流体空化热效应的实验研究

摘要
我国稠油资源丰富，对其进行降黏开采对于我国国民经济发展意义重大。

目前常用的蒸汽驱、蒸汽吞吐、电加热等方法存在设备复杂、成本高、能量损耗大、安全性差等缺点，寻找新的开采方法势在必行。

空化是发生在液体介质中的一种物理现象。

空化发生时，会在空泡附近形成极端高温（1900-5000K）和高压（140MPa-170MPa），并伴有强烈的冲击波和微射流。

如何有效利用空化过程中的这种极端热效应成为部分专家学者关注的课题。

基于以上几点，本文对流体空化过程中的热效应问题开展了实验研究，得到以下结论：
（1）总结分析了空化类型与作用机理，确定了以闭式叶轮为核心的水力空化发生方式。

（2）基于数值模拟的方法，使用CFX软件对不同叶轮结构内空化情况进行了对比分析，选定进口角为11.2、出口角为36的叶轮用于后续的实验研究。

（3）设计并制作了空化热效应室内实验装置，对空化发生器部件进行了机械强度校核。

（4）利用空化热效应实验装置，研究了不同参量（流体初始温度、流量、流体体积、粘度）对流体空化热效应的影响规律，结果发现：在当前实验条件下，随着流量的增加，流体空化热效应先增强后减弱，在流量为1.6m3/h时流体空化热效应最佳；随着黄原胶粘度的增加，空化热效应逐渐受到抑制；流体初始温度（0-40°C）、流体体积对空化热效应的影响可以忽略不计。

研究成果对于弄清空化热效应的内在规律，拓展空化技术在石油领域的应用具有重要意义。

关键词：空化，热效应，叶轮，数值模拟，实验研究
Experimental Research on Thermal Effect of Cavitating Fluid
Qiu Junjie (Oil & Gas Well Engineering)
Directed by Prof. Wang Mingbo
Abstract
There is abundant heavy oil resource in mainland China. Steam flooding, steam stimulation and electric heating are very popular to develop heavy oil reservoir. These methods have disadvantages of complex equipment, high cost, large energy loss and insecurity. It is necessary to find a new and economical method to enhance the recovery of heavy oil resources.
Cavitation is a physical phenomenon occured in liquid media. When cavitation occurs, extremely high temperature(1900-5000K) and pressure(140MPa-170MPa) are formed around the tiny bubbles, accompanied by strong shock waves and microjets. How to use the extreme thermal effect of cavitation has gained more and more attention from experts and scholars.
On the basis of the points above, experimental research on the thermal effect of cavitating fluid is carried out in this thesis. The following conclusions are drawn from the thesis:
(1)With the summary and analysis of the cavitation modes and working mechanisms, the hydrodynamic cavitation mode with the shrouded impeller was applied to the experimental study.
(2)The cavitating effects with different impeller structures were simulated and analysed by commercial software CFX and the impeller with inlet angle of 11.2° and outlet angle of 36°was chosen for subsequent experimental research.
(3)An experimental facility for the thermal effect of cavitating fluid was designed and manufactured and its mechanical strength was validated.
(4)The influence of different parameters(initial temperature, flow rate, flow volume and fluid viscosity) on the thermal effect of cavitating fluid was analysed and the following conclusions were drawn that: As the flow rate increases, the thermal effect of cavitation increases at first and decreases later, reaching its peak value when the flow rate is 1.6m3/h; With the increase of xanthan gum viscosity, the thermal effect of cavitation is supressed; The influence of fluid temperature(under 40°C) and flow volume on the thermal effect of cavitation can be ignored.
The research results are of great significance to finding out the internal law of thermal effect of cavitating fluid and expanding the application of cavitation technology in the field of
petroleum.
Key Words:cavitation, thermal effect, impeller, numerical simulation, experimental research
目录
第一章绪论 (1)
1.1 研究目的及意义 (1)
1.2 国内外研究进展 (1)
1.2.1 空化的分类与发生方式 (1)
1.2.2 空化理论研究进展 (2)
1.2.3 空化实验研究进展 (3)
1.2.4 空化数值模拟研究进展 (5)
1.3 研究内容与技术路线 (9)
第二章叶轮空化场的数值模拟 (10)
2.1 叶轮设计 (10)
2.2 数学模型 (11)
2.2.1 Mixture模型 (11)
2.2.2 湍流模型 (12)
2.2.3 空化模型 (13)
2.3 建模求解 (14)
2.3.1 物理模型的建立 (14)
2.3.2 网格划分 (15)
2.3.3 求解设置 (17)
2.4 结果分析 (17)
2.4.1 压力分布 (17)
2.4.2 速度场分布 (18)
2.4.3 汽含率分布 (20)
2.5 本章小结 (22)
第三章空化热效应实验装置的设计 (23)
3.1 实验系统设计 (23)
3.2 部件设计 (23)
3.2.1 驱动电机的选择 (23)
3.2.2 基座设计 (24)
3.2.3 连接盘设计 (24)
3.2.4 支撑盘设计 (25)
3.2.5 叶轮设计 (25)
3.2.6 空化罐设计 (25)
3.2.7 配套组件设计 (26)
3.3 强度校核 (27)
3.4 本章小结 (34)
第四章空化热效应的实验研究 (35)
4.1 实验方案介绍 (35)
4.2 流体初始温度对空化热效应的影响 (38)
4.3 流量对空化热效应的影响 (39)
4.4 流体体积对空化热效应的影响 (41)
4.5 黄原胶溶液粘度实验 (41)
4.5.1 空化对溶液粘度的影响 (41)
4.5.2 溶液粘度对空化热效应的影响 (43)
4.6 导热油加热实验 (44)
4.7 本章小结 (45)
结论 (46)
参考文献 (47)
致谢 (51)
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第一章绪论
1.1 研究目的及意义
我国稠油资源丰富，占原油总储量的20%以上。

