湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
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【答案】D
【解析】
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
6.函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （）
A. B.1C.－1D.
参考数据：
参考时间轴：
A.宋B.唐C.汉D.战国
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数关系 ，取 即可计算得解.
【详解】依题意，当 时， ，而 与死亡年数 之间的函数关系式为 ，
则有 ，解得 ，于是得 ，
当 时， ，于是得： ，解得 ，
由 得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
（1）记 ，写出 ，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2022项和 .
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的定义求得 ，求出 ，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由 得 ， ，然后用并项求和法结合等比数列前 项和公式计算．
【小问1详解】
，
又
【小问2详解】
，则
18.如图， 为 中点，曲线 上任一点到 点的距离相等， 在曲线 上且关于 对称.
长沙市一中2023届高三月考试卷（一）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合 ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.
【详解】由 ，得 ，所以 .
当 ，所以 只有0一个零点，B错误；
令 ， ，故曲线 在点 处切线的斜率为 ，C正确；
由函数的定义域为 ，不关于原点对称知， 不是偶函数，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.
12.已知函数 ，则下列说法正确 有（）
故选：ACD.
【点睛】分段函数与不等式相结合的题目，往往需要数形结合进行求解，尤其是整数解个数问题，画出函数图象，转化为交点个数问题等.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中 的系数是______（用数字作答）．
【答案】-4480
【解析】
【分析】 ，把三项式转化成二项式，利用二项式定理求解.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得 的值，根据数量积的运算法则求得 以及 的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意可得 ，
故
，
，
，
故 ，
由于 ，故 ，
故选：C
4.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量 会按确定的比率衰减（称为衰减率）， 与死亡年数 之间的函数关系式为 （其中 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的 ，则可推断该文物属于（）
A. 平面
B. 与EH所成的角的大小为45°
C. 平面
D.平面 与平面OEF所成角夹角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先根据球的性质、勾股定理说明E，F，G，H分别是正方体棱的中点，再根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法、线面垂直的性质以及二面角的定义、等腰三角形进行判断.
【详解】在正方体 中， 平面 ，又 平面 ，所以 ，在 中， ，又正方体 的棱长为2，点O为 的中点，所以 ，又 ，设 ，所以 ，即H是正方体棱 的中点，同理可证，E，F，G分别是棱 ， ， 的中点.
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
2.已知复数 满足 ，则 （）
A. B.2C. D.4
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，代入 中化简可求出 ，
【详解】设 ，
因为 ，
所以 ，
所以
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
3.若 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角为（）
A.30°B.60°C.120°D.150°
B. 有两个零点
C.曲线 在点 处切线的斜率为
D. 是偶函数
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B.
【详解】由 知函数的定义域为 ，
，
当 时， ， ，
故 在 单调递增，A正确；
由 ，当 时， ，
【详解】解：选项A：若直线 经过原点，易知四边形 为平行四边形，因为 不一定与 相等，所以 不一定是矩形，故不正确；
选项B：四边形 的周长为 ，故正确；
选项C： 的面积的最大值为 ，故正确；
选项D：若直线MN经过 ，则 到直线 的最大距离为 ，故不正确．
故选：BC．
10.已知正方体 的棱长为2，点O为 的中点，若以O为球心， 为半径的球面与正方体 的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（）
对于选项A，因为G，H分别是棱 、 的中点，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
对于选项B，因为 ，所以 与EH所成的角即为 ，因为E，H分别是棱 、 的中点， 大小为45°，故B正确；
对于选项C，因为E，H分别是棱 、 的中点，所以 ，因为G，H分别是棱 、 的中点，所以 面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，又 ，所以 不垂直于平面 ，故C错误；
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用 的面积与 的面积比可求 的值.
【详解】解：先证明一个结论：如图， 在平面 内的射影为 ，
的平面角为 , ，则 .
证明：如图，在平面 内作 ，垂足为 ，连接 ，
因为 在平面 内的射影为 ，故 ，
因为 ，故 ，
因为 ，
故 平面 .
因为 平面 ，
故 ，所以 为二面角的平面角，
【详解】对于A：当 ，∴ ， ，∵ ，∴ ，A正确；
对于B： ，画出 与 的图象，根据函数的图象，
要想至少有3个正整数解，要满足 ，∴ ，故B错；
对于C：设切点 则 ，
∴ ，即 ，设 ，当 时， ，∴ 是单调递增函数，∴ 最多只有一个根，又 ，
∴ ，由 得切线方程是 ，故C正确；
对于D.：由题意 .设 ，则 ，于是 在 上是增函数.因为 ， ，所以 ，即 对任意的 恒成立，因此只需 .设 ， ，所以 在 上为增函数，所以 ，所以 ，即 的最大值是 ，选项D正确；
9.已知椭圆 ： ， 、 是椭圆 的两个焦点， 、 是椭圆 上两点，且 、 分别在 轴两侧，则（）
A.若直线 经过原点，则四边形 为矩形
B.四边形 的周长为20
C. 的面积的最大值为12
D.若直线 经过 ，则 到直线 的最大距离为8
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性，焦点三角形的性质依次讨论各选项即可得答案.
