2020-2021学年北京市101中学高一(下)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年北京市101中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.
1．设α∈（0，π），且，则α＝（）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足z（1+i）＝1，则z对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．一组数据的平均数为，方差为s2，将这组数据的每个数都乘以a（a＞0）得到一组新数据，则下列说法正确的是（）
A．这组新数据的平均数为
B．这组新数据的平均数为
C．这组新数据的方差为as2
D．这组新数据的标准差为as
4．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝0.3，P（C）＝0.6，则P（A+B）＝（）
A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9
5．已知单位向量，满足•＝0，若向量＝+，则sin＜，＞＝（）A．B．C．D．
6．在△ABC中，a＝1，，A＝30°，则c＝（）
A．1B．2C．1或2D．无解
7．已知z1，z2都是复数，则“z1﹣z2＞0”是“z1＞z2”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
8．函数f（x）＝2sin x﹣cos2x在区间[0，2π]上的零点个数为（）
A．2B．3C．4D．5
9．下列结论正确的是（）
A．若α+β+γ＝π，则tanα+tanβ+tanγ＝tanα•tanβ•tanγ
B．设α∈（π，2π），则
C．设，且，那么的值为
D．存在实数α，β，使等式sin（α+β）＝sinα+sinβ成立
10．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ．则sin（）﹣cos（）＝（）
A．B．C．D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．五个数1，2，3，4，x的平均数是3，则这五个数的标准差是．12．已知复数z1＝1﹣i，z2＝2i﹣1，则复数的虚部等于．13．暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是．14．某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．则男生成绩的75%分位数为；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为．
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．
16．已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数
图象上的任意两点，角φ的终边经过点，且当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．若，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，则实数m 的取值范围是．
三、解答题共4小题，共50分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：
假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立．
（1）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小；（只需写出结论）
（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率．
18．在△ABC中，cos C＝，c＝8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）角A的大小和△ABC的面积．
条件①：a＝7；
条件②：cos B＝．
19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝+．（1）求证：A、B、C三点共线；
（2）已知A（1，cos x）、B（1+sin x，cos x），x∈[0，]，f（x）＝•+（2m+）||+m2的最小值为5，求实数m的值．
20．我们学过二维的平面向量，其坐标为＝（t1，t2）（t k∈R，k＝1，2），那么对于n（n∈N*，n≥2）维向量，其坐标为＝（t1，t2，⋯，t n）（t k∈R，k＝1，2，⋯，n）．设n（n∈N*，n≥2）维向量的所有向量组成集合A n＝{|＝（t1，t2，⋯，t n），t k∈R，k＝1，2，⋯，n}．当＝（t1，t2，⋯，t n）（t k∈{0，1}，k＝1，2，⋯，n）时，称为A n的“特征向量”，如A2＝{|＝（t1，t2），t k∈R，k＝1，2}的“特征向量”有＝（0，0），＝（0，1），＝（1，0），＝（1，1）．
设＝（x1，x2，⋯，x n）和＝（y1，y2，⋯，y n）为A n的“特征向量”，定义|，|＝．（1）若，∈A3，且＝（1，1，0），＝（0，1，1），计算|，|，|，|的值；
（2）设B⊆A4且B中向量均为A4的“特征向量”，且满足：∀，∈B，当＝时，|，|为奇数；当≠时，|，|为偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（3）设，且B中向量均为A n的“特征向量”，且满足：∀，∈B，且α≠β时，|，|＝0．写出一个集合B，使其元素最多，并说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.
1．设α∈（0，π），且，则α＝（）
A．B．C．D．
解：α∈（0，π），因为cos＝﹣，
，所以α＝．
故选：C．
2．已知复数z满足z（1+i）＝1，则z对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：复数z满足z（1+i）＝1，
∴复数z满足z（1+i）（1﹣i）＝1﹣i，
∴z＝﹣i，
则z对应的点（，﹣）位于复平面内的第四象限．
故选：D．
3．一组数据的平均数为，方差为s2，将这组数据的每个数都乘以a（a＞0）得到一组新数据，则下列说法正确的是（）
A．这组新数据的平均数为
B．这组新数据的平均数为
C．这组新数据的方差为as2
D．这组新数据的标准差为as
解：根据题意，一组数据的平均数为，方差为s2，将这组数据的每个数都乘以a（a＞0）得到一组新数据，