随着常规原油可探储量的减少，对稠油的开发和利用日益受到重视。

蒸汽加热和电加热是目前常用的两种降黏开采方法。

但是，蒸汽加热法供热设备复杂，生产成本高，能量损失大；而电加热法则存在安全性差，易改变原油品质等问题。

因此，新型的加热降黏技术日渐成为人们研究的热点。

空化过程中，空泡溃灭时能够释放巨大的能量，并产生热效应、机械效应、光效应和化学效应等诸多影响。

随着空化研究的深入，科研人员在寻求减少空化效应带来危害的同时，也积极地寻求利用它的各种方法和途径。

在石油领域，空化效应被广泛应用于井筒清洗、地层破岩、改善油层渗透率等方面，但对空化热效应的研究与利用尚不十分充分。

基于上述现状，本文作者研制了一套空化加热实验装置并利用该装置进行了空化热效应的室内实验研究，得到了流体物性参数对空化热效应的影响规律。

该研究成果对于提高稠油的开采水平，节能环保具有重要意义和推广价值。

1.2 国内外研究进展
1.2.1 空化的分类与发生方式
当液体内部局部压力降低时，液体内部或液固交界面上蒸汽或空泡的形成、发展和溃灭的过程，称为空化[1]。

按照空化产生的方法，可将其分为声空化、水力空化、光空化和粒子空化四种类型[2]。

其中水力空化又可细分为射流空化和涡流空化[3]。

目前国内外对于空化效应利用的方式主要集中在声空化和水力空化两种类型。

声空化发生方法一般都是用声波换能器等装置对液体施加影响，液体中的微小气核在声波的作用下被激活从而引发自身的振荡、生长、收缩、溃败，释放能量[4]。

声空化的缺点是成本较高，能量利用率较低[5]。

前文提到过，水力空化分为射流空化和涡流空化两种类型。

射流空化一般通过孔板、文丘里管及空化射流喷嘴人为诱发空化的发生。

涡流空化一般通过旋转或者与湍流作用密切相关的剪切流动来产生空化，例如用水泵、水轮机、螺旋桨式设备发生空化。

相比于声空化，水力空化装置结构简单，操作费用低，不产生二次污染，更易实现工业化等[6]。

射流空化虽然在井筒清洗、地层破岩等方面应用广泛，但对热效应的利用较少。

相比于射流空化，以闭式旋转叶轮为首的空化发生方式不仅具有高转速、大流量、能量利
第一章 绪 论
用率高、性能平稳等优点，更重要的是具有空化效应范围广的优势。

这种优势为热效应的利用提供了必要条件；为本文设计空化热效应实验装置时选择空化的发生方式提供了思路。

1.2.2 空化理论研究进展
1.2.2.1空化过程
空化过程包括初生、发展和溃灭三个阶段。

当液体流动过程中局部压力降低到一定程度时，液体内开始出现微小空泡的临界状态称为空化的初生。

空化的发展阶段又可细分为初始、附着、超空化三个阶段[7]。

当流体内部压强达到空化临界压强时，空化就由初生阶段变为发展的初始阶段，此时流体有间断性的空泡产生。

当压力继续降低时，空泡附着在绕流体上，此时为附着阶段。

当液体内部压力继续降低时，低压范围越来越大，产生的空泡越来越多，空泡脱离绕流体产生稳定空泡流，此时为超空化阶段。

空化过程中空泡是随着流体运动的，当流体从发生空化的低压区流动到高压区（相对于低压区）时，空泡外部受到的压力逐渐增大。

由于空泡是在低压区产生的，内部压力较低，高压区的压力会导致空泡凹陷，在极短的时间内急剧地溃灭。

这就是空化的溃灭阶段。

空化的整个过程是空泡不断地初生、发展与溃灭的动态过程，是液体特有的多相流流动过程。

1.2.2.2空泡动力学
