2020年宁夏银川市北塔、唐西、景博中学中考数学二模试卷

2020年宁夏银川市北塔、唐西、景博中学中考数学二模
试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.下列运算正确的是()
A. x2+x2=x4
B. (a−b)2=a2−b2
C. (−a2)3=−a6
D. 3a2⋅2a3=6a6
2.自2020年1月份武汉新型冠状病毒发生以来，给我们国家的经济造成了巨大的损
失.经测算新型冠状病毒的直径约为0.00000012m，用科学记数法表示为
1.2×10−n m，则n等于()
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
3.如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体
的俯视图是()
A.
B.
C.
D.
4.口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一
个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
5.某共享单车前a公里1元，超过a公里的，每公里2元，若要使使用该共享单车50%
的人只花1元钱，a应该要取什么数()
A. 平均数
B. 中位数
C. 众数
D. 方差
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB的垂直平分线EF
，则AC的长是()交AC于点D，连接BD，若sin∠BDC=4
5
A. 4√3
B. 2√6
C. 10
D. 8
7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函
与一次函数y=bx+c的图象在同一坐标系内的图数y=a
x
象大致是()
A.
B.
C.
D.
8.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，
若S△BDE∶S△CDE=1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值()
A. 1
3
B. 1
4
C. 19
D. 116 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 分解因式：x 3y −2x 2y +xy =______．
10. 计算：|1−√2|−(π−√3)0+(12)−1= ______ ．
11. 若x =1是关于x 的一元二次方程x 2+3mx +n =0的解，则6m +2n =______．
12. 已知扇形的半径为4cm ，圆心角为120°，则扇形的弧长为______cm ．
13. 定义新运算：对于任意实数a ，b 都有：a ⊕b =a(a −b)+1，其中等式右边是通
常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×(2−5)+1=2×(−3)+1=−5，那么方程3⊕x =13的解为x =______．
14. 已知α、β均为锐角，且满足|sinα−12|+√(tanβ−1)2=0，则α+β=______．
15. 如图，半圆O 的直径AE =4，点B ，
C ，
D 均在半圆上，若AB =BC ，CD =D
E ，连接OB ，OD ，则图中阴影部
分的面积为______ ．
16. 在网格线中，每个方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形
叫做格点三角形，如图中的网格线中，每个小正方形的边长均为1，
以线段AB 为一边的格点三角形的面积随着第三个顶点的位置的不
同而发生变化，如下列表格中当格点三角形的面积为1时，频数为8；如果将图中
格点三角形面积记为S ，频数记为x ，根据上述信息计算：当S =3时，
x = ______ ． 格点三角形面积(S)
1 2 3 4 频数(x)
8
三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）
17. 解不等式组{5x−1
6+2>x+5
42x +5≤3(5−x)．
18.先化简，再求值：(1−x2
x2+x )÷x2−1
x2+2x+1
，并在−1，0，1，2中选择一个适当的x值
代入求值．
19.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶
点的坐标分别为A(−3,4)，B(−5,2)，C(−2,1)．
(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
(3)求(2)中线段OA扫过的图形面积．
20.在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一
空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所
，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的1
2
第二批鲜花每盒的进价是多少元？
21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线
MN//AB，D为AB边上中点，过点D作DE⊥BC，交
直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
AC；
(1)求证：DF=1
2
(2)试判断四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
22.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学
兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆
心角的度数为______；
(2)将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“______”；
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支
付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
23.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE
延长线于点C．
(1)若∠ADE=25°，求∠C的度数；
(2)若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
24.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b
的图象经过点A(−2,0)，与反比例函数y=k
x
(x>0)
的图象交于B(a,4)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)设M是直线AB上一点，过M作MN//x轴，交
反比例函数y=k
x
(x>0)的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
