四川省泸州市泸县2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题及答案

泸县高2023级高一下学期开学考试
数学试题（答案在最后）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、选择题：本题共8小感，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}{}
2,1,0,1,2,0A B x x =--=≥，则A B = （
）
A.{2,1}--
B.{2,1,0}
-- C.{0,1,2}
D.{1,2}
【答案】C 【解析】
【分析】根据交集的概念进行求解即可.【详解】{}0,1,2A B = .故选：C
2.命题“x ∀∈R ，e 10x +>”的否定是（）
A.0x ∃∈R ，0e 10x +≤
B.x ∀∈R ，e 10x +≤
C.0x ∃∈R ，0e 10x +>
D.0x ∃∈R ，0e 10
x +<【答案】A 【解析】
【分析】根据全称命题的否定直接判断即可.
【详解】命题“x ∀∈R ，e 10x +>”的否定是“0x ∃∈R ，0e 10x +≤”.故选：A .
3.“sin sin αβ=”是“παβ+=”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.必要条件
D.既不充分也不必要条什
【答案】B
【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由sin sin αβ=，可得2π,Z k k αβ=+∈或π2π,Z k k αβ=-+∈，即充分性不成立；反之，若παβ+=，可得παβ=-，则sin sin(π)sin αββ=-=，即必要性成立，所以“sin sin αβ=”是“παβ+=”的必要不充分条件.故选：B.
4.“扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为120cm ，圆心角为60︒，窗子左右两边的边框长度都为60cm ，则该窗的面积约为（
）
A.21884cm
B.23768cm
C.25652cm
D.2
7536cm 【答案】C 【解析】
【分析】根据题意结合扇形的面积公式运算求解.【详解】由题意可知：扇形的圆心角为π
3
，大扇形的半径为120cm ，小扇形的半径为60cm ，所以该窗的面积为2221π1π
120601800π5652cm 2323
⨯⨯-⨯⨯=≈.故选：C
.
5.函数2()22
x x
x f x -=+的
部分图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】使用排除法，由奇偶性可排除B 、D ，由x →+∞时，()0f x →可排除C.
【详解】()
2
2()()2222
x x x x
x x f x f x ----===++，又定义域为R ，故函数()f x 为偶函数，可排除B 、D ，当x →+∞时，()0f x →，故可排除C.故选：A.
6.设0.42a =，0.4b e =，0.4log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）
A.b a c >>
B.a c b
>> C.c a b
>> D.b c a
>>【答案】A 【解析】
【分析】由幂函数的单调性与对数函数的单调性求解即可
【详解】∵0.40.421b e a =>=>，0.40.40log 0.5log 0.41c <=<=，∴b a c >>．故选：A
7.在当今这个5G 时代，6G 的研究方兴未艾．有消息称，未来6G 通讯的速率有望达到1Tbps ，香农公式
2log 1S C W N ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决
于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 和信道内部的高斯噪声功率N 的的大小．其中S
N
叫做信噪比．若不改变带宽W ，而将信噪比
S
N
从3提升到99，则最大信息传递率C 大约会提升到原来的（）（参考数
据lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A.2.3倍 B. 3.3倍
C.4.6倍
D.6.6倍
【答案】B 【解析】【分析】将
3S N
=及99S
N =代入计算对应的C ，再计算比例即可得.
【详解】()12log 132C W W =+=，()222log 1992log 10C W W =+=，
则22212log 1011
log 10 3.32lg 20.3010
C W C W ===≈≈.