空化是一个动态的变化过程，研究空泡的运动特性和受力变化过程对于研究空化的机理具有重要意义。

20世纪初，Rayleigh 对单个空泡的运动和受力情况进行了研究，提出了理想空泡模型。

Plesset 在Rayleigh 研究的基础上对模型进行了修正，这就是Rayleigh-Plesset （R-P ）方程[8]。

22231242i d R dR dR R P P dt dt R R dt σμρ∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (1-1)
式中，R 为空泡半径；ρ为液体密度；P i 为空泡内压强；P ∞为无限远处液体压强；ζ为表面张力系数；μ为粘性系数。

虽然Rayleigh-Plesset 方程在空化研究领域得到了广泛的应用，但方程是在各种假设中建立的，有一定局限性。

例如，假设流体为不可压缩的，粘度为常数，采用绝热假设等。

之后，许多专家学者从液体粘性、可压缩性、空泡相互的影响等方面对R-P 方程进
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行了改进[9-13]。

空泡动力学现存的主要问题在于空化的实际过程中存在大量的空泡群而非单个空泡，空泡溃灭产生的效应是大量空泡群共同作用的结果；对于R-P方程的改进没有考虑气体与液体的相间传热，仍采用绝热假设。

这些问题对于空化机理的发展和空化效应的研究造成了困难。

1.2.2.3空化效应
空泡溃灭时，可产生以下的诸多效应。

热效应：空泡溃灭时，泡内所含气体温度很高，在液体内形成局部热点。

空泡附近的温度可达1900-5000K[14]。

机械效应：空化发生时，形成持续作用的冲击波和微射流，可在水体中产生强烈的搅拌、冲击破碎、疲劳损坏等作用。

近壁处微射流速度可达70~180m/s；空化产生的压力可达140MPa-170MPa[15]。

化学效应：空泡溃灭所带来的高温高压环境能够使水分子化学键断裂，产生具有强氧化性的自由基；同时溶液内大分子键会被打开，产生自由基；热电偶亦可在金属晶粒中形成，对其表面具有电解作用，从而造成电化学腐蚀[16-17]。

光效应：声空化等空化方式有时能产生裸眼可见的光[18]。

1.2.3 空化实验研究进展
目前，对于空化热效应的研究较少，主要集中在声空化和水力空化研究方面。

Bergles[19]在研究超声振动对流换热效果增强现象时发现了声空化的热效应。

当使用超声换能棒时，水会明显地发生振动，其振动频率反过来影响水的状态，使水产生了空化现象。

实验过程中发现，提高水的振动强度增强了空化效应，使得水的换热效果增强。

为进一步研究声空化的热效应，Bergles和Newell[20]向管内传递声波，观察水的温度。

研究结果表明，流体流动状态的不同会导致声空化热效应的差异，影响换热效果。

Wong和Chon[21]通过声压、流体性质等因素开展了声空化热效应对于对流换热和沸腾传热作用效果的试验。

研究发现，当声压低于临界声压时，声空化的热效应对于自然对流换热没有影响；当声压高于临界声压时，声空化对对流换热和沸腾传热的影响随着热流密度的增加而减弱。

关于对流体性质的实验研究，Wong和Chon对有无低溶解气的液体进行对比实验，结果表明低溶解气体含量的液体在声波作用下振动地更加剧烈，对流换热和沸腾传热效果更加显著。

