶点式得到抛物线y=3x2的顶点坐标为(0,0)，再利用点平移的规律得到点(0,0)平移后的对应点的坐标为(1,1)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3.【答案】B
【解析】解：∵一个不透明的箱子里有5个球，其中2个红球，3个白球，
∴从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是：2
．
5
故选：B．
由一个不透明的箱子里共有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴AD AB =DE
BC
=AE
AC
=1
3
，
则AE
EC =1
2
，
∴A，C，D选项错误，B选项正确，
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：∵P是AB的黄金分割点(AP>BP)，线段AB的长为6cm，
∴AP
AB
≈0.618，
∴AP=0.618×6≈3.71(cm)，
故选：A．
根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6=60°，
∴正六边形的每个内角为180°−60°=120°，
∵正六边形的边长为6，
∴S
阴影=120π×6
2
360
=12π，
故选：D．
首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数
并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
7.【答案】D
，
【解析】解：在Rt△ABC中，sinA=BC
AB
，
在Rt△ACD中，sinA=CD
AC
∵∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
，
在Rt△BCD中，sin∠BCD=sinA=BD
BC
故选：D．
利用锐角三角函数定义判断即可．
此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．8.【答案】C
【解析】解：∵直径AB⊥CD，垂足为M，
CD=4，
∴DM=1
2
连接OD，设圆的半径为r，
则在直角△OMD中，OM=r−2，
由勾股定理得到：OD2=OM2+MD2，即r2=(r−2)2+42，
解得r=5，
∴OA=5，
∴AM=10−2=8，
在直角△AMD中，AD2=MD2+AM2，
∴AD=√42+82=4√5，
故选：C．
根据垂径定理和勾股定理即可求得AD．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：作AH⊥BC于H，DG⊥BE于G，
∴∠AHB=∠DGB，
∵BD=DE，DG⊥BE，
∴BG=1
2
BE=3cm，
由勾股定理得，DG=4cm，
∵AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABH+∠DBG=90°，
∵∠DBG+∠BDG=90°，
∴∠ABH=∠BDG，
∴△AHB∽△BGD，
∴AB BD =BH
DG
，
∴25
5=BH
4
，
∴BH=20cm，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=40cm，
故选：C．
作AH⊥BC于H，DG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得BG=3cm，利用勾股定理得DG=4cm，
再说明△AHB∽△BGD，可得AB
BD =BH
DG
，代入即可解决问题．
本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可作如图，
当抛物线经过点B时，−(1+1)2+b=2，
∴b=6，
当抛物线经过点A时，−(−2+1)2+b=−2，
∴b=−1，
∵x1<m≤x2恒成立，
∴b≥6，且b>−1，
∴b≥6，
故选：B．
由题意可得，函数图象开口向下，先求得抛物线经过
点B时a的取值，然后求得经过点A时a的取值，然后由x1<m≤x2恒成立得知线段AB的位置，进而得到a的取值范围．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于选择题中的压轴题．
11.【答案】7
2
【解析】解：∵2m−7n=0，
∴2m=7n，
∴m n =7
2
，
故答案为：7
2
．
利用比例的基本性质进行计算即可．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．12.【答案】20000
【解析】解：若要有18000棵树苗成活，估计需要移植树苗18000÷0.9=20000(棵)，
故答案为：20000．
用成活的数量除以成活的频率估计值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13.【答案】1：9