8.若函数2()1f x ax x =+-在(1,3)-上恰有一个零点，则（
）
A.2
29a -≤≤ B.1
24a -
≤≤C.229a -≤≤或14
a =-
D.209a -≤≤或14
a =-
【答案】C 【解析】
【分析】根据函数零点的定义，结合二次函数的图象与性质，分0a =，0a >和a<0，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数2()1f x ax x =+-在(1,3)-上恰有一个零点，当0a =时，可得()1f x x =-，令()0f x =，解得1x =，符合题意；当0a >时，由()01f =-，则满足(1)(3)(2)(92)0f f a a -=-+<，解得2
29
a -
≤≤，即02a <≤；当a<0时，要使得函数()y f x =在(1,3)-上恰有一个零点，
则满足Δ0=或(1)(3)0f f -<，即140a ∆=+=(1)(3)(2)(92)0f f a a -=-+<，解得14a =-
或2
09
a -≤<，综上可得，实数a 的取值范围为229a -≤≤或1
4
a =-.故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.在下列函数中，既是偶函数又在()0,1上单调递增的函数有（）
A.cos y x =
B.sin y x =
C.2
x
y = D.3
y x =【答案】BC 【解析】
【分析】对所给的函数注意判断即可.
【详解】对A ：cos y x =是偶函数，在()0,1上递减，排除A ；
对B ：sin y x =为偶函数，在()0,1上递增，故B 正确；对C ：2x
y =为偶函数，在()0,1上递增，故C 正确；
对D ：3y x =为奇函数，排除D.故选：BC
10.若0a b >>，则（）
A.22a b >
B.
11a b
> C.
11
b a b
<- D.33
a b <【答案】AC 【解析】
【分析】根据不等式性质逐项分析判断.
【详解】因为0a b >>，由不等式的性质可知：22a b >，33a b >，故A 正确；D 错误；
可知1
0ab
>，则11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a >，故B 错误；可知0b a -<，可得
11
0b a b
<<-，故C 正确；故选：AC.
11.已知(0,π)α∈，且1
sin cos 5
αα+=，给出下列结论，其中所有正确结论的序号是（）
A.
2
απ
<<π B.3
cos =
5
αC.12sin cos =5
αα D.7
cos sin =5
αα--
【答案】AD 【解析】
【分析】由题意结合平方关系以及角的范围得3cos 5
4sin 5αα⎧
=-⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，由此即可逐一判断每一选项.
【详解】因为22
1sin cos ,sin cos 15αααα+=+=，(0,π)α∈，解得3cos 54sin 5αα⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4cos 53sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
（舍去），
所以3cos =05α-<，所以2απ
<<π，12sin cos =25
αα-，7cos sin =5αα--，故AD 正确，BC 错误.
12.用“五点法”作函数()()sin φf x A x B ω=++（0A >，0ω>，π
2
ϕ<）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数()y f x =描述正确的是（
）
x ωϕ
+0π2π
3π22π
x
a
π3
b
5π6
c
()
f x 13
1d
1
A.函数()f x 的最小正周期是π
B.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
对称C.函数()f x 的图象关于直线π
3
x =
对称D.函数()f x 与()π2cos 213g x x ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭表示同一函数
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据表格及三角函数的图象与性质一一分析选项即可.
【详解】根据表格可知π
π232
π5π3π662ωωϕϕωϕ⎧=⋅+=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎪⋅+=⎩⎪⎩
，且12B A =⎧⎨=⎩，则()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，
由正弦函数的周期性可知()f x 的最小正周期为2π
πT ω
==，故A 正确；由已知结合正弦函数的对称性可知：
()5π5ππ3π2sin 212sin 116662x f x ⎛⎫
=
⇒=⨯-+=+=- ⎪⎝⎭
，显然()f x 此时取得最小值，所以()f x 的图象不关于点5π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，故B 错误；由已知结合正弦函数的对称性可知：
ππππ21133362⎛
⎫
所以()f x 的图象关于直线π
3
x =
对称，故C 正确；由诱导公式可知()()πππ2cos 212sin 21332g x x x f x ⎛⎫⎛⎫=-++=+-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，故D 正确.故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．（2）本部分共10个小题，共90分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.求值sin600= _______________
【答案】2
【解析】
【分析】利用三角函数诱导公式结合特殊角的三角函数值，即可得答案.【详解】sin600sin(2360120)sin(120)
=⨯-=-o o o o
sin(18060)sin 602
=--=-=-
，
故答案为：2
14.已知幂函数()a
y f x x ==的图象经过点()2,4，则()3f -=__________.【答案】9【解析】
【分析】图象经过的点代入函数解析式，求出a ，得到()f x ，再求()3f -即可.【详解】幂函数()a
y f x x ==的图象经过点()2,4,则有24a =，解得2a =，
所以()2
f x x =，有()()2
339f -=-=.