分析认为效果显著的原因在于大量的气泡在换热表面急剧地做湍流运动，对热边界层造成了影响。

第一章 绪 论
Nomura 和Murakami [22]运用超声换能器开展了声源距离对声空化热效应的实验研究。

结果表明，声源距离对声空化热效应有显著影响。

当声源与传热面距离为15mm 时，声空化热效应最佳；此时，对流换热效果提升了3倍以上。

后续实验表明，声源安放位置对于空化热效应也有影响。

将声源放在传热面下方时，空化热效应进一步提升。

研究发现虽然对流换热效果提高了三倍以上，但对超声换能器的能量利用率较低。

周定伟、刘登瀛等人[23-26]从空化强度、空化方向、空化距离等方面对于对流换热和沸腾传热的影响进行了大量的实验研究，并根据实验规律总结了声空化的热效应机制。

受声空化的影响，传热表面会受到单个气泡溃灭时产生的微射流作用，虽然这种微射流只是局部的，但依然对热边界层造成了影响，使其变薄。

除此之外，声空化过程中产生的气泡团会产生更强烈的射流，这种射流作用于热边界层使其进一步变薄，显著增加了对流换热的效果。

沸腾传热效果增强的原因在于空化气泡的生成、长大及溃灭会直接影响到传热表面上气泡胚胎的生成、长大及脱离过程。

相比于声空化的热效应研究，水力空化的热效应研究较少。

Schneider [27]等人研究了水力空化对传热的影响，选择R-123制冷剂作为流体介质，研究了不同质量流量下有无水力空化时的传热情况，结果显示水力空化可以显著强化传热，水力空化作用时换热系数比没有水力空化作用时大84%。

李虹霞等人[28]通过自制水力空化设备，结合数据采集系统研究了水流量、加热功率对于空化热效应的影响规律。

研究表明，水流量越大，水温升高得越快，空化热效应的作用越明显。

加热功率对空化热效应的影响并不明显。

周卫东、佟德水等人[29-31]运用水力空化装置进行污水处理，研究了空化热效应对于污水处理的影响，总结了有机物“水相燃烧”反应机理。

空泡在溃灭瞬间，周围会形成局部的高温热点，产生温度极高的气相分布区域，在此区域内的水分子受到极高的热效应以及极高的压力从而发生分裂及链式反应，如式(1-2)～(1-4)所示：
2H O OH H →⋅+⋅ (1-2)
222OH H O ⋅→ (1-3) 22H H ⋅= (1-4)
其中，OH ⋅和H 2O 2都具有高化学性和高氧化性，可将水中的大多数污染物氧化降解。

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1.2.4 空化数值模拟研究进展
1.2.4.1湍流模型
在水力机械领域，雷诺时均方法的应用比较广泛，其中以标准k-ε模型、RNG k-ε模型、标准k-ω模型、SST k-ω模型比较常用。

