固体物理chapter 5 固体能带论

VheiGhx VheiGh xa
h
h
倒格矢Gh
2
a
h
, eiGha 1
i 2 hx
V x V0 Vhe a
h0
其中
a
Vh
1 a
2
V
-a
x
i 2 hx
e a dx
2
a
V0
1 a
2
V
-a
x
dx
0
2
V x傅立展式 V x
i 2 hx
Vhe a
h0
2、处于周期性势场中的电子
波函数为
选择原点，
1
1 e ikx L
1 e ikx L
1
i h x
ea
L
1
i h x
e a
L
2
1 e ikx L
1 e ikx i L
2 sin h x
La
2 cos h x
La
三、近自由电子能量的讨论
E
自由电子 E ~ K 关系
E 2 k 2
2m
近自由电子 E ~ K 关系讨论
2 aa
a
（小量 变量）
a
aa
a
k h h h 1
aa
a
令Th
2 2m
h
a
2
Ek0
2 2m
h
a
1
2
Th 1
2
Ek0
2 2m
h
a
1
2
Th 1
2
代入（2）式得
[ ] [ ] E (k)
1 2
E
0
k
Ek0
1 2
(
E
0
k
Ek0 )2
4
Vh
2
1 2
[ ] [ ] 1 2
2Th 2Th2
k'
近似
k
1 L
k
2mVh
2
k
2
k
2h
2
a
1 L
e
ikh
x
e
ikx
k'
根据量子理论，上述非简并微扰只适用于 Ek0 Ek0
[ ] （或 k 2 k2 ）比较大的情况，以便很快收敛。
当 k 2 k2或 k 2 k2 (k k 2 h)，
a
即 k h , k h 或 k h , k h
第5章 固体能带论
能带理论是单电子近似理论。把每个电子运动 看成是独立的在一个等效势场中运动。 原子结合成固体，价电子运动状态很大变化， 把原子核和内层电子看成离子实,带正电。
固体中电子不再束缚于某个原子，而在整 个固体中运动——共有化运动。
5.2 布洛赫定理
一、周期性势场
1、周期性势场：把孤立原子当成一个带 正电的点电荷，由于晶格原子周期性排 列，内部原子的势场也具有周期性，边 界处势能将提高。
x
k0dx=
Vh
0
h
0
k k 2 h
a
k k 2 h
a
k k 2 h
a
k k 2 h
a
等式两边分别乘
0
k
，利用积分、整理
L
A
(0) k
Ek0
E(k)
i
Vhe
2 a
h
x
k0dx
0
h
L
B
(0) k
Ek
0
E(k)
i
Vhe
2 a
h
x
0
k
d
x
0
0
h
A
[
Ek0
L
E(k)]
(0)
k
k0dx
L
(0) k
Vh
i
e
2 a
h
x
k0dx
0
0
h
B
[
Ek0
L
E(k)]
(0)
k
k0 dx
L
(0) k
i 2
Vhe a
hx
k0 dx
0
0
0
h
得： A Ek0 E(k) BVh 0
等式两边分别乘 k0 ，利用积分、整理
L
A
(0) k
Ek
0
E(k)
Vh
i
e
2 a
rr
平移晶格矢量 Rn ，波函数只增加相位因子e ik Rn 。
2、布洛赫函数的特点
一维布洛赫函数
k x
uk
x
e i
r kx
xr
由波恩—卡曼边界条件 uk x uk x na
所以 uk（ x）也是周期性函数（与晶格相同周期）
e i k x x 平面波因子
e 结 性论函：数周uk期（x性）势和场平中面的波电子i波kx函x 数调为制周结期
（2） k 和 k 趋于布区边界，k h , k h
a
a
（3）
k
和
k
在布区边界上，k
h
a
,
k h
a
简并微扰理论
二、一维定态简并微扰
处于布区边界自由电子波函数和能量为
kh 时
a
k0
1
i h x
ea
L
Ek0
h2 2m
h
a
2
k h时
简 并
a
k0
1
i h x
ea
L
Ek0
h2 2m
k h , k h
a
a
能级分裂为 E (k) Th Vh ， E (k) Th Vh 禁带宽度为 Eg 2 Vh
禁带（能隙）：各能带之间的间隙，不允 许有电子状态。
能带分裂的位置和禁带宽度决定于晶 体结构以及周期性势场。
3、波矢趋于布区边界 k h , k h
k h h h 1
k
2 h
a
2
1 e i
k
2 a
h
x
L
k’散射波
1 L
k
2mVh
h2
k 2
k
2 h
a
2
1 L
e
i 2 h x a
e
ikx
uk x e ikx
调幅平面波，Bloch函数
讨论理论适用范围：
能量二级近似
Ek
2k 2 2m
k
2mVh 2
2
k
2
k
2h
2
a
波函数一级
ln
H2 k k
Ek0 Ek0
其中
Hk k
k
Hˆ
k
d
波函数：
k
0
k
k1
0
k
kk
H k k
Ek0
E
0
k
0
k
其中
H kk
H kk
一、一维定态非简并微扰
近似认为近自由电子处于一维无限深势阱
中，再加上周期性势场的微扰V（x）。
∞
∞
Hˆ
Hˆ 0
Hˆ
2 2m
2
V x
1、能量二级近似
0
L
Ek Ek0 Ek1 Ek2
La
2 i
2 sin h x
La
近似于自由电子
能级发生分裂 出现禁带
开口向上小抛物线 开口向下小抛物线
四、色散关系图（E ~ K） 1、扩展区图
E
第四能带
2V3
第三能带
2V2
第二能带
2V1
第一能带
3
a
2
a
a
2 3 K
a aa
2.重复区图
K
3 2
aa
a
0
a
2 3
aa
3、简约图
a
a
a
a
Ek0 Ek0 （0 或 0） k Ek
这时不能用非简并微扰处理.