【解析】解：∵B(0,1)，D(0,3)，
∴OB=1，OD=3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD=1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．
故答案是：1：9．
根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
14.【答案】0<x<3
【解析】解：∵抛物线y=−x2+2x+3交y轴于点A，交x轴正半轴于点B，
∴点A(0,3)，
当y=0时，0=−x2+2x+3，
∴x1=3，x2=−1，
∴点B(3,0)，
∴等式−x2+2x+3>kx+b的解集为0<x<3，
故答案为0<x<3．
先求出点A，点B坐标，结合图象可求解．
本题考查了二次函数与不等式的应用，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：连接OB，延长AO交BC于点E，
∵AB=AC，OB=OC，
∴点A和点O都在线段BC的垂直平分线上，
∴BE=CE=3，AE⊥BC，
∴∠BOE=∠COE，
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOE=∠BAC，
∴sin∠BOE=sin∠BAC=3
5
，
∴BE OB =3
OB
=3
5
，
∴OB=5，
即⊙O的半径为5，
故答案为：5．
连接OB，延长AO交BC于点E，由圆周角定理证出∠BOE=∠BAC，由锐角三角函数的定义可求出答案．
本题考查了圆中的相关性质定理、线段垂直平分线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识点，熟练掌握相关性质定理及其应用是解题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：如图，过点D作DG⊥AC于G，过点E作EH⊥AC于H，
则∠DGM=∠MHE=90°，
在Rt△ABC中，BC=√AB2−AC2=√102−82=6，
∵D是AB的中点，
∴AD=1
2
AB=5，
∵∠AGD=∠ACB=90°，∠DAG=∠BAC，
∴△ADG∽△ABC ， ∴DG BC =AG AC =AD AB ，即DG 6=AG 8=510， ∴DG =3，AG =4， ∴CG =AC −AG =8−4=4，
∵△MDF 的面积是△MEF 面积的√3倍，
∴12FM ⋅DG =√3×1
2FM ⋅EH ，
∴DG =√3EH ，即EH =√33DG =√3，
在Rt △DEM 中，∠DME =90°，∠DEM =30°，
∴DM
ME =tan∠DEM =tan30°=√3
3，
∵∠DMG +∠MDG =90°，∠DMG +∠EMH =∠DME =90°，
∴∠MDG =∠EMH ，
∴△DMG∽△MEH ，
∴
MG EH =DM ME ， ∴MG
√3=√3
3，
∴MG =1，
∴CM =CG +MG =4+1=5，
故答案为：5．
如图，过点D 作DG ⊥AC 于G ，过点E 作EH ⊥AC 于H ，先证得△ADG∽△ABC ，求得：
DG =3，AG =4，CG =4，再根据△MDF 的面积是△MEF 面积的√3倍，可求得EH =√33
DG =√3，再利用三角函数定义可得DM ME =tan∠DEM =tan30°=√33
， 最后再证明△DMG∽△MEH ，运用相似三角形性质即可求得答案．
本题是相似三角形综合题，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角函数定义，三角形面积等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
17.【答案】解：(1)原式=(√22)2+√3×12
√3 =12+3
2
=2．
(2)根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×16，解得c=±8(线段是正数，负值舍去)，
故线段c的长为8．
【解析】(1)根据特殊三角函数值计算即可；
(2)根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
18.【答案】解：(1)1
3
(2)画树状图如图：
共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，
∴甲与乙相邻而坐的概率为4
6=2
3
．
【解析】解：(1)∵丙坐了一张座位，
∴甲坐在①号座位的概率是1
3
；
(1)直接根据概率公式计算即可；
(2)画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.【答案】解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC=40°，AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC⋅AO≈0.64×1.2=0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙．