在20世纪70年代，为了研究当地湍流输运能力和上游流动情况，Launder与Spalding 建立了标准k-ε模型[32]。

其仅适用于逆压梯度较低的湍流流动情况，不能应用于强旋流场。

用该模型处理强旋流场会出现弯曲壁面流动情况不稳定的问题。

在处理近壁面的流动情况时，需要添加壁面函数进行辅助模拟，应用起来比较麻烦。

RNG k-ε湍流模型（Renormalization-group Turbulence Model）是在标准k−ε湍流模型的基础上进行改进的模型[33]。

该模型考虑了湍流漩涡，对N-S方程进行了修改，修正了湍流粘度，使得该模型能够处理更多的流动情况，比如强旋流，流线弯曲程度比较大的流动等[34-36]。

k-ε模型在处理剪切流动时会发生扩散。

针对这一不足，Wilcox于20世纪80年代提出了k-ω湍流模型[37]。

相比于k-ε湍流模型，该模型能够处理低雷诺数效应的流动情况，并且在计算压力梯度大的边界层时具有一定优势。

但入口处的湍流参数对于k-ω湍流模型的影响较大，其在处理距离壁面较远区域的流场情况与k-ε模型存在着劣势。

针对k-ω湍流模型的不足，Menter于20世纪90年代初提出了SST k-ω湍流模型[38]（Shear Stress Transport Turbulence Model），该模型结合了k-ω湍流模型和k-ε湍流模型的优点。

涡流、自由剪切流动等情况的数值模拟通过该模型的应用得到了理想的结果。

1.2.4.2空化模型
处理空化问题的关键是完整描述空化发生的整个过程以及系统析出空泡并发生相变时，气相和液相之间的质量传递和相互作用。

许多专家学者为满足这些要求提出了各种理论和计算方法（见图1-1），其中效果最好，应用最广泛的是基于输运方程的空化模型[39-40]。

第一章 绪 论
图1-1 空化数值模拟方法
Fig.1-1 Numerical simulation methods of cavitation
输运方程模型具有对流性，惯性力对于空泡的作用在模型中得到了很好的体现[41]。

现在多数湍流模型都是基于Rayleigh-Plesset 方程推导而来的，优点在于加入了表面张力和粘性两个参量，并且比较完整合理地描述了单个球状空泡开始受到干扰直至溃灭的整个阶段。

方程如(1-5)所示：
222312()(4)2l l
l d R dR dR dt dt dt R
νσ
μρρP -P
=+++ (1-5)
式中，P v 为空泡内压力，P 为环境压力，R 为空泡直径，ρl 为液体密度，ζ为表面张力系数，μl 为液体的湍动能粘度。

气液两相的质量传递是通过蒸汽输运方程调控，方程如下所示：
()()e c u R R t
ννναραρ∂
+∇=-∂ (1-6)
式中，α为气相体积分数，ρv 为气相密度，u v 为速度分量，R e 和R c 分别为空泡产生及溃灭的相变率。

当前在水力空化模拟研究中，应用最为广泛的空化模型有四种，分别为Singhal 空化模型、Schnerr-Sauer （S-S ）空化模型、Kunz 空化模型以及Zwart-Gerber-Belamri （ZGB ）空化模型。

Singhal 空化模型[42]考虑了相变率、两相流气泡动力学等因素对于空化的影响，引入了气体生成相和凝聚相两个参量。

应用实践证明该模型具有很好的适用性，稳定性高，容易收敛，能够处理一些复杂的空化流动。

空化模型的关键在于对相间质量传递率R 的推导和求解上。

Singhal 等人结合
R-P
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方程，建立两相的连续性方程，得到了R 的表达式：
R =
(1-7)
并提出模型：
()()()R e c f u f R t
ννννραρ∂
+∇⋅=∇⋅Γ∇+-∂ (1-8)
式中，f v 为蒸汽质量分数，Γ为扩散系数。

)
)v g e vap
l v f f R F P P ρρσ
--=≤ (1-9)
)v
c cond
l v R F P P ρρσ
=>
(1-10)
1
(0.39)2
v sat P P k ρ=+
(1-11)
式中，F vap 为蒸发系数，F cond 为凝结系数，f g 为不可压缩气体质量分数。

在Rayleigh-Plesset 方程的基础上，Schnerr 和Sauer 对其进行简化，把气相体积分数与气泡数密度耦合起来进行计算，形成了Schnerr-Sauer 空化模型[43]。

气相体积分数α的表达式为：
33
43413
b B
b B
n R n R παπ=+ (1-12)
其中，n b 为单位体积空泡密度，最优值大约为1013。

相间质量传递率R 如下所示，其中R B 为空泡的半径：
R =
(1-13) 13
31()14B R n
ααπ=-
(1-14)
(1)l v e v R P P ρρααρ=
-≤ (1-15)
(1)l v c v R P P ρρααρ=-> (1-16)
Kunz 空化模型与其他空化模型的最大不同之处在于推导相间质量传输率R 时，采
第一章 绪 论
用了两种不同的方法[44]。

