周期函数

情境 引入
f t 12 f t
f x 2 f x
f x 2k f x
f n 2 f n
问题4：你能否给出周期函数的定义？
周期函数的“定义”
概念 完善
概念 应用
一般地，对于函数f(x)，都有： f(x+T)=f(x) 我们称函数f(x)为周期函数。
归纳 小结
函数的周期性
情境 引入
周期函数的定义：
一般地，对于函数f (x)，如果存 在一个非零的常数T，使得当x取定义 域内的每一个值时，都有： f (x+T)=f (x) 我们称函数f (x)为周期函数. 这个非零的常数T叫做它的周期.
概念 完善
概念 应用
归纳 小结
函数的周期性
情境 引入
辨析：函数f x sin x, x 0,4 是周期函数吗？
举例 2
概念 完善
概念 应用
追问：如何用函数关系式来刻画这一周而复始 的现象？
归纳 小结
函数的周期性
情境 引入
问题4：如何用数学的方法来刻画现实世界中周 而复始的现象？
举例 3
概念 完善
水车上A点到水面的距离随时间的变化规律
概念 应用
追问：如何用函数关系式来刻画这一周而复始 的现象？
归纳 小结
函数的周期性
教学策略
（一）采用数学抽象与逻辑 推理紧密相结合的方式
（二）采用问题探究和信息 技术相结合的手段
函数的周期性
教学过程
情境 引入
概念 生成
概念 完善
概念 应用
归纳 小结
函数的周期性
概念 生成
概念 完善
概念 应用
问题1：这是一张课程表，一个学期150多天， 为什么只列出了7天的课程？
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函数的周期性
问题2：现实生活中还有哪些周而复始的现象？
举例 1
概念 生成
概念 完善
概念 应用
举例 2
归纳 小结
函数的周期性
情境 引入
问题3：如何用数学的方法来刻画现实世界中周 而复始的现象？
举例 1
概念 完善
概念 应用
追问：如何用函数关系式来刻画这一周而复始 的现象？
归纳 小结
函数的周期性
情境 引入
问题3：如何用数学的方法来刻画现实世界中周 而复始的现象？
函数的周期性
情境 引入
例：求下列函数的周期： (1) f x sin 2 x, x R;
概念 完善
1 (2) f x 2sin x , x R. 6 2
归纳 小结
思考： 如果函数y=f (x)的周期是T，那么函数 y=f (ωx)(ω >0)的周期是否为T/ω ？
函数的周期性
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）
教学策略
教学过程 目标检测
教学目标
教学背景
函数的周期性
函数的周期性
教学反思
教学背景
知识结构
(一)教学内容解析
函数的周期性
教学背景
（二）学生学情分析
数学抽象存在困难！ 逻辑推理存在困难！Leabharlann 函数的周期性教学背景
（三）重、难点分析
重点：理解周期函数和最小正周期定义，
狄利克雷（ Dirichlet） 德国数学家
概念 完善
任何无理数不是D(x)的周期
归纳 小结
函数的周期性
函数的最小正周期：
如果在周期函数f (x)的所有周期中存在 一个最小的正数，那么这个正数叫做f (x) 的最小正周期.
问题6：函数的最小正周期定义中去掉“如果” 会怎么样？ 问题7：周期函数f(x)=sinx 的最小正周期是什 么？为什么？
函数的周期性
情境 引入
概念 完善
——Tim Poston
实现 算法
函数的周期性
教学反思
一堂“概念”课
数学抽象与逻辑推理紧密结合
—— 积累了从具体到抽象的活动经验，运用逻辑 推理进行辨析，从特殊函数到一般函数，对概念 的认识变得稳定而又清晰．
问题探究与信息技术有机结合
——借助问题串学生参与定义的形成，利用多媒体 辅助教学，让学生充分感受到数形结合等思想，给 学生提供了一次展示自我、构建定义的经历．
概念 完善
追问1：对于这个正弦函数的图像，能否继续挖 去一些点，使得这个函数成为周期函数？ 追问2：隐去正弦函数的图像，留下原先打算挖 掉的点，此时函数还是周期函数吗？
归纳 小结
f x 0, x k , k Z
函数的周期性
情境 引入
辨析：狄利克雷函数 当x是有理数， 1， D x 当x是无理数； 0， 是周期函数吗？请说明理由.
掌握正余弦函数的周期，并能求一些简单 函数的周期.
难点：从现实世界中抽象出周期函数的定义，
正弦函数最小正周期的证明. 函数的周期性
教学目标
（一）通过从生活中周而复始的现象出发，从特殊 到一般，抽象概括出周期函数形式化定义. （二）选取正例与反例，运用逻辑推理，加深对周 期函数和最小正周期的本质认识而促进概念的学习． （三）体会从特殊函数到一般函数、从正弦函数周 期再到求一般周期函数的周期上，从特殊到一般的 研究策略．
函数的周期性
谢谢！
函数的周期性
x 0,
问题5：周期函数对于定义域具有怎样的要求？
x 0,6
概念 应用 归纳 小结
x D （D为函数的定义域） x T D, x 2T D, x nT D n N
周期函数的定义域至少有一端是无界的.
函数的周期性
情境 引入
辨析：函数f x sin x, x 0是周期函数吗？