高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用重点知识点大全
单选题
1、若M 为△ABC 的边AB 上一点，且AB
⃑⃑⃑⃑⃑ =3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,则CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．3CM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．3CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +2CA ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．3CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +2CM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：A
解析：先用向量CB →，CA →表示向量CM →，再转化为用CA →，CM →表示CB →
即可得答案.
解：根据题意做出图形，如图，
所以CM →=CB →+BM →=CB →+23BA →=CB →+23(CA →−CB →)=13CB →+23CA →
，
所以CB →= 3CM →−2CA →.
故选：A.
小提示：关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题
2、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为（ ）
A ．a
B ．1
C ．-1
D ．−a
答案：A
分析：根据给定条件，求出(a −2b ⃑ )⋅a ，再借助投影向量的意义计算作答.
因|a |⃑⃑⃑⃑⃑ =1,a ⊥b ⃑ ，则(a −2b ⃑ )⋅a =a 2−2b ⃑ ⋅a =1，令向量a −2b ⃑ 与向量a 的夹角为θ，
于是得|a −2b ⃑ |cosθ⋅a ⃑ |a ⃑ |=(a ⃑ −2b ⃑ )⋅a ⃑ |a ⃑ |⋅a
⃑ |a ⃑ |=a ，
所以向量a −2b ⃑ 在向量a 方向上的投影向量为a .
故选：A
3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）
A ．A
B ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑
C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑
D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑
答案：D
分析：由平面向量的加减法法则进行计算.
由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，
所以12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ .
故选：D.
4、下列条件中能得到a ⃗=b ⃑⃗的是（ ）
A ．|a ⃗|=|b ⃑⃗|
B ．a ⃗与b ⃑⃗的方向相同；
C ．a ⃗=0⃑⃗，b ⃑⃗为任意向量
D ．a ⃗=0⃑⃗且b ⃑⃗=0⃑⃗
答案：D
分析：根据相等向量的概念，即可得到结果.
由于a ⃗=b ⃑⃗，所以a ⃗与b ⃑⃗的大小相等，方向相同，故D 正确.
故选：D.
5、向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，则b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为（
）
A ．-1
B ．−12
C ．12
D ．1
答案：B
解析：根据题条件，先求出a ⃗⋅b ⃑⃗，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.
因为向量a ⃗，b ⃑⃗满足a ⃗=(1,√3)，|b ⃑⃗|=1，|a ⃗+b ⃑⃗|=√3，
所以|a ⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗+|b ⃑⃗|2=3，即4+2a ⃗⋅b ⃑⃗+1=3，则a ⃗⋅b
⃑⃗=−1， 所以b ⃑⃗在a ⃗方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=
a →⋅
b →|a →|=−12. 故选：B.
6、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C,a +b =2c =2，则△ABC 的面积为（ ）
A ．3√38
B ．√34
C ．√32
D ．3√32 答案：B
分析：由正弦定理化角为边结合余弦定理可求出C =π3，再由已知可求出ab =1，即可求出面积.
因为a (sin A −sin B )+b sin B =c sin C ，由正弦定理得a (a −b )+b 2=c 2，
即a 2+b 2−c 2=ab ，所以cos C =
a 2+
b 2−
c 22ab =12， 又C ∈(0,π)，所以C =π3.又a +b =2c =2，则c =1,a +b =2，
由a 2+b 2−c 2=a 2+b 2−1= ab,(a +b)2−3ab =1，得ab =1.
所以S △ABC =12ab sin C =12×1×1×sin π3=
√34. 故选：B.
7、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ）
A ．14
B ．34
C ．√24
D ．√23
答案：B
分析：利用余弦定理求得cosB .
b 2=ac,
c =2a ，则b 2=2a 2，
由余弦定理得cosB =
a 2+c 2−
b 22a
c =a 2+4a 2−2a 22a⋅2a =34. 故选：B
8、在△ABC 中，若AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
答案：B
分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解.
因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB
⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×a 2+c 2−b 22ac =c 2，
所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形.
故选：B
多选题
9、下列结果为零向量的是( )
A ．A
B ⃑⃑⃑⃑⃑ −(B
C ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )B ．AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CD ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ +MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −MP
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：BCD
分析：根据向量加减法的运算方法即可逐项判断.
A 项，AB
⃑⃑⃑⃑⃑⃗−(BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)＝AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝2AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； B 项，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；
C 项，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−O
D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗；
D 项，NO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗−MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＋PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗＝0⃑⃗.
故选：BCD.