由液相传输到气相时，汽化压力和流场压力的差值是影响传输率的主要因素；由气相传输到液相时，传输率的影响因素主要是液相体积分数。

模型输运方程的表达式为：
1
()()l v e c l
u R R t ααρ∂+∇=-∂ (1-17)
随后Senocak 等人[45]在Kunz 成果的基础上改进了模型，引入了空泡界面运动速度的概念。

相间质量传递率通过界面的速度和气相速度来表示： 2
(1)max(P ,0)
()(0.5)dest v v v e v l C P R P P U t ραρ∞∞
--=
≤ (1-18)
2
(1)()prod v v v c v C R P P t ραα∞
-=
>
(1-19)
式中，U ∞为自由流速度，t ∞=L /U ∞为特征时间尺度，L 为特征长度，C dest 与C prod 均为经验系数。

Zwart-Gerber-Belamri 空化模型是由Zwart ，Gerber 和Belamri 三人于2004年提出的
[46]。

模型假定气泡大小相同不能相互融合，忽略了气泡表面张力，认为相间质量传递率
R 与单位体积空泡密度n b 有关，得出质量传递率的表达式为：
()v R F
P P =- (1-20)
式中，F 为经验系数。

该模型使用αnuc (1-αv )来代替αv ，以对其进行修正。

最终模型表达式为：
)e vap
v R F P P =≤ (1-21)
)c cond
v R F P P => (1-22)
式中，αnuc 为气核体积分数，R B 为气泡半径，F vap 为蒸发系数，F cond 为凝结系数。

这四种模型都是在R-P 方程的基础上建立的，相应地继承了R-P 方程的缺点：模型没有考虑相间的传热。

这为空化热效应的数值模拟研究造成了一定的困难。

通过以上文献调研和分析后发现：
（1）闭式叶轮旋转的空化发生方式能量利用率高、空化效应范围大。

（2）目前空化热效应的实验研究主要集中在声空化领域，水力空化领域研究较少。

（3）现有的空化模型没有考虑相间传热，数值模拟无法用温度作为评判空化热效
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应程度的标准。

1.3 研究内容与技术路线
（1）叶轮空化现象的模拟研究
设计两种不同的闭式叶轮并建立相应的物理模型，采用CFX软件对其空化现象进行模拟研究，优选出适宜后续实验研究的叶轮参数。

（2）空化热效应实验装置的设计与强度校核
采用CAD软件进行实验装置的设计，并对装置进行强度校核。

（3）空化热效应的实验研究
实验研究流体初始温度、流量、流体体积、粘度四个物性参数对空化热效应的影响规律。

本文技术路线如图1-2所示。

图1-2 技术路线图
Fig.1-2 Technical roadmap
第二章叶轮空化场的数值模拟
第二章叶轮空化场的数值模拟
本章采用数值模拟的方法，对比研究两种闭式叶轮旋转时的空化场情况，优选出适宜后续实验研究的叶轮参数。

2.1 叶轮设计
本章设计了2种不同类型的叶轮，二者的差异在于进出口安放角和叶片形状。

为后续论述的方便，进口安放角11.2°、出口安放角36°的叶轮命名为叶轮1，进口安放角90°、出口安放角90°的叶轮命名为叶轮2。

叶轮的主要尺寸参数如表2-1所示，结构如图2-1～2-3所示。

表2-1 叶轮参数表
Table2-1 Parameters of impellers
叶轮参数叶轮1 叶轮2
进口直径/mm 67.5 67.5
进口安放角/°11.2 90
出口安放角/°36 90
出口宽度/mm 10.4 10.4
叶片数 6 6
出口直径/mm 230 230
图2-1 叶轮三维结构示意图
Fig.2-1 Three-dimensional structure of impellers
图2-2 叶轮1内部结构示意图
Fig.2-2 Internal structure of Impeller.1
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图2-3 叶轮2内部结构示意图 Fig.2-3 Internal structure of Impeller.2
2.2 数学模型
相比于其他软件，CFX 物理模型丰富，功能强大，基于有限体积离散方法，精度较高。