则新数据的平均数为a，方差为a2s2，
则其标准差为as，
故选：D．
4．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝0.3，P（C）＝0.6，
则P（A+B）＝（）
A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9
解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，
P（A）＝0.3，P（C）＝0.6，
∴P（B）＝1﹣P（C）＝0.4，
∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.7．
故选：C．
5．已知单位向量，满足•＝0，若向量＝+，则sin＜，＞＝（）A．B．C．D．
解：＝•（）＝+＝，
||＝＝＝＝3，
所以cos＜＞＝＝＝，
所以sin＜＞＝．
故选：B．
6．在△ABC中，a＝1，，A＝30°，则c＝（）
A．1B．2C．1或2D．无解
解：因为a＝1，，A＝30°，
所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得1＝3+c2﹣2×c×，整理可得c2﹣3c+2＝0，
解得c＝1或2．
故选：C．
7．已知z1，z2都是复数，则“z1﹣z2＞0”是“z1＞z2”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
解：z1，z2都是复数，若“z1﹣z2＞0”成立，则z1﹣z2是正实数，此时两复数可能是实数也可能是虚部相同的复数，故不能得出“z1＞z2”成立，即“z1﹣z2＞0”成立不能得出“z1＞z2”成立；
若“z1＞z2”成立，则z1，z2都是实数故可得出“z1﹣z2＞0”，即若“z1＞z2”成立，可得出“z1﹣z2＞0”，成立
故“z1﹣z2＞0”是“z1＞z2”的必要不充分条件]
考察四个选项，B选项正确
故选：B．
8．函数f（x）＝2sin x﹣cos2x在区间[0，2π]上的零点个数为（）
A．2B．3C．4D．5
解：函数f（x）＝2sin x﹣cos2x＝2sin x﹣1+2sin2x，
令2sin2x+2sin x﹣1＝0，解得sin x＝，sin x＝﹣（舍去），
所以sin x＝，在区间[0，2π]上有2个根，
故选：A．
9．下列结论正确的是（）
A．若α+β+γ＝π，则tanα+tanβ+tanγ＝tanα•tanβ•tanγ
B．设α∈（π，2π），则
C．设，且，那么的值为
D．存在实数α，β，使等式sin（α+β）＝sinα+sinβ成立
解：若α+β+γ＝π，所以三个角α、β、γ有可能会有角为，而无正切值，故选项A 错；
∵α∈（π，2π），故＝﹣，故选项B 错；
∵，所以θ为第二象限角，，
，∵在第三象限，∴，故选项C错；
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，当α＝2kπ，β＝2kπ（k∈Z）时，
等号成立，所以存在实数α，β，使等式sin（α+β）＝sinα+sinβ成立，故选项D正确．故选：D．
10．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正
方形（如图）．如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ．则sin（）﹣cos（）＝（）
A．B．C．D．
解：设直角三角形中较短的直角边为x，
则：x2+（x+2）2＝102，
解得：x＝6，
∴sinθ＝，cosθ＝，
∴sin（）﹣cos（）＝﹣cosθ﹣（cosθcos）＝sinθ﹣（）cosθ＝，
故选：D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．五个数1，2，3，4，x的平均数是3，则这五个数的标准差是．解：由已知，1，2，3，4，a的平均数是3，即有（1+2+3+4+x）÷5＝x，易得x＝5根据方差计算公式得s2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝×10＝2
所以标准差s＝
故答案为：．
12．已知复数z1＝1﹣i，z2＝2i﹣1，则复数的虚部等于．解：∵z1＝1﹣i，z2＝2i﹣1，
∴＝＝
＝＝，
则的虚部等于﹣．
故答案为：．
13．暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是．
解：暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，
假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，
暑假期间两人中至少有一人外出旅游的对立事件是暑假期间两人都不外出旅游，
则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是：
P＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．
故答案为：．
14．某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．则男生成绩的75%分位数为77.5；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为200．
解：将男生成绩从小到大排列可得：64、76、77、78，共4个数据，且4×75%＝3，所以男生成绩的75%分位数为＝77.5．
设高一年级学生总数为n，
因为用分层抽样的方法抽取10人中，男生有4人，且高一年级中男生总数为80人，所以＝，解得n＝200．
故答案是：77.5；200．
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值
为．
解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，
∵∠B＝60°，AB＝3，
∴A（，），
∵BC＝6，
∴C（6，0），
∵＝λ，
∴AD∥BC，
设D（x0，），
∴＝（x0﹣，0），＝（﹣，﹣），
∴•＝﹣（x0﹣）+0＝﹣，解得x0＝，
∴D（，），
∴＝（1，0），＝（6，0），
∴＝，
∴λ＝，
∵||＝1，
设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，
∴＝（x﹣，﹣），＝（x﹣，﹣），
∴•＝（x﹣）（x﹣）+＝x2﹣4x+＝（x﹣2）2+，当x＝2时取得最小值，最小值为，
故答案为：，．
16．已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数