【解析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可．本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线，此题难度不大．
20.【答案】(1)证明：∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD//AC，
∴BO OA =BD
DC
=1，
∴BD=DC；(2)∵AB=AC，
∴∠B=∠C=1
2(180°−∠A)=1
2
×(180°−50°)=65°，
∴∠ODB=∠B=65°，
∵∠EDC=∠A=50°，
∴∠ODE=180°−∠ODB−∠EDC=180°−65°−50°=65°．
【解析】(1)利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ODB，∠B=∠C，再判断OD//AC，然后利用平行线分线段成比例得到BD=DC；
(2)利用三角形内角和计算出∠B=∠C=65°，则∠ODB=∠B=65°，再利用圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠A=50°，然后利用平角定义可计算出∠ODE的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．
21.【答案】解：(1)根据题意得：点A坐标为(120,0)，
点C是过点O，C，A三点抛物线的顶点，点C坐标为(60,30)，
∴设抛物线的解析式为：
y=a(x−60)2+30(a≠0)，把点(0,0)代入得：
0=a(0−60)2+30，
解得：a=−1
120
，
∴过点O，C，A三点的抛物线表达式为y=−1
120
(x−60)2+30；
(2)把y=22.5代入(1)中解析式得：
22.5=−1
120
(x−60)2+30，
解得：x1=90，x2=30，
∵点E在点C的左侧，
∴OF=30，
由题意知：小明通过桥面的速度为：30÷0.5=60(米/分)，
∴小明通过桥面OB需要时间为：240÷60=4(分钟)．
答：小明通过桥面OB需4分钟．
【解析】(1)根据题意用待定系数法求函数解析式即可；
(2)把y=22.5代入(1)中解析式，求得OF=30，然后求出小明行走的速度，再求出小明通过桥面的时间即可．
本题考查了二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
22.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∵将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．
∴∠EFB=∠A=90°，EF=AE=1，BF=AB=2，
∴∠DFE+∠BFC=90°，
∵∠CBF+∠CFB=90°，
∴∠DFE=∠CBF，
∵∠D=∠C=90°，
∴△BCF∽△FDE；
②解：设DE=x，则AD=x+1，
由①知△BCF∽△FDE，
∴EF BF =ED
CF
=1
2
，
∴CF=2x，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
(x+1)2+(2x)2=22，
解得：x=3
5
或−1(舍去)，
∴AD=x+1=3
5+1=8
5
；
(2)解：设DF=x，
∵将△ABE沿BE折叠，
∴EF=AE=1，∠EFB=∠A=90°，又∵∠BDA=∠EDF，
∴△ABD∽△FED，
∴DF AD =EF
AB
=1
2
，
∴AD=2x，
∴DE=2x−1，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2−DF2，即(2x−1)2−x2=1，
解得：x=4
3
或0(舍去)，
∴AD=2x=2×4
3=8
3
．
【解析】(1)①根据同角的余角相等可得∠DFE=∠CBF，从而证明结论；
②设DE=x，则AD=x+1，由①知△BCF∽△FDE，得EF
BF =ED
CF
=1
2
，从而得出CF=2x，在Rt△
BCF中，利用勾股定理列方程即可；
(2)设DF=x，证明△ABD∽△FED，得DF
AD =EF
AB
=1
2
，则AD=2x，DE=2x−1，在Rt△DEF中，
由勾股定理得：(2x−1)2−x2=1，从而解决问题．
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理列方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把x=0代入y=x2−3x+4，得y=4，
∴点A坐标为(0,4)，
把(−1,b)代入y=x2−3x+4，得b=1+3+4=8，
∴点B坐标为(−1,8)，