本文选用CFX 软件对叶轮的空化现象进行模拟研究，数值模拟的流程图如图2-4所示。

图2-4 数值模拟流程图
Fig.2-4 Flow chart of numerical simulation
2.2.1 Mixture 模型
是
物理建模
网格划分
选取数值计算模型
确定初始条件和边界
条件
设置求解控制参数
计算模型初始化
是否收敛
后处理
数值计算
否
第二章 叶轮空化场的数值模拟
现在常用的多相流计算模型一般是欧拉法处理得到的，其中应用较为广泛的模型有三种：VOF (V olume of Fluid )模型、Mixture 模型和欧拉（Eulerian ）模型。

与VOF 模型和欧拉模型相比，Mixture 模型占用的系统资源少，计算速度快，精度高、稳定性强，因此选用Mixture 模型进行本章的模拟研究。

（1）Mixture 模型的连续性方程
m
()0m m t
ρρν∂+∇⋅=∂ (2-1)
这里m ν是质量平均速度：
1
n
k k k
k m m
αρν
νρ==
∑
(2-2)
ρm 是混合密度，其公式为：
1
n
m k k k ραρ==∑
(2-3)
αk 为第k 相的体积分数。

（2）Mixture 模型的动量方程
Mixture 模型的动量方程可以通过对所有相各自的动量方程求和来获得，可表示为：
,,k 1()()()m m m m m m m m n m k k dr k dr k p t
g F ρνρννμννραρννT =∂
⎡⎤+∇⋅=-∇+∇⋅∇+∇⎣⎦∂⎛⎫
+++∇⋅ ⎪
⎝⎭
∑
(2-4)
这里n 是相数，F 是体积力，μm 是混合粘性：
1
n
m k k
k μαμ==∑
(2-5)
,dr k ν是第k 相的漂移速度：
,dr k k m ννν=-
(2-6)
（3）第二相的体积分数方程
第二相的体积分数方程可从第二相的连续性方程得到：
222222,2()()()m dr t
αραρναρν∂
+∇⋅=-∇⋅∂ (2-7)
2.2.2 湍流模型
由前文可知，SST k -ω湍流模型能够较好地处理涡流的流动情况。

因此，本文选取
中国石油大学（华东）硕士学位论文
SST k -ω湍流模型模拟叶轮周围流体的流动情况。

该模型结合了k -ω湍流模型和k -ε湍流模型的优点，构造了一个混合函数F 1来实现由近壁面区域到充分发展的湍流区域之间的过渡。

SST k -ω湍流模型表达式为：
'
()Re Re
Re j k j T j k
j M
k k u P k t x M M k x x ρρβρωμμσ∞
∞
∞⎛⎫
∂∂⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫
+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
(2-8)
()
212()Re +Re
Re 21Re T
j j j
k j j j M
M u P t x M x x M k F x x ωωμρωωωρβρωμσρ
ωσω∞
∞∞
∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫
+=-++⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪
⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦∂∂⎛⎫
- ⎪
∂∂⎝⎭
(2-9)
涡粘性的表达式为：
12Re min ,T a k k SF M ρρμω∞⎡⎤
⎛⎫=⎢
⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
(2-10)
式中S =12j i ij j
i u u S x x ⎛⎫
∂∂=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭。

雷诺应力表达式为：
12
233
k ij T ij ij ij k u S k x τμδρδ⎛
⎫∂=-
- ⎪∂⎝
⎭ (2-11)
湍动能与比耗散率的生成项近似表达式为： 2i
k ij
T j
u P S x τμ∂==∂ (2-12)
k
T
P P ωγρμ=
(2-13)
2.2.3 空化模型
相比于其他空化模型，ZGB 空化模型在模拟高流量的空化情况时具有优势[47]。

姜映福、王勇等人[48-49]的数值模拟结果表明，ZGB 空化模型在预测叶轮的空化性能时更加稳定、收敛性好，取得的结果比较理想。

本章的重点在于模拟两种闭式叶轮的空化场，因此选取ZGB 空化模型作为本次研究的空化模型。

ZGB 空化模型的相关方程见式(1-20)～(1-22)。