故答案为：915.若函数()ln 2b f x a
x
x +=+-是奇函数，则a b +=___________．2
【解析】
【分析】根据奇函数的定义域关于关于原点对称，即可求出a ，求出函数的定义域，再由奇函数得()00f =，即可求出b ，即可得解.【详解】由()ln 2b f x a
x
x +=+-，可得20x -≠，即2x ≠，且
02x a
x
+≠-，即x a ¹-，又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以2a -=-，所以2a =，
故()2
ln
2b f x x
x +=+-，定义域为()2,2-，因为函数()ln
2b f x a
x
x +=+-是奇函数，所以()00f =，所以0b =，
经检验，符合题意，所以2a =，0b =，所以2a b +=.故答案为：2.
16.()()
2,(1)29,1x a x f x x ax a x ⎧>⎪
=⎨-++-≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________.
【答案】[]
2,5【解析】
【分析】根据增函数的定义求参数的取值范围.【详解】因为()f x 在R 递增，
则1
12129a a a a a
⎧⎪⎪
≥⎨⎪-++-≤⎪⎩＞，解得：25a ≤≤，
故答案为：[]
2,5
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知集合{}13A x x =≤≤，{}
122
B x a x a =-≤≤+（1）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；2
【答案】（1）1a ≥（2）0a ≤【解析】
【分析】（1）由题意可得A B ⊆，再根据集合得包含关系即可得解；（2）由题意可得B A ⊆，再分B =∅和B ≠∅两种情况讨论即可得解.
【小问1详解】
因为x A ∈是x B ∈的充分条件，所以A B ⊆，
所以12123a a -≤⎧⎨+≥⎩
，解得1a ≥；
【小问2详解】
因为A B B = ，所以B A ⊆，
当B =∅时，符合题意，则122a a ->+，解得1
3
a <-
，当B ≠∅时，则122
11232
a a a a -≤+⎧⎪
≤-⎨⎪≥+⎩
，解得103a -≤≤，
综上所述，0a ≤.
18.已知函数()()
()()
π3πsin +cos -tan π-22tan π+sin 2π-f αααααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
.（1）化简()f α（2）若()3π328f f αα⎛
⎫⋅-=- ⎪⎝
⎭，且π
3π42α-<<-，求()3π2f f αα⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭的值.
【答案】（1）-cos α（2）1
2
-
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式化简即可．
（2）由题意得()3πcos sin 2f f αααα⎛
⎫+-=-+ ⎪
⎝⎭，又由题意得到3cos sin 8αα=，根据sin cos αα-与cos sin αα⋅的关系求解．
【小问1详解】由题意得()()()()
cos sin tan cos tan sin f ααααααα--==--.
【小问2详解】由（1）知3π3ππcos cos sin 222f αααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-
=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
．∵()3π3
28
f f αα⎛⎫⋅-=- ⎪⎝
⎭，∴3cos sin 8
αα=
，∴()2
sin cos 12co i 1s s n 4
αααα-=-=.又π3π42
α-
<<-，∴cos sin αα>，∴1
sin cos 2
αα-=-.∴()3π1
cos sin 22
f f αααα⎛⎫+-
=-+=- ⎪⎝
⎭.19.已知函数()π12sin 23f x x ⎛
⎫=+-
⎪⎝
⎭
.