∴d(A,B)=|−1−0|+|8−4|=5．
(2)①∵y =x 2−3x +4=(x −32)2+74，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(32,74)，
∴y ≥74，
∵点C 在抛物线上，
∴C(m,m 2−3m +4)，
∴d(O,C)=|m −0|+|m 2−3m +4−0|，
∵m ≥0，m 2−3m +4≥74，
∴d(O,C)=m 2−2m +4=(m −1)2+3，
∴当m =1时，d(O,C)最小值为3，
此时点C 坐标为(1,2)．
②∵d(O,C)=(m −1)2+3，
∴当0≤m <1时，d(O,C)随m 增大而减小，当m ≥1时，d(O,C)随m 增大而增大， 把m =t 代入d(O,C)=(m −1)2+3得d(O,C)=(t −1)2+3，
把m =t +1代入入d(O,C)=(m −1)2+3得d(O,C)=t 2+3，
当t +1−1=1−t 时，t =12
， 当0<t ≤12时，d(O,C)的最小值q =3，最大值p =(t −1)2+3，
p −q =(t −1)2=34，
解得t =1+√32(不符合题意，舍去)，t =1−√32， 当12
<t ≤1时，d(O,C)的最小值q =3，最大值p =t 2+3， p −q =t 2=34，
解得t =√32，t =−√32(不符合题意，舍去)． 当t >1时，d(O,C)的最小值q =(t −1)2+3，最大值p =t 2+3，
p −q =t 2−(t −1)2=34，
解得t=7
8
(不符合题意，舍去)，
综上所述，t=1−√3
2或√3
2
．
【解析】(1)求出点A，B坐标，然后根据d(P,O)=|x1−x2|+|y1−y2|求解．
(2)①设点C坐标为(m,m2−3m+4)，根据d(O,C)=|m−0|+|m2−3m+4−0|求解．②分类
讨论0<t≤1
2，1
2
<t≤1，t>1三种情况求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．24.【答案】(1)解：如图1，
连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=1
2
∠BCD=45°，
∵AD⏜=AD⏜，
∴∠APD=∠ACD=45°；
(2)①证明：∵AM=AB，
∴∠ABP=∠AMB，
∵四边形ABPD内接于⊙O，
∴∠ABP+∠ADP=180°，
∵∠AMB+∠AMP=180°，
∴∠ADP=∠AMP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴AD⏜=AB⏜，AD=AM，∴∠APD=∠APB，
在△ADP和△AMP中，
{∠APD=∠APB ∠ADP=∠AMP AD=AM
，
∴△ADP≌△AMP(AAS)；
(3)解：如图2，
连接EM并延长交BC于Q，连接AQ，AQ交BF于G，由①知：△ADP≌△AMP，
∴∠DAP=∠MAP，
在△DAE和△MAE中，
{AD=AM
∠DAP=∠MAP AE=AE
，
∴△DAE≌△MAE(SAS)，
∴∠AME=∠ADE=90°，
∵AM=AB，AQ=AQ，
∴△ABQ≌△AMQ(HL)，
∴MQ=BQ，
∵AM=AB，
∴AQ⊥BF，
∴∠BGQ=90°，
∵∠C=90°，∠GBQ=∠CBF，
∴∠AQB=∠BFC，
∵BC=AB，∠ABCQ=∠C=90°，
∴△ABQ≌△BCF(AAS)，
∴BQ=CF=12，
∴MQ=12，，
设∠PAD=∠PAM=α，
∴∠BAM=90°−∠DAM=90°−2α，
∵MN//AB，
∴∠AMN=∠BAM=90°−2α，
∴∠MNE=∠PAM+∠AMN=α+90°−2α=90°−α，
∵∠MEN=90°−∠MAE=90°−α，
∴∠MNE=∠MEN，
∴EM=MN=5，
∴EQ=EM+MQ=5+12=17，
设正方形的边长是a，
∴CD=BC=a，
∴CE=CD−EM=a−5，
CQ=BC−BQ=a−12，
在Rt△ECQ中，
CE2+CQ2=EQ2，
∴(a−5)2+(a−12)2=172，
∴a1=20，a2=−3(舍去)，
=a2=202=400．
∴S
正方形ABCD
【解析】(1)可通过∠APD=∠ACD=45°求得结果；
(2)①可证明∠ADP=∠AMP，∠APD=∠APM，PA是公共边得出△ADP≌△AMP；
(3)连接EM并延长交BC于Q，连接AQ，AQ交BF于G，可证得△DAE≌△MAE，从而∠AME=∠ADE= 90°，进而△ABQ≌△AMQ，进而△ABQ≌△BCF，设∠PAD=∠PAM=α，可证得∠MNE=∠MEN= 90°−α，可得EM=MN=5，从而EQ=EM+MQ=5+12=17，进一步求得结果．
本题考查了正方形的性质，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆的弦、弧、圆周角之间的关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是观察和寻找全等三角形．。