《三角函数诱导公式》说课稿(附教学设计)

《三角函数诱导公式》说课稿
一、教材分析
《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六．前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，在此基础上，继续学习这五组公式，经历公式的发现、推导和应用的学习过程，由未知到已知的转化过程，为以后的三角函数求值、化简、证明等打好基础．
本节共需二课时，本节是第一课时．教学内容为公式二、三、四．
诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用.
本节课的重点是诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单函数式的求值与化简，提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在具体数学内容中的重要的方法以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们.
二、教学目标分析
在初中学生已经学习过关于原点、x轴以及y轴对称的点的坐标的内在联系，并且前面学生能运用三角函数的定义和公式一进行三角函数求值，但对于任意角的三角函数之间存在的联系还不甚清楚，或者只有一点模糊的感性认识．数学课程标准强调：“学生要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程．”所以，根据课程标准、教材的特点、对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个维度的方面确定了教学目标．
为实现本节课的教学目标，教师将引导学生借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导诱导公式．同时，在公式的推导过程中，注意运用数形结合的思想探究问题，用联系的观点发现解决问题（证明诱导公式）. 让学生体会把未知问题
化归为已知问题的思维方式，培养学生由特殊到一般的归纳问题意识，培养学生的综合实践和自主学习的能力；培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．
三、教学问题诊断
在本节的学习过程中学生可能会遇到一些问题：
1．在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生认为只要记住公式，会做题就可以，对公式的推导重视不够.为了尽量避免这种情况的出现，我采用小组讨论制，考虑到学生的个体差异，把“强”、“中”、“弱”合理搭配，安排组长监管收集讨论的结果，记录收集每一阶段的过程材料.
2．角α的任意性，怎样向学生交代清楚是这节课我一直思考的问题.为了解决这个问题我自己利用几何画板制作教学课件，通过用角终边的任意一点的拖动，显示三角函数值在各个象限的变化，让学生明白角α不局限为第一象限的角，它具有任意性，从而突破了难点.
3．公式的记忆也是个难点.编制口诀帮助记忆，特别是十字口诀的含义需要正确的理解. 教师对于幻灯片中的公式，对照几何画板课件逐字逐句的分析，让其明白公式中的角是任意的，而记忆时将其看成锐角.另外，反思学习过程时，指导学生联系角的终边的对称性与三角函数值之间的关系，也有利于公式的记忆.
四、本节课的教法特点以及预期效果分析
为了实现既定的教学目标，本节课教法的设计原则是贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革．主要体现在从三方面：
1．计算机辅助教学
借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的角的终边的对称关系，角的终边变化和三角函数值的关系使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示变化的过程，使问题形象、直观，易于得出一般结论．
2．探究式教学
本节课安排先由特殊的角的三角函数值，得到猜想，再使用课件直观演示一般问题的变化中的相等、相反关系，然后通过论证，形成一般的任意角的结论，
最后通过例题总结出解题的一般规律．这样的安排符合学生的认知规律，不仅使学生获得诱导公式，而且也有利于培养学生从特殊到一般的归纳和抽象能力，有利于提高数学的数学素养．
3．小组合作式教学
小组学生三层组合，对于问题的解决提出不同意见，分别给学生展示的机会，使他们充满信心，而且小组学习起到了相互交流、督促的作用．
我在进行《三角函数诱导公式》教学设计过程中力图在如下两方面作文章，以期能有所突破和创新．
（一）问题的引入
问题的引入是我着实下力的地方．设想了几个方案：
【方案一】
求30°、150°、210°、－30°、390°的三角函数值？并分类填好表格．
针对以上表格，回答以下问题：
①各角间有什么关系，终边分别在第几象限？
②它们的三角函数值有什么关系？
【方案二】
（1）提问：三角函数定义、诱导公式(一)及其结构特征．
（2）学生练习：试求下列三角函数值sin1110°，sin1290°．
【方案三】
1．复习：
(1)利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：
(2)由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数相等．即有： sin(2π)sin (Z),cos(2π)cos (Z),(tan(2π)tan (Z),k k k k k k αα
αα
αα
+=∈+=∈+=∈公式一）
2．问题： 除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？
这三种方案比较各有侧重点．
方案一通过表格形式既复习了锐角函数值，又让学生看到了不能解决的新问题，本想采用做成表格每人一张，之后学生回答，或做成幻灯片师生活动，但是感觉略复杂，而且目的不明确，放弃．
方案二通过提问的方式使学生温故，而且在新知识的推导过程中还要有应用，所以很有必要，而计算的那两个值似乎值太大，如果学生公式一还用的不熟练，反而耽误时间了，放弃．
方案三和方案二有异曲同工之妙．直接开门见山提了问题，很好，但是问题显得有点唐突，不知道为什么和对称联系到了一起，放弃．
最终权衡利弊，采取了教学设计中的“问题引导，创设情境”方案．
新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．教师应努力改变教学观念，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．所以我采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——探索开发新结论——总结概括新结论——巩固应用结论——课堂小结”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，充分尊重学生作为学习主体的情感、认知水平和发展需求，使数学自主建构生成．
（二）诱导公式的推导
美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动”思维永远是从问题开始的．所以本节课采用了逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去“发现”的方法，使学生始终处在兴趣盎然的状态，课堂气氛活跃．
所以，我首先研究了课程标准和教材的特点，决定以三角函数的定义为切入点，利用单位圆这一在图形，直观演示，使学生先形成感性认识，进而启发学生挖掘对称点的坐标之间的内在联系，充分渗透数形结合的思想，在不知不觉中完成：问题链引导——〉大胆猜测——〉图形观察——〉总结结论，形成一套完整的探究合作式教学过程．
特别是对公式中任意角的理解，是正确理解和使用诱导公式的关键． 对公式中的角是任意角而并非第一象限的角的结论，我采用了几何画板课件展示：首先，作出第一象限的任意角α，之后得到相应的三角函数值，再做出π,π,ααα-+-的终边，分析对称关系，之后拖动其终边上任意点，让学生观察每一象限内的变化，从而验证了猜想，总结出三角函