（1）用五点法作图作出()f x 在[]0,πx ∈的图象；（2）求()f x 在ππ,42⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
x 上的最大值和最小值.
【答案】（1）图象见解析（2）max min ()3,()2f x f x ==
【分析】（1）根据五点法作图的方法填表，描点，作图即可；
（2）根据ππ,42⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
x ，求出π23x -的范围，再根据三角函数的性质求出最值.【小问1详解】列表如下：
对应的图象如图：
【小问2详解】
()π12sin 23f x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭ ，
又πππ
π2π,,242633x x ⎡⎤∈∴≤-≤⎢⎥⎣⎦
，即π212sin 233x ⎛
⎫
≤+-
≤ ⎪⎝
⎭
，max min ()3,()2f x f x ∴==.
20.下表是A 地一天从2~18时的部分时刻与温度变化的关系的预报，现选用一个函数()y f x =来近似描
述温度与时刻的关系．时刻/h
2
6
10
14
18
温度/℃2010203020
（1）写出函数()y f x =的解析式：
（2）若另一个B 地区这一天的气温变化曲线也近似满足函数()y f x =且气温变化也是从10C ︒到30C ︒，只不过最高气温都比A 地区早2个小时，求同一时刻，A 地与B 地的温差的最大值．【答案】（1）()()π
π10sin 20,2188
4f x x x ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭
（2）【解析】
【分析】（1）由表中数据发现温度跌宕起伏，且呈现一定规律（周期），由此联想到三角函数
()()sin y f x A x B ωϕ==++，由2π
18216T ω=-==以及30
10B A B A +=⎧⎨-=⎩
，即可求得,,A B T ，最后代入
一个点即可得ϕ.
（2）由题意可得()()π
10sin 20,2188
g x x x =-+≤≤，两函数作差，结合两角和的正弦以及辅助角公式即可得解.【小问1详解】
由题意不妨设()()sin y f x A x B ωϕ==++，可以发现周期2π
18216T ω
=-==
，解得π8
ω=
，而3010B A B A +=⎧⎨-=⎩
，解得10,20A B ==，
所以()π1410sin 1420308f ϕ⎛⎫=⨯++=
⎪⎝⎭，即7πsin 14ϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，不妨取43πϕ=，
所以函数()y f x =的解析式为()()π
3π10sin 20,2188
4f x x x ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭.
【小问2详解】
设B 地区的温度变化函数为
()()()()π
3ππ210sin 22010sin 20,2188
48g x f x x x x ⎡⎤=+=+++=-+≤≤⎢⎥⎣⎦，
令()()()π3ππ10sin 2010sin 20848h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤
=-=++--+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣
⎦⎣⎦
π3ππππ10sin sin 101sin cos 8482828x x x x ⎡⎤
⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦
2π8x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中2tan 1ϕ=，不妨设2ππ,42ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
所以()h x ≤，等号成立当且仅当2ππ
π,Z 82
x k k ϕ+=+∈，即[]28
482,18,Z π
x k k ϕ=+-
∈∈，
所以只能取1k =或2k =满足A 地与B 地的温差的最大值为.21.已知函数()f x 是指数函数，且其图象经过点()2,4，()()()11
f x
g x f x -=+.
（1）求()f x 的解析式；（2）判断()g x 的奇偶性并证明：
（3）若对于任意x ∈R ，不等式()()()()2211f x f x m f x f x +-≥+--⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的最大值.【答案】（1）()2
x
f x =（2）()
g x 为奇函数，证明见解析（3）6【解析】
【分析】（1）设()x
f x a =，代入点()2,4可求()f x 的解析式；
（2）利用定义法判断并证明()g x 的奇偶性；（3）由()f x 的解析式，得不等式()222
22211x
x x x m --+≥+-恒成立，令22x x t -+=，转化为9
m t t
≤+
在2t ≥时恒成立，利用基本不等式求解即可.【小问1详解】
设指数函数()x
f x a =，0a >且1a ≠，
函数图象经过点()2,4，有()2
24f a ==，解得2a =，
所以()2x
f x =.