10、已知向量a ⃗=(1,−2)，b
⃑⃗=(−1,m)，则（ ） A ．若a ⃗与b ⃑⃗垂直，则m =−1B ．若a ⃗//b
⃑⃗，则m =2 C ．若m =1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=√13D ．若m =−2，则a ⃗与b
⃑⃗的夹角为60° 答案：BC
分析：利用向量垂直、平行的坐标表示求参数m ，即可判断A 、B 的正误；由m 的值写出b
⃑⃗的坐标，再由向量坐标的线性运算及模长的坐标求法、夹角的坐标求法求|a ⃗−b ⃑⃗|、a ⃗与b
⃑⃗的夹角，即可判断C 、D 正误. A ：a ⃗与b ⃑⃗垂直，则−1−2m =0，可得m =−12
，故错误；
B：a⃗//b⃑⃗，则m−2=0，可得m=2，故正确；
C：m=1有b⃑⃗=(−1,1)，则a⃗−b⃑⃗=(2,−3)，可得|a⃗−b⃑⃗|=√13，故正确；
D：m=−2时，有b⃑⃗=(−1,−2)，所以cos<a⃗,b⃑⃗>=a⃑⃗⋅b⃑⃗
|a⃑⃗||b⃑⃗|=
√5×√5
=3
5
，即a⃗与b⃑⃗的夹角不为60°，故错误.
故选：BC
11、（多选）已知向量a⃗，b⃑⃗，在下列命题中正确的是（）
A．若|a⃗|>|b⃑⃗|，则a⃗>b⃑⃗B．若|a⃗|=|b⃑⃗|，则a⃗=b⃑⃗
C．若a⃗=b⃑⃗，则a⃗//b⃑⃗D．若|a⃗|=0，则a⃗=0
答案：CD
分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案.
解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A错；
向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B错；
两个向量相等，这两个向量平行，所以C正确；
模值为零的向量为零向量，故D正确
故选：CD
填空题
12、《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.
答案：100(√3+1)
分析：依题意画出图象，即可得到A=60∘,B=75∘,C=45∘，AB=200，再利用正弦定理计算可得；解：如图，设震源在C处，则AB=200km，则由题意可得A=60∘,B=75∘,C=45∘，根据正弦定理可得
200 sin45∘=AC
sin75∘
，又sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√2
2
×√3
2
+√2
2
×1
2
=√6+√2
4
所以AC=
200sin75∘sin45∘=200×
√6+√2
4
√2
2
=100(√3+1)，
所以震源在A地正东100(√3+1)km处.
所以答案是：100(√3+1)
13、已知向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，若(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，则实数λ=___________. 答案：−1
分析：由(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，可得(a⃗+3b⃑⃗)⋅(2a⃗+λb⃑⃗)=0，化简后结已知条件可求得答案
解：因为向量a⃗,b⃑⃗的夹角为120°，|a⃗|=2,|b⃑⃗|=1，且(a⃗+3b⃑⃗)⊥(2a⃗+λb⃑⃗)，
所以(a ⃗+3b ⃑⃗)⋅(2a ⃗+λb ⃑⃗)=0，即2a ⃗2+(6+λ)a ⃗⋅b
⃑⃗+3λb ⃑⃗2=0， 所以8+(6+λ)×2×1×(−12)+3λ=0，解得λ=−1，
所以答案是：−1
14、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________.
答案：−74m ⃑⃑ +138n ⃑
分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.
设p ⃗=xm ⃑⃑⃗+yn ⃑⃗，则有p ⃗=3a ⃗+2b ⃑⃗=x(2a ⃗−3b ⃑⃗)+y(4a ⃗−2b ⃑⃗)=(2x +4y)a ⃗+(−3x −2y)b
⃑⃗， 得{2x +4y =3−3x −2y =2⇒{x =−74,y =138.，所以p ⃗=−74m ⃑⃑⃗+138n ⃑⃗， 所以答案是：−74m ⃑⃑⃗+
138n ⃑⃗
解答题 15、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB
（1）求B ;
（2）若b =2√3,AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，求△ABC 的周长 答案：（1）B =π3；（2）6√3. 分析：（1）根据asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sinBcosB =sinB 求解；
（2）利用余弦定理得到(a +c )2−3ac =12，然后由AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6求得ac 代入即可. （1）因为 asinAsinB +ccosA =(acosA +2b )cosB ，
所以a (sinAsinB −cosAcosB )+ccosA =2bcosB ，
所以−acos(A +B)+ccosA =2bcosB
所以acosC +ccosA =2bcosB
由正弦定理得sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosB
整理得sin (A +C )=2sinBcosB =sinB
因为在△ABC 中，所以sinB ≠0，则2cosB =1
所以B =π3 （2）由余弦定理得
b 2=a 2+
c 2−2accosB ，
即(a +c )2−3ac =12，
因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =accosB =12
ac =6， 所以ac =12，
所以(a +c )2−36=12，
解得a +c =4√3.
所以△ABC 的周长是6√3
小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。