25.阅读下列材料，并解答后面的问题．
在学习了直角三角形的边角关系后，小颖和小明两个学习小组继续探究任意锐角三角形的边角关系：在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．
(1)小明学习小组发现如下结论：
如图1，过A作AD⊥BC于D，则sinB=AD
c ，sinC=AD
b
，即AD=csinB，AD=bsinC，
于是______ =______ ，即b
sinB =c
sinC
，同理有c
sinC
=a
sinA
，a
sinA
=b
sinB
，
则有a
sinA =b
sinB
=c
sinC
．
(2)小颖学习小组则利用圆的有关性质也得到了类似的结论：
如图2，△ABC的外接圆半径为R，连接CO并延长交⊙O于点D，连接DB，则∠D=∠A，
∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，
∵sinD=BC
DC =a
2R
，
∴sinA=a
2R ，即a
sinA
=2R，
同理：b
sinB =2R，c
sinC
=2R，
则有a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=2R
请你将这一结论用文字语言描述出来：______ ．
小颖学习小组在证明过程中略去了“b
sinB =2R，c
sinC
=2R”的证明过程，请你把
“b
sinB
=2R，”的证明过程补写出来．
(3)直接用前面阅读材料中得出的结论解决问题
规划局为了方便居民，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一座学校，使它到三个住宅小区的距离相等，已知小区C在小区B的正东方向√3千米处，小区A在小区B的东北方向，且A与C之间相距√2千米，求学校到三个小区的距离及小区A在小区C的什么方向？
26.如图，在平行四边形ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交
AD于E，连接CE、CP.已知∠A=60°．
(1)试探究，当△CPE≌△CPB时，CD与DE的数量关系；
(2)若BC=4，AB=3，当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的
最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、x2+x2=2x2，错误；
B、(a−b)2=a2−2ab+b2，错误；
C、(−a2)3=−a6，正确；
D、3a2⋅2a3=6a5，错误；
故选：C．
根据同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法计算即可．
此题考查同类项、完全平方公式、幂的乘方和单项式的乘法，关键是根据法则进行计算．2.【答案】B
【解析】解：0.00000012=1.2×10−n=1.2×10−7，则n=7．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，
第二横行有3个正方形，
第三横行中间有一个正方形．
故选：C．
根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】B
=0.3，
【解析】解：设袋中白球有x个，根据题意得：x
x+14
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
故选：B．
根据白球的频率稳定在0.3附近得到白球的概率约为03，根据概率的意义即可求出答案．此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解白球的频率稳定在0.3附近即为概率约为0.3．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数，由于要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，根据中位数的意义分析即可．
【解答】
解：根据中位数的意义，
故只要知道中位数就可以了．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：在Rt△BCD中，∵sin∠BDC=CB
BD =4
5
，
∴4
DB =4
5
，
∴BD=5，
∴CD=√BD2−BC2=√52−42=3，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AD=BD=5，
∴AC=CD+AD=3+5=8，
故选：D．
解直角三角形求出BD，CD，再证明AD=BD即可解决问题．
本题考查解直角三角形，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】A
【解析】解：由二次函数图象可知a>0，c>0，
由对称轴x=−b
2a
>0，可知b<0，
所以反比例函数y=a
x
的图象在一、三象限，
一次函数y=bx+c经过一、二、四象限．
故选A．
先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数
y=a
x
与一次函数y=bx+c的图象经过的象限即可．
本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到DE
AC =BE
BC
=1
4
，
借助相似三角形的性质即可解决问题．【解答】
解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴BE：EC=1：3；
∴BE：BC=1：4；
∵DE//AC，
∴△DOE∽△AOC，△BDE∽△BAC
∴DE
AC =BE
BC
=1
4
，
∴S△DOE：S△AOC=(DE
AC )2=1
16
，
故选D．
9.【答案】xy(x−1)2
【解析】解：原式=xy(x2−2x+1)=xy(x−1)2．
故答案为：xy(x−1)2
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10.【答案】√2
【解析】解：原式=√2−1−1+2
=√2．
故答案为：√2．
直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质、绝对值的定义化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
11.【答案】−2
【解析】解：把x=1代入x2+3mx+n=0得：
1+3m+n=0，
3m+n=−1，
则6m+2n=2(3m+n)=2×(−1)=−2；
故答案为：−2．
先把x=1代入x2+3mx+n=0，得到3m+n=−1，再把要求的式子进行整理，然后代入即可．
此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是把x的值代入，得到一个关于m，n的方程，不要求m.n的值，要以整体的形式出现．
12.【答案】8
3
π
【解析】
【分析】
本题考查了弧长的计算有关知识．
根据弧长公式求出扇形的弧长．
【解答】
解：l扇形=120π×4
180=8
3
π，
πcm．
则扇形的弧长=8
3
π.