对于选项D，取EF、GH的中点I、Q，连接OI、QI、QO，因为OF=OE，所以 ，同理可证 ，所以 即为平面 与平面OEF所成角的平面角，根据勾股定理有： ， ， ，所以在等腰 中有： .
所以平面 与平面OEF所成角夹角的余弦值为 ，故D正确.
故选：ABD.
11.已知函数 ，则（）
A. 在 单调递增
【详解】解： ，
其展开式的通项为 ，令 ，则 ，
的通项为 ，
令 的系数为 .
所以 的展开式中 的系数是 .
故答案为：-4480
14.过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，则直线 的方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由题知 、 ，进而求解方程即可.
【详解】解：方法1：由题知，圆 的圆心为 ，半径为 ，
7.在三棱锥 中， 平面ABC， ， 与 的外接圆圆心分别为 ， ，若三棱锥 的外接球的表面积为 ，设 ， ，则 的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，然后利用球的性质可得 ，进而可得 ，再利用基本不等式即求.
【详解】∵ 平面ABC，
∴ ，
则 为直角三角形，其外心 为PB的中点， 的外心 ，
（1）证明： 平面 ；
（1）若点 与点 重合，求 的值；
（2）求五边形 面积 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理即可得出答案；
（2）根据题意可得 ，则 ，设 ，则 ，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.
【小问1详解】
若点P与点C重合，连接 ，
，
在 中， ，
所以过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
方法2：设 ， ，则由 ，可得 ，
同理可得 ，
所以直线 的方程为 .
故答案为：
15.已知函数 有两个不同的极值点 、 ，且 ，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由 可得 ，分析可知函数 在 上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数 的不等式组，即可解得实数 的取值范围.
所以 = .
在直角三角形 中， .
由题设中的第二图可得： .
设正六边形的边长为 ，则 ，
如图，在 中，取 的中点为 ，连接 ，则 ，
且 ， ，
故 ，
故 ，
故 .
故选：C.
【点睛】
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
所以 ，
因为 ，
所以 ，
【小问2详解】
连接 ，
因为曲线CMD上任一点到O距离相等，
所以 ，
因为P，Q关于OM对称，
所以 ，
设 ，则 ，
则
，其中 ，
当 时， 取得最大值 ，
所以五边形 面积S的最大值为 .
19.如图，圆台下底面圆 的直径为 ， 是圆 上异于 的点，且 ， 为上底面圆 的一条直径， 是边长为 的等边三角形， .
A.当 时，
B.若不等式 至少有3个正整数解，则
C.过点 作函数 图象的切线有且只有一条
D.设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，利用分段函数特征求解解析式；B选项，数形结合进行求解；C选项，设出切点坐标，利用斜率列出方程，结合单调性得到零点个数，即可判断；D选项，同构构造函数，参变分离，利用导函数得到最值，进而求出 的最大值.
【答案】A
【解析】
【分析】由图象得 的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数 的解析式，即可求 .
【详解】解：由图象可知 ，则 ．由 ，得 ．
则 ．∵点 在函数图象上，∴来自，∴ ， ．∵ ，∴ .
∴函数解析式为 ．
将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得 ．
故 ．
故选:A．
∴ ，又 ，
∴ ，
设三棱锥 的外接球的为 ，连接 ，则 平面ABC，
∴ ，
∴ ，又三棱锥 外接球的表面积为 ，
∴ ，即 ，
由 可得 ，
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最大值是 .
故选：B.
8.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是 ，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱 的三个顶点 处分别用平面 ，平面 ，平面 截掉三个相等的三棱锥 ，平面 ，平面 ，平面 交于点 ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面 与正六边形底面所成的二面角的大小为 ，则（）
【答案】①. ## ②. ##
【解析】
【分析】由离心率的定义可求得 ，利用 结合椭圆定义可求解．
【详解】由题， ，所以 ．
如图，连接 ，设 内切圆半径为 ，
则 ，即 ，
，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知数列 满足
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
令 可得 ，
设 ，其中 ，则函数 在 上有两个不等的零点，
所以， ，解得 .
故答案为： .
16.定义离心率是 的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆 是“黄金椭圆”，则 ___________，若“黄金椭圆” 两个焦点分别为 、 ，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是 的内心，连接 并延长交 于点N，则 ___________．
5.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务 必须排在前三位，且任务 、 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有
A.240种B.188种C.156种D.120种
【解析】
【详解】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.
