【精品】2018年湖北省孝感市汉川市九年级上学期数学期中试卷及解析

2017-2018学年湖北省孝感市汉川市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C． D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0 C．x2+=3 D．x﹣5y=6
3．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
4．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（）
A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2 D．最大值2
5．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
6．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）
A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15
7．（3分）在平面直角坐标系中，平移二次函数y=x2+4x+3的图象能够与二次函数y=x2的图象重合，则平移方式为（）
A．向左平移2个单位，向下平移1个单位
B．向左平移2个单位，向上平移1个单位
C．向右平移2个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
8．（3分）方程x2﹣6x+5=0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（）
A．3 B．2 C．1 D．2
9．（3分）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O 为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）
A．16米B．米C．16米D．米
10．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（）
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则的值是．12．（3分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，顶点为C，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，3），则△ABC的面积为．
13．（3分）已知两点P（1，1）、Q（1，﹣1），若点Q固定，点P绕点Q旋转使线段PQ∥x轴，则此时的点P的坐标是．
14．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为．15．（3分）如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D=．
16．（3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）解下列方程：
（1）（2x+3）2﹣25=0
（2）2x2﹣2x+1=0．
18．（8分）已知二次函数y=1+6x﹣x2，求该抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
20．（8分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件，今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍（本题中0＜x≤1）．
（1）今年生产的这种玩具每件的成本为多少元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为多少元．（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，今年的年销售利润为4.5万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．
21．（9分）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）
（1）求抛物线的解析式：
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM周长最短？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO．BO．CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′，求：（1）∠OBO′的度数；
（2）OA+OB+OC的长．
23．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0．
（1）当k取何值方程有两个实数根．
（2）是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为
．
24．（13分）已知抛物线y=x2+2（m+1）x+4m，它与x轴分别交于原点O左侧的点A（x1，0）和右侧的点B（x2，0）．
（1）求m的取值范围；
（2）当|x1|+|x2|=3时，求这条抛物线的解析式；
（3）设P是（2）中抛物线位于顶点M右侧上的一个动点（含顶点M），Q为x 轴上的另一个动点，连结PA、PQ，当△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形时，求P点的坐标．
2017-2018学年湖北省孝感市汉川市九年级（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2﹣y=1 B．x2+2x﹣3=0 C．x2+=3 D．x﹣5y=6
【解答】解：A、x2﹣y=1是二元二次方程，不合题意；
B、x2+2x﹣3=0是一元二次方程，符合题意；
C、x2+=3不是整式方程，不合题意；
D、x﹣5y=6是二元一次方程，不合题意，
故选：B．
3．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值为（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【解答】解：由A（a，1）关于原点的对称点为B（﹣4，b），得
a=4，b=﹣1，
a+b=3，
故选：C．
4．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（）
A．最小值﹣3 B．最大值﹣3 C．最小值2 D．最大值2
【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），
所以该抛物线有最大值﹣3．
故选：B．
5．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC=A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC
∴∠BAA′=180°﹣70°﹣45°=65°，
故选：C．
6．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）
A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15