故答案为8
3
13.【答案】−1
【解析】
【分析】
考查了实数的运算和解一元一次方程，解题的关键是根据新定义运算法则得到关于x的方程．根据运算的定义列出方程，然后解方程求得x的值即可．
【解答】
解：3⊕x=13，
3(3−x)+1=13，
解得：x=−1．
故答案为：x=−1．
14.【答案】75°
【解析】
【分析】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.根据非负数的性质，可得特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
=0，tanβ−1=0，
sina−1
2
解得α=30°，β=45°，
α+β=30°+45°=75°．
故答案为75°．
15.【答案】π
【解析】解：∵AB=BC，CD=DE，
∴ÂB=B̂C，ĈD=D̂E，
∴ÂB+D̂E=B̂C+ĈD，
∴∠BOD=90°，
∴S 阴影=S 扇形OBD =
90π×(4÷2)2360=π．
故答案是：π． 根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD 的面积，根据扇形面积公式即可求解．
本题考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD 的面积．
16.【答案】4
【解析】解：由图形可知S 是x 的一次函数，
根据三角形面积，则S =1时，x =8；S =2时，x =6，
设y =kx +b ，
将x =8，S =1；x =6，S =2代入得{8k +b =16k +b =2
， 解得：k =−12，b =5．
∴S =−12x +5．
当S =3时，x =4，
故答案为4．
依据三角形的面积公式得出S =1时，x =8；S =2时，x =6，则S 与x 是一次函数关系，然后利用待定系数法求得S 关于x 的关系式，把S =3代入即可求得．
本题主要考查的是一次函数的应用，掌握各点三角形的概念以及三角形的面积公式是解题的关键．
17.【答案】解：{5x−16+2>x+54①
2x +5≤3(5−x)②， 解①得：x >−1，
解②得：x ≤2，
则不等式组的解集是：−1<x ≤2．
【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．
18.【答案】解：原式=[x2+x
x(x+1)−x2
x(x+1)
]÷(x+1)(x−1)
(x+1)2
=
x
x(x+1)
⋅
(x+1)2
(x+1)(x−1)
=1
x−1
，
∵x≠±1且x≠0，
∴x=2，
则原式=1
2−1
=1．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定x的值，继而代入计算即可得出答案．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)∵OA=√32+42=5，
∴线段OA扫过的图形面积=90π×52
360=25
4
π.
【解析】(1)分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A2B2C2即可；
(3)利用扇形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是作图−旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．20.【答案】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有
7500 x =1
2
×16000
x+10
，
解得x=150，
经检验：x=150是原方程的解．
故第二批鲜花每盒的进价是150元．
【解析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是
第一批所购鲜花的1
2
，列出方程求解即可．
考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程．
21.【答案】(1)证明：∵D为AB边上中点，
∴AB=2BD，
∵DE⊥BC，
∴∠BDF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DFB=∠ACB，
∴DF//AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴DF
AC =BD
BA
=1
2
，
即DF=1
2
AC；
(2)解：四边形BECD是菱形．
理由如下：∵AC//DE，
∵CE//AD，
∴四边形ADEC为平行四边形，
∴CE=AD，
∵D点为斜边AB的中点，
∴DC+DA=DB，
∴CE=BD，
而CE//BD，
∴四边形BDCE为平行四边形，
而DB=DC，
∴四边形BECD为菱形．
【解析】(1)先证明DF//AC，则可判断△BDF∽△BAC，利用相似比可得到DF=1
2
AC；
(2)先证明四边形ADEC为平行四边形得到CE=AD，再根据斜边上的中线性质得到DC+DA=DB，则CE=BD，接着判断四边形BDCE为平行四边形，然后利用DB=DC 可判断四边形BECD为菱形．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般
方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质和菱形的判定．
22.【答案】(1)200，81°；(2)微信；
(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为3
9=1
3
．
【解析】
解：(1)本次活动调查的总人数为(45+50+15)÷(1−15%−30%)=200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×45
200
=81°，
故答案为：200，81°；
(2)微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
(3)见答案．
【分析】
(1)用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘
以“支付宝”人数所占比例即可得；
(2)用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)连接OA，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵AE⏜=AE⏜，∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°，