6.函数 （ 且 ）在一个周期内的图象如图所示，将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （）
A. B.1C.－1D.
参考数据：
参考时间轴：
A.宋B.唐C.汉D.战国
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数关系 ，取 即可计算得解.
【详解】依题意，当 时， ，而 与死亡年数 之间的函数关系式为 ，
则有 ，解得 ，于是得 ，
当 时， ，于是得： ，解得 ，
由 得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
（1）记 ，写出 ，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前2022项和 .
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 的定义求得 ，求出 ，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由 得 ， ，然后用并项求和法结合等比数列前 项和公式计算．
【小问1详解】
，
又
【小问2详解】
，则
18.如图， 为 中点，曲线 上任一点到 点的距离相等， 在曲线 上且关于 对称.
长沙市一中2023届高三月考试卷（一）
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合 ，结合集合的补集及交集的定义即可求解.
【详解】由 ，得 ，所以 .
当 ，所以 只有0一个零点，B错误；
令 ， ，故曲线 在点 处切线的斜率为 ，C正确；
由函数的定义域为 ，不关于原点对称知， 不是偶函数，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.
12.已知函数 ，则下列说法正确 有（）
故选：ACD.
【点睛】分段函数与不等式相结合的题目，往往需要数形结合进行求解，尤其是整数解个数问题，画出函数图象，转化为交点个数问题等.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中 的系数是______（用数字作答）．
【答案】-4480
【解析】
【分析】 ，把三项式转化成二项式，利用二项式定理求解.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得 的值，根据数量积的运算法则求得 以及 的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意可得 ，
故
，
，
，
故 ，
由于 ，故 ，
故选：C
4.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量 会按确定的比率衰减（称为衰减率）， 与死亡年数 之间的函数关系式为 （其中 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的 ，则可推断该文物属于（）
A. 平面
B. 与EH所成的角的大小为45°
C. 平面
D.平面 与平面OEF所成角夹角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先根据球的性质、勾股定理说明E，F，G，H分别是正方体棱的中点，再根据线面平行的判定定理、异面直线所成角的求法、线面垂直的性质以及二面角的定义、等腰三角形进行判断.
【详解】在正方体 中， 平面 ，又 平面 ，所以 ，在 中， ，又正方体 的棱长为2，点O为 的中点，所以 ，又 ，设 ，所以 ，即H是正方体棱 的中点，同理可证，E，F，G分别是棱 ， ， 的中点.
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
故选：B.
2.已知复数 满足 ，则 （）
A. B.2C. D.4
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，代入 中化简可求出 ，
【详解】设 ，
因为 ，
所以 ，
所以
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
3.若 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角为（）
A.30°B.60°C.120°D.150°
B. 有两个零点
C.曲线 在点 处切线的斜率为
D. 是偶函数
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B.
【详解】由 知函数的定义域为 ，
，
当 时， ， ，
故 在 单调递增，A正确；
由 ，当 时， ，
【详解】解：选项A：若直线 经过原点，易知四边形 为平行四边形，因为 不一定与 相等，所以 不一定是矩形，故不正确；
选项B：四边形 的周长为 ，故正确；
选项C： 的面积的最大值为 ，故正确；
选项D：若直线MN经过 ，则 到直线 的最大距离为 ，故不正确．
故选：BC．
10.已知正方体 的棱长为2，点O为 的中点，若以O为球心， 为半径的球面与正方体 的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（）
对于选项A，因为G，H分别是棱 、 的中点，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故A正确；
对于选项B，因为 ，所以 与EH所成的角即为 ，因为E，H分别是棱 、 的中点， 大小为45°，故B正确；
对于选项C，因为E，H分别是棱 、 的中点，所以 ，因为G，H分别是棱 、 的中点，所以 面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，又 ，所以 不垂直于平面 ，故C错误；
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用 的面积与 的面积比可求 的值.
【详解】解：先证明一个结论：如图， 在平面 内的射影为 ，
的平面角为 , ，则 .
证明：如图，在平面 内作 ，垂足为 ，连接 ，
因为 在平面 内的射影为 ，故 ，
因为 ，故 ，
因为 ，
故 平面 .
因为 平面 ，
故 ，所以 为二面角的平面角，
【详解】对于A：当 ，∴ ， ，∵ ，∴ ，A正确；
对于B： ，画出 与 的图象，根据函数的图象，
要想至少有3个正整数解，要满足 ，∴ ，故B错；
对于C：设切点 则 ，
∴ ，即 ，设 ，当 时， ，∴ 是单调递增函数，∴ 最多只有一个根，又 ，
∴ ，由 得切线方程是 ，故C正确；
对于D.：由题意 .设 ，则 ，于是 在 上是增函数.因为 ， ，所以 ，即 对任意的 恒成立，因此只需 .设 ， ，所以 在 上为增函数，所以 ，所以 ，即 的最大值是 ，选项D正确；
9.已知椭圆 ： ， 、 是椭圆 的两个焦点， 、 是椭圆 上两点，且 、 分别在 轴两侧，则（）
A.若直线 经过原点，则四边形 为矩形
B.四边形 的周长为20
C. 的面积的最大值为12
D.若直线 经过 ，则 到直线 的最大距离为8
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性，焦点三角形的性质依次讨论各选项即可得答案.
