线性代数A 分块矩阵

课后练习：
设 S = Ir O , T = Ir K 都是n=r+s阶矩阵，而
K Is
O Is
A= A1 A2 是n阶矩阵，并且与S，T有相同的分法.
A3 A4
求SA, AS, TA, AT. 由此能得出什么规律？
且若A可逆，则有 A 1 =
A111 O O A221
分块矩阵的转置运算
A11 A12 … A1k 设 A = A21 A22 … A2k
………… As1 As2 … Ask
则 AT =
A1T1 A2T1 … ATs1 A1T2 A2T2 … ATs2 …………
A1Tk A2Tk … AsTk
练习 试添加适当水平线和竖直线使得 以下分块乘法有意义.
注意乘法顺序.
A11 A12 … A1k
设A=
A21 …
A22 …
… …
A2k …
As1 As2 … Ask
B11 B12 … B1l
B=
B21 B22 … …… …
B2l …
Bt1 Bt2 … Btl
只有当 s=t, k=l, 且 Aij 与 Bij 同型才有
A11+B11 A12+B12 … A1k+B1k
… ………
rmb1 rmb2 … rmbs
r1
r1B
(2)
AB =
r2 B = …
r2B …
rm
rmB
(3) AB = A (b1 , b2 , … , bs ) = (Ab1 , Ab2 , … , Abs )
特别地，
(1) 若 A= ( a1, …, an ), x = ( x1, …, xn )T, 则
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作业：
1.6节练习： 4. (b) (c) 9. 11. 14. 15.
11
例2
设有n阶矩阵 A = 0 In-1 , 求证: An = O.
0 0T
课后思考题：
设 A是nn矩阵, 若线性方程组 Ax=b 对于任意的 bRn 都有解, 则 A 一定是可逆矩阵.
例3
设方阵 A 有分块
A11 O
O A22
， 其中 A11 是 k k 矩阵,
A22是 s s 矩阵, 求证：方阵 A可逆当且仅当A11 、A22 都可逆,
例1
10000 01000 A= 0 0 1 0 0 00210 00001
11 3 20 3 ,B= 1 2 3 46 1 23 5
求 AB.
注：矩阵乘法的不同分块表达形式
设 Amn =
r1
r2 …
, Bns = (b1 , b2 , … , bs ).
rm
r1b1 r1b2 … r1bs (1) AB = r2b1 r2b2 ... r2bs
一般地，作
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
的一个分块
am1 am2 … amn
A11 A12 … A1k
A=
A21 A22 … A2k …………
As1 As2 … Ask
设其中的块 Aij 是 minj 矩阵, 则一定满足： m1+m2+ +ms = m, n1+n2+ +nk = n.
A+B = A21+B21 A22+B22 … A2k+B2k
… … …… As1+Bs1 As2+Bs2 … Ask+Bsk
rA11 rA12 … rA1k
rA =
rA21 …
rA22 … ……
rA2k …
rAs1 rAs2 … rAsk
A11 A12 … A1k
设A=
A21 …
A22 …
… …
x1
列向量的线性组合
A x = ( a1, …, an ) :⸽ = a1 x1+ … + an xn = x1 a1 + … + xn an
xn
(2) 进一步 ，取 ei = ( 0, …,0, 1, 0, …, 0 )T, 则
A ei = ai ; ei TA = ? ; ei TA ei = ?
A2k …
As1 As2 … Ask
B11 B12 … B1l
B=
B21 B22 … …… …
B2l …
Bt1 Bt2 … Btl
若 k=t 并且 Aij 的列数等于 Bjp 的行数，则
C11 C12 … C1l
AB =
C21 …
C22 … ……
C2l …
Cs1 Cs2 … Csl
k
其中 Cij = Ai1B1j + Ai2B2j +…+ AikBkj = AiqBqj q =1
2. 常用分块
设A=
a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………
am1 am2 … amn
(1) 按列分隔成 n 块:
a1i
A = (a1 , a2 , … , an ), 其中 ai =
a2i …
(2) 按行分隔成 m 块: r1
A=
r2 …
ami , 其中 ri = (ai1 ai2 … ain ).
rm
(3) 分块对角矩阵
10000 01000 00100 00210 00001
= A1 O O A2
其中A1 和 A2 都是方阵
B1 O O = O B2 O
O O B3
5
2. 分块矩阵的运算
跟矩阵一样有加法、数乘、乘法和逆运算, 且有一样的规则，需要注意的是：
1. 尺寸要匹配. 2. 由于分块矩阵的元素是矩阵，因此在作乘法运算时，
§ 1.6 分块矩阵
几类常见矩阵乘法的分块形式 分块矩阵的乘法运算 特殊分块矩阵的逆
1. 矩阵的分块
定义
在矩阵 A的若干行与列之间用水平线和竖直线 将矩阵 A 分隔成块状, 称为矩阵 A的一种分块, 这种分隔后的矩阵称为分块矩阵。
例如
1021 0021
2112 0011
2304 1234
块
=
A11 A12 A13 A21 A22 A23