【小问2详解】
()()()1
21
121x x f x g x f x --==++，函数定义域为R ，
()()211221
211221
x x x x x
x g x g x ------===-=-+++，所以()g x 为奇函数.【小问3详解】
不等式()()()()2211f x f x m f x f x +-≥+--⎡⎤⎣⎦，即()222
22211x
x x x m --+≥+-，得()()2
22229x x x x m --+≥+-，
令22x x t -+=，
由222-+≥=x x ，当且仅当22-=x x ，即0x =时等号成立，得2t ≥，则有29t mt ≥-在2t ≥时恒成立，得9
m t t
≤+
在2t ≥时恒成立，
96t t +
≥=，当且仅当9t t =，即3t =时等号成立，则有6m ≤，
所以实数m 的最大值为6.【点睛】关键点点睛：
不等式()()()()2211f x f x m f x f x +-≥+--⎡⎤⎣⎦恒成立，即不等式()22222211x
x x x m --+≥+-恒成立，
配方和换元是解题关键，利用配方得()
()2
22229x x x x m --+≥+-，利用换元得9
m t t ≤+在2t ≥时恒成
立，结合基本不等式求解即可.
22.已知函数31()log 9(2)33
x x
f x k k k ⎡⎤=⋅--⋅++⎢⎥⎣
⎦
.
（1）当0k =时，解不等式()0f x >；（2）若()f x 的最大值是1-，求k 的值；
（3）已知01k <<，0a b <<，当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围.
【答案】（1）(1,)-+∞（2）2
k =-
（3）21,39⎛⎫+ ⎪ ⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】（1）根据对数和指数函数单调即可求解；（2）设3(0)x t t =>，通过二次函数的性质分析即可；
（3）通过二次函数单调性得到()1,()1f a a f b b =+=+，再代入利用韦达定理结合二次函数根的分布得到不等式组，解出即可.【小问1详解】
当0k =时，331()log 23log 103x
f x ⎛
⎫
=⋅+>= ⎪⎝
⎭
，则1
2313
x
⋅+
>，解得1x >-，故不等式()0f x >的解集为(1,)-+∞.【小问2详解】
当0k =时，3311()log 23log 133x
f x ⎛⎫=⋅+>=- ⎪
⎝⎭，不合题意；0k ≠时，设3(0)x t t =>，令21
()(2)3
g t kt k t k =--++.
①若0,()k g t >开口向上没有最大值，故()f x 无最大值，不合题意;②当0k <时，此时()g t 对称轴2
02k t k
-=>，函数()f x 的最大值是1-，所以2
max
22211()(2)22233k k k g t g k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫
==--++= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，解得2k =-或2
3
k =(舍)，所以2
k =-.
【小问3详解】
当01k <<时，设3(1)x t t =>，而2
1()(2)3g t kt k t k =--++
的对称轴2
02k t k
-=
<，所以当1t >时，()g t 为增函数，故()f x 为增函数.
()1,()1f a a f b b ∴=+=+，()
2
13(2)3333a
a a k k k ∴⋅--⋅++
=⋅；()
21
3(2)3333
b b b k k k ⋅--⋅++=⋅，所以3,3a b 为方程2
1(2)33
k t k t k t ⋅--++=的两根(0,0)a b >>.
故2
1(1)03
k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的不同实根.
所以2011Δ(1)40
311211(1)103k k k k k k
k k k <<⎧⎪
⎛⎫⎪=+-+> ⎪⎪⎝⎭⎪
⎨+>⎪⎪⎪
⋅-+⋅++>⎪⎩
，
解得
2127
39
k +<<
，所以实数k 的取值范围是2127,39⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用换元法结合二次函数函数的性质进行合理分类讨论即可，第三问的关键是将其转化为二次函数根的分布，从而得到不等式组.。