【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，
∴x2﹣8x=1，
∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，
故选：B．
7．（3分）在平面直角坐标系中，平移二次函数y=x2+4x+3的图象能够与二次函数y=x2的图象重合，则平移方式为（）
A．向左平移2个单位，向下平移1个单位
B．向左平移2个单位，向上平移1个单位
C．向右平移2个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【解答】解：二次函数y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，将其向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到二次函数y=x2．
故选：D．
8．（3分）方程x2﹣6x+5=0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q，则p+q等于（）
A．3 B．2 C．1 D．2
【解答】解：方程x2﹣6x+5=0较小的根为p=1，方程5x2﹣4x﹣1=0较大的根为q=1，
则p+q=2，
故选：B．
9．（3分）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O 为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）
A．16米B．米C．16米D．米
【解答】解：∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣，
∴C（﹣10，﹣），
∴桥面离水面的高度AC为m．
故选：B．
10．（3分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④＜a＜
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（）
A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，
∵对称轴为直线x=1
∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，
∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则的值是．【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两根，
∴a+b=6，ab=﹣5，
+===﹣．
故答案是：﹣．
12．（3分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，顶点为C，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，3），则△ABC的面积为8．
【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，顶点为C，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，3），
∴点B（4，3），
∴，得，
∴y=x2+bx+c=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∴顶点到直线AB的距离为：3﹣（﹣1）=4，
∴△ABC的面积为：=8，
故答案为：8．
13．（3分）已知两点P（1，1）、Q（1，﹣1），若点Q固定，点P绕点Q旋转使线段PQ∥x轴，则此时的点P的坐标是（﹣1，﹣1）或（3，﹣1）．
【解答】解：∵线段PQ∥x轴，点Q（1，﹣1），
∴点P的纵坐标为﹣1，
∵PQ=2，
∴点Q在点P的左边时，点P的横坐标为1+2=3，
此时点P的坐标为（3，﹣1），
点Q在点P的右边时，点P的横坐标为1﹣2=﹣1，
所以，点P的坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）或（3，﹣1）；
14．（3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为
=15．
【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x﹣1=15，
即=15，
故答案为：=15
15．（3分）如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交
于点D，则C′D=．
【解答】解：∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，
∴∠C=60°，BC=BC′=AC=5，
∴△BCC′是等边三角形，
∴CC′=5，
∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，
∴C′D∥BC，
∴DC′是△ABC的中位线，
∴DC′=BC=，
故答案为：．
16．（3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．
【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．
故答案为x1=﹣2，x2=1．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（6分）解下列方程：
（1）（2x+3）2﹣25=0
（2）2x2﹣2x+1=0．
【解答】解：（1）（2x+3）2=25，
2x+3=±5，
所以x 1=1，x 2=﹣4；
（2）（x﹣1）2=0，
x﹣1=0，
所以x1=x2=．
18．（8分）已知二次函数y=1+6x﹣x2，求该抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，并指出当x为何值时y随x的增大而减小．
【解答】解：∵a=﹣1＜0，
∴图象开口向下，
∵y=1+6x﹣x2=﹣（x﹣3）2+10，
∴对称轴是x=3，顶点坐标是（3，10）；
∵对称轴x=3，图象开口向下，
∴当x＞3时，y随x增大而减小．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，3），B（﹣1，2），C（﹣2，1）
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，B1（1，﹣2）．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（3，4）．
20．（8分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件，今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍（本题中0＜x≤1）．
（1）今年生产的这种玩具每件的成本为多少元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为多少元．（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，今年的年销售利润为4.5万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．
【解答】解：（1）依题意得：10+10•0.7x=10+7x；12+12•0.5x=12+6x．