∴∠C=90°−∠AOE=90°−50°=40°；
(2)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AE⏜=AE⏜，
∴∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，
∴∠AOC+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∴∠C=30°，
∴OA=1
OC，
2
设⊙O的半径为r，
∵CE=2，
(r+2)，
∴r=1
2
解得：r=2，
∴⊙O的半径为2．
【解析】此题考查切线的性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是根据切线的性质进行解答．
(1)连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；
(2)利用圆周角定理和等腰三角形的性质得出∠C=30°，然后根据直角三角形的性质解答即可．
24.【答案】解：(1)∵一次函数y=x+b的图象经过点A(−2,0)，
∴0=−2+b，得b=2，
∴一次函数的解析式为y=x+2，
(x>0)的图象交于B(a,4)，
∵一次函数的解析式为y=x+2与反比例函数y=k
x
∴4=a+2，得a=2，
∴4=k
，得k=8，
2
(x>0)；
即反比例函数解析式为：y=8
x
(2)
∵点A(−2,0)，
∴OA=2，
,m)(m>0)，
设点M(m−2,m)，点N(8
m
当MN//AO且MN=AO时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，−(m−2)|=2，
|8
m
解得，m=2√2或m=2√3+2，
∴点M的坐标为(2√2−2,2√2)或(2√3,2√3+2)．
【解析】(1)根据一次函数y=x+b的图象经过点A(−2,0)，可以求得b的值，从而可以解答本题；
(2)根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于0．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】c sin B b sin C在一个锐角三角形中，各边和它们的对角的正弦值的比值都
相等，等于它的外接圆的直径
【解析】解：(1)如图1，过A作AD⊥BC于D，则sinB=AD
c ，sinC=AD
b
，
即AD=csinB，AD=bsinC，
于是AD=csinB，AD=bsinC，即b
sinB =c
sinC
，
同理有c
sinC =a
sinA
，a
sinA
=b
sinB
，
则有a
sinA =b
sinB
=c
sinC
；
故答案为：csinB=bsinC；
(2)可得出结论：在一个锐角三角形中，各边和它们的对角的正弦值的比值都相等，等于它的外接圆的直径．
故答案为：在一个锐角三角形中，各边和它们的对角的正弦值的比值都相等，等于它的外接圆的直径．
证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，
∴∠B=∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，sinD=AC
AD =b
2R
，
∴sinB=b
2R
，
∴b
sinB
=2R．
(3)在△ABC中，AC=√2，∠B=45°，△ABC的外接圆的直径为R，
则AC
sinB =√2
sin45°
=2R，
∴R=1，
又∵BC
sinA =AC
sinB
，
即√3
sinA =AC
sinB
，
∴√3
sinA =√2
sin45°
，
∴sinA=√3
2
，
∴∠A=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−60°−45°=75°，
∴学校到三个小区的距离都为1，小区A在小区C的北偏西15°．
(1)由AD的长可得出答案；
(2)如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，由圆周角定理得出∠ACD=90°，得
出sinD=AC
AD =b
2R
，则可得出结论；
(3)由(2)中的结论可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了锐角三角函数的定义，三角形的外接圆，圆周角定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26.【答案】解：(1)当△CPE≌△CPB时，CD=DE，理由如下：
∵△CPE≌△CPB，
∴∠CEP=∠B，
在平行四边形ABCD中，∠A=60°．
∴∠B=180°−60°=120°，
∴∠PEC=∠B=120°，
∵PE⊥AB，∠A=60°．
∴∠PEA=30°，
∴∠CED=180°−120°−30°=30°，
∵AB//CD，
∴∠D=180°−∠A=120°，
∴∠DCE=180°−∠D−∠CED=30°，
∴DC=DE；
(2)∵PE⊥AB，∠A=60°．
∴∠PEA=30°，
∴AE=2PA，
设PA=x，则AE=2x，
∴PE=√3x，
延长CD交PE的延长线于点G，
∵AB//CD ，
∴∠G =∠APE =90°，
在Rt △EDG 中，∠DEG =∠PEA =30°，DE =AD −AE =4−2x ，
∴DG =12EG =2−x ，
∴CG =CD +DG =3+2−x =5−x ，
∴S △CPE =
12×PE ⋅CG =12
×√3x(5−x) =−
√32(x 2−5x) =−√32(x −52)2+
258√3， ∴当AP 的长为52时，△CPE 的面积最大，最大面积为258√3．
【解析】(1)根据全等三角形的性质和平行四边形的性质即可证明CD =DE ；
(2)延长CD 交PE 的延长线于点G ，设PA =x ，则AE =2x ，可得PE =√3x ，在Rt △EDG 中，∠DEG =∠PEA =30°，DE =AD −AE =4−2x ，可得DG =12EG =2−x ，CG =CD +DG =3+2−x =5−x ，根据三角形面积可得二次函数，根据二次函数最值即可得结论．
本题属于代数几何综合题，考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形面积，二次函数最值，解决本题的关键是综合运用以上知识．。