对于选项D，取EF、GH的中点I、Q，连接OI、QI、QO，因为OF=OE，所以 ，同理可证 ，所以 即为平面 与平面OEF所成角的平面角，根据勾股定理有： ， ， ，所以在等腰 中有： .
所以平面 与平面OEF所成角夹角的余弦值为 ，故D正确.
故选：ABD.
11.已知函数 ，则（）
A. 在 单调递增
【详解】解： ，
其展开式的通项为 ，令 ，则 ，
的通项为 ，
令 的系数为 .
所以 的展开式中 的系数是 .
故答案为：-4480
14.过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，则直线 的方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由题知 、 ，进而求解方程即可.
【详解】解：方法1：由题知，圆 的圆心为 ，半径为 ，
7.在三棱锥 中， 平面ABC， ， 与 的外接圆圆心分别为 ， ，若三棱锥 的外接球的表面积为 ，设 ， ，则 的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，然后利用球的性质可得 ，进而可得 ，再利用基本不等式即求.
【详解】∵ 平面ABC，
∴ ，
则 为直角三角形，其外心 为PB的中点， 的外心 ，
（1）证明： 平面 ；
（1）若点 与点 重合，求 的值；
（2）求五边形 面积 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理即可得出答案；
（2）根据题意可得 ，则 ，设 ，则 ，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.
【小问1详解】
若点P与点C重合，连接 ，
，
在 中， ，
所以过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
方法2：设 ， ，则由 ，可得 ，
同理可得 ，
所以直线 的方程为 .
故答案为：
15.已知函数 有两个不同的极值点 、 ，且 ，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由 可得 ，分析可知函数 在 上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数 的不等式组，即可解得实数 的取值范围.
所以 = .
在直角三角形 中， .
由题设中的第二图可得： .
设正六边形的边长为 ，则 ，
如图，在 中，取 的中点为 ，连接 ，则 ，
且 ， ，
故 ，
故 ，
故 .
故选：C.
【点睛】
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
所以 ，
因为 ，
所以 ，
【小问2详解】
连接 ，
因为曲线CMD上任一点到O距离相等，
所以 ，
因为P，Q关于OM对称，
所以 ，
设 ，则 ，
则
，其中 ，
当 时， 取得最大值 ，
所以五边形 面积S的最大值为 .
19.如图，圆台下底面圆 的直径为 ， 是圆 上异于 的点，且 ， 为上底面圆 的一条直径， 是边长为 的等边三角形， .
A.当 时，
B.若不等式 至少有3个正整数解，则
C.过点 作函数 图象的切线有且只有一条
D.设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，利用分段函数特征求解解析式；B选项，数形结合进行求解；C选项，设出切点坐标，利用斜率列出方程，结合单调性得到零点个数，即可判断；D选项，同构构造函数，参变分离，利用导函数得到最值，进而求出 的最大值.
【答案】A
【解析】
【分析】由图象得 的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数 的解析式，即可求 .
【详解】解：由图象可知 ，则 ．由 ，得 ．
则 ．∵点 在函数图象上，∴来自，∴ ， ．∵ ，∴ .
∴函数解析式为 ．
将函数 图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度，得 ．
故 ．
故选:A．
∴ ，又 ，
∴ ，
设三棱锥 的外接球的为 ，连接 ，则 平面ABC，
∴ ，
∴ ，又三棱锥 外接球的表面积为 ，
∴ ，即 ，
由 可得 ，
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴ 的最大值是 .
故选：B.
8.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是 ，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱 的三个顶点 处分别用平面 ，平面 ，平面 截掉三个相等的三棱锥 ，平面 ，平面 ，平面 交于点 ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面 与正六边形底面所成的二面角的大小为 ，则（）
【答案】①. ## ②. ##
【解析】
【分析】由离心率的定义可求得 ，利用 结合椭圆定义可求解．
【详解】由题， ，所以 ．
如图，连接 ，设 内切圆半径为 ，
则 ，即 ，
，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知数列 满足
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
令 可得 ，
设 ，其中 ，则函数 在 上有两个不等的零点，
所以， ，解得 .
故答案为： .
16.定义离心率是 的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆 是“黄金椭圆”，则 ___________，若“黄金椭圆” 两个焦点分别为 、 ，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是 的内心，连接 并延长交 于点N，则 ___________．
5.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务 必须排在前三位，且任务 、 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有
A.240种B.188种C.156种D.120种