故答案是：10+7x；12+6x；
（2）依题意得：2（1+x）（2﹣x）=4.5
解得x=0.5．
答：当x为0.5时，今年的年销售利润为4.5万元．
21．（9分）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）
（1）求抛物线的解析式：
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM周长最短？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在y=3x﹣3中，令y=0求得x=1，令x=0可得y=﹣3，
∴A（1，0），B（0，﹣3），
把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x=﹣1，
∵A、C关于对称轴对称，且A（1，0），
∴MA=MC，C（﹣3，0），
∴MB+MA=MB+MC，
∴当B、M、C三点在同一条直线上时MB+MC最小，此时△ABM的周长最小，∴连接BC交对称轴于点M，则M即为满足条件的点，
设直线BC的解析式为y=kx+m，
∵直线BC过点B（0，﹣3），C（﹣3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式y=﹣x﹣3，
当x=﹣1时，y=﹣2，
∴M（﹣1，﹣2），
∴存在点M使△ABM周长最短，其坐标为（﹣1，﹣2）．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠ABC=30°，点O为Rt△
ABC内一点，连接AO．BO．CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′，求：（1）∠OBO′的度数；
（2）OA+OB+OC的长．
【解答】解：（1）∵将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到O 的对应点为点O′），
∴∠OBO′=60°；
（2）∵∠C=90°，AC=2，∠ABC=30°，
∴BA=4，
∴BC==2，
∵将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），
∴OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=4，∠OBO′=∠ABA′=60°，
∴∠A′BC=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°，
∵BO=BO′，∠OBO′=∠ABA′=60°
∴△BOO′为等边三角形，
∴OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，
而∠BOC=120°，
∴∠COO′=∠BOC+∠BOO′=60°+120°=180°，
∴点O′在直线CO上，
同理可得点O、O′、A′共线，
∴A′C=OC+OO′+O′A′=OC+OB+OA，
∵∠CBA′=90°，
∴A′C==2，
即OA+OB+OC=2．
23．（10分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0．
（1）当k取何值方程有两个实数根．
（2）是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为
．
【解答】解：（1）∵△=[﹣（k+1）]2﹣4×（k2+1）=2k﹣3≥0，
∴k≥，
（2）设方程的两根为x1、x2
∴x12+x22=5，
∵x1+x2=k+1，x1x2=k2+1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k+1）2﹣2×（k2+1）=5，解得k1=﹣6，k2=2，∵x1+x2=k+1＞0，
∴k＞﹣1，
∴k=2．
24．（13分）已知抛物线y=x2+2（m+1）x+4m，它与x轴分别交于原点O左侧的点A（x1，0）和右侧的点B（x2，0）．
（1）求m的取值范围；
（2）当|x1|+|x2|=3时，求这条抛物线的解析式；
（3）设P是（2）中抛物线位于顶点M右侧上的一个动点（含顶点M），Q为x 轴上的另一个动点，连结PA、PQ，当△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形时，求P点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴4m＜0，
∴m＜0；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=4m，
∵x1＜0，x2＞0，
而|x1|+|x2|=3，
∴﹣x1+x2=3，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=9，
即4（m+1）2﹣16m=9，解得m1=（舍去），m2=﹣，
∴m=﹣，
∴抛物线解析式为y=x2+x﹣2；
（3）抛物线的对称轴为直线x=﹣，
过P点作PH⊥x轴于H，如图，
设P（x，x2+x﹣2）（x≥﹣），
∵△PAQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PH=AH，
∴|x2+x﹣2|=x+2，
当x2+x﹣2=x+2，解得x1=﹣2（舍去），x2=2，此时P点坐标为（2，4）；
当x2+x﹣2=﹣x﹣2，解得x1=﹣2，x2=0（舍去），此时P点坐标为（0，﹣2），即满足条件的P点坐标为（2，4）或（0，﹣2）．
赠送初中数学几何模型
【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

（1）求︵AB l ＋︵
CD l 的值；
（2）求AP 2＋BP 2＋CP 2＋DP 2的值；
B
D
C
O
A
P
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 交于点P ． (1)如图1，设⊙O 的半径是r ，若︵AB l ＋︵
CD l ＝πr ，求证：AC ⊥BD ；
(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交⊙O 于点E ；过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，DH 交AC 于点N ，交⊙O 于点F ；若AC ⊥BD ，求证：MN ＝EF ．
图1 图2
4. 如图，在⊙O中，弦AB丄弦CD与E，弦AG丄弦BC与F点，CD与AG相交于M点．
(1)求证：︵
BD ＝︵
BG ；(2)如果AB=12，CM=4，求⊙O的半径．G
C
M E D O
B
A
5.（1）如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，求证：AE=BE；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA、PB 组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C上优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE、PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG ⊥DC 于G ，试判断线段OG 与EF 的关系，并说明理由。

H
E
F
D
B
O
A
C
G
F
E
B
C
O
A
D
图1 图2。