当 k h , k h
a
a
即当k、k 趋于布里渊区边界
或k、k 处于布里渊区边界
用简并微扰处理
-2π/a
K hπ/a
把前行波 k 和反射波 k分为三个区域：
（1） k 和 k远离布区边界；（非简并微扰理论）
k
E (0) (0) k k
i 2 h x
a h h
0
k
0
等式两边分别乘
0
k
、
0
k
，全空间积分
利用以下积分
L
0*
k
i 2 h x
Vhe a
k0dx
L
0*
k
i
Vhe
2 a
h
x
0
k
dx
V
(x)
0
0
h
0
h
L
0*
k
i
Vhe
2 h a
x
k0 dx
=
Vh
0
h
0
L
0*
k
i
Vhe
2 h a
电子势函数
r
rr
VA(r ) VB (r Rn )
Ar
e
Rn+r Br
Rn
O
在已知周期性外场 V (r) ，可通过解薛定格 方程，求出电子的波函数和能量。
二、布洛赫定理
1、布洛赫定理
周期性势场 V r
具有 k
rr
r Rrn
V
k
r Rn
rr e
i
r k
中电子，波函数
r
Rn 性质。说明——
Ek0
H kk
kk
H2 kk
Ek0
Ek
0
零级（无微扰）
Ek0
h2k 2 2m
k0
1 e ikx L
一级修正
L
Ek1 Hkk
0
k
Hˆ
0
k
dx
V
x
0
0
L
Hkk
0
k
Hˆ
0
k
dx
0
1 L
L
e
0
ikx Vh
h0
e
i
2
a
h
x
e
ik x dx
1 L
V e e L
i
k
2 h
h
a
2
Ek0
零级波函数为自由电子波函数组合
(k) A k0 B k0
A e ikx L
B e ik x L
把 (k) 和V x
i 2 h x
Vhe a
展式代入薛定谔方程
h0
2 2m
d2 dx 2
2h
ix
Vhe a
h
A
(0 k
)
B
(0) k
E(k)
A
(0) k
B (0) k
1
2
Ek0
Ek0
Ek0 Ek0
2
4
Vh
2
1 2
Ek
h2 2m
k2
k uk x e ikx
E (k) Th Vh ， E (k) Th Vh Eg 2 Vh
E（ k) Th
Vh
Th
1
2Th Vh
2
E (k) Th
Vh
Th
2Th Vh
1
2
1
2 cos h x
2
aaK
1、当 k 和 k’ 远离布区边界时，即非简并情况，能量与
波函数修正项 中 Ek0 Ek0 较大，修正项较小
Ek
2 2m
k2
h0
Vh 2 Ek0 Ek0
2 2m
k2
电子近似认为是自由电子，E ~ K 曲线是抛物线
2、 k 和 k’处于布区边界
令
Ek(0)
2 2m
h
a
2
Th
V(r) r
孤立原子
V(x) x
周期性势函数 V(r) 可展成傅立叶级数
傅立叶系数
V r V0
V ei
r Gh
rr
h
h0
Vh
1
V
r
e
r iGh
rr
dr
r Gh
倒格矢，rr
正格子位置矢量（位矢）
一维周期性函数V(x)展成傅立叶级数
V x V0 VheiGhx h
QV x V xa
2 2m
d2 dx 2
i 2h x
Vhe a
h
A
(0) k
B
(0) k
E(k)
A
(0 k
)
B (0) k
A
E k0
E(k)
i
Vhe
2 h x
a
0
k
h2 2m
d2 dx2
(0) k
E(0) (0) kk
h
0
BE E(k) V e
h2 2m
d2 dx2
(0) k
a
x
ik x
h
h0 0
dx
L
Vh
h0 0
dx
k k 2 h
a
Vh
h0
k,k 2 h
a
Vh
0
k k 2 h
a
k k 2 h
a
能量二级近似值
Ek
h2k 2 2m
kk
Vh 2 Ek0 Ek0
h2k 2
2m Vh 2
2m
k
h2
k 2
k
2 h
a
2
2、波函数的一级近似
h
x
0
k
dx
0
h
L
B
(0) k
Ek0
E(k)
i 2 h
Vhe a
x
k0 d x
0
0
h
A [Ek0
L
E (k )]
(0) k
0
k
dx
L
(0) k
i
Vhe
2 a
h
x
k0dx
0
0
h
B
[
Ek0
L
E (k )]
(0) k
0
k
dx
L
(0) k
i 2 h
Vhe a
x
k0 dx
0
近自由电子近似下，电子的能量与波矢（E ~ K）关系图
E
第四能带
2V3
第三能带
2V2
第二能带
2V1
第一能带
3
a
2
a
a
2 3 K
a aa
k 和 k’ 远离布区边界 k 和 k’处于布区边 k 和 k’趋于布区边界 界
Ek
h2 k2 2m
h0
Vh 2 Ek0 Ek0
E (k)
k
0
k
1
k
k0
kk
H kk
Ek0
Ek
0
0
k
其中
Hkk
0
k
Hˆ
0
k
d
零级（无微扰）
0