图象上的任意两点，角φ的终边经过点，且当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．若，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，则实数m 的取值范围是．
解：由于函数图象上的任意两点，角φ的终边经过点，
所以tanφ＝﹣，故φ＝﹣，
当|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．
所以函数的最小正周期为：，
解得ω＝3．
所以函数f（x）＝2sin（3x﹣）．
由于，
所以，
于是f（x）+2＞0，
由于，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，
所以m＝1﹣，
当f（x）取最大值1时，1﹣的最大值为，
故m的取值范围为m，
故答案为：．
三、解答题共4小题，共50分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如图：
假设甲、乙两种酸奶的日销售量相互独立．
（1）写出频率分布直方图（甲）中的a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小；（只需写出结论）
（2）用频率估计概率，求在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率．
解：（1）由直方图可知：（0.02+0.01+0.03+a+0.025）×10＝1，解得：a＝0.015．s12＞s22；
（2）甲种酸奶销售量高于20箱的概率为：（0.03+0.015+0.025）×10＝0.7，
乙种酸奶销售量高于20箱的概率为：（0.03+0.025+0.015）×10＝0.7，
甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱的概率为：0.7×0.3+0.3×0.7＝0.42．18．在△ABC中，cos C＝，c＝8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）b的值；
（Ⅱ）角A的大小和△ABC的面积．
条件①：a＝7；
条件②：cos B＝．
解：选条件①：
（Ⅰ）a＝7时，cos C＝，c＝8，
利用c2＝a2+b2﹣2ab cos C，
整理得b2﹣2b﹣15＝0，解得b＝5或﹣3（负值舍去），
故：b＝5．
（Ⅱ）由于cos C＝，0＜C＜π，
所以sin C＝，
利用正弦定理，所以，解得sin A＝，
由于c＞a，所以A＝，
则．
选条件②时，
（Ⅰ）cos B＝，所以，
cos C＝，所以sin C＝，
由正弦定理，整理得，解得b＝5，
（Ⅱ）cos B＝，所以，
cos C＝，所以sin C＝，
所以cos A＝﹣cos（B+C）＝＝，
由于A∈（0，π），
所以A＝．
所以．
19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝+．（1）求证：A、B、C三点共线；
（2）已知A（1，cos x）、B（1+sin x，cos x），x∈[0，]，f（x）＝•+（2m+）||+m2的最小值为5，求实数m的值．
解：（1）∵＝
∴∥，
又与有公共点A，故A、B、C三点共线．
（2）∵，，
∴＝，，
故，，（x∈[0，]）．
从而
＝
＝cos2x+（2m+1）sin x+1+m2
＝﹣sin2x+（2m+1）sin x+2+m2
＝+，
关于sin x的二次函数的对称轴为，
∵，∴sin x∈[0，1]，又区间[0，1]的中点为．
①当，即m≤0时，当sin x＝1时，．
由f（x）min＝5得m＝﹣3或m＝1，又m≤0，∴m＝﹣3；
②当，即m＞0时，当sin x＝0时，，
由f（x）min＝5得，又m＞0，∴．
综上所述：m的值为﹣3或．
20．我们学过二维的平面向量，其坐标为＝（t1，t2）（t k∈R，k＝1，2），那么对于n（n∈N*，n≥2）维向量，其坐标为＝（t1，t2，⋯，t n）（t k∈R，k＝1，2，⋯，n）．设n（n∈N*，n≥2）维向量的所有向量组成集合A n＝{|＝（t1，t2，⋯，t n），t k∈R，k＝1，2，⋯，n}．当＝（t1，t2，⋯，t n）（t k∈{0，1}，k＝1，2，⋯，n）时，称为A n的“特征向量”，如A2＝{|＝（t1，t2），t k∈R，k＝1，2}的“特征向量”有＝（0，0），＝（0，1），＝（1，0），＝（1，1）．
设＝（x1，x2，⋯，x n）和＝（y1，y2，⋯，y n）为A n的“特征向量”，定义|，|＝．（1）若，∈A3，且＝（1，1，0），＝（0，1，1），计算|，|，|，|
的值；
（2）设B⊆A4且B中向量均为A4的“特征向量”，且满足：∀，∈B，当＝时，|，|为奇数；当≠时，|，|为偶数．求集合B中元素个数的最大值；（3）设，且B中向量均为A n的“特征向量”，且满足：∀，∈B，且α≠β时，|，|＝0．写出一个集合B，使其元素最多，并说明理由．
解：（1）|，|＝[（1+1﹣0）+（1+1﹣0）+（0+0﹣0）]＝2，|，|＝[（1+0﹣1）+（1+1﹣0）+（0+1﹣1）]＝1．
（2）设＝（a1，a2，a3，a4），＝（b1，b2，b3，b4），a i∈{0，1}，b i∈{0，1}（i ＝1，2，3，4），
当时，|，|＝a1+a2+a3+a4为奇数，则仅有1个1或3个1，
当时，|，|＝为偶数，
①仅有1个1时，＝2，为使|，|为偶数，
则＝2，即a i与b i不同时为1，
此时B1＝{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）}，4个元素．
②仅有3个1时，＝6，为使|，|为偶数，
则＝2，即a i与b i不同时为0，
此时B2＝{（0，1，1，1），（1，0，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0）}，4个元素．
③若∈B1，∈B2，则|，|＝1，舍去，
综上所述，集合B中的元素个数最大值为4．
（3）B＝{（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…，（0，0，0，…，1）}，
此时B中有n+1个元素，下证其为最大，
对于任意两个不同的元素α，β，满足|，|＝0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，
假设存在B有多于n+1个元素，由于＝（0，0，0，…，0）与任意元素都有|，|＝0，
所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1个元素含有1，
根据元素的互异性，至少存在一对，满足x i＝y i＝l，此时|，|≥1不满足题意，故B中最多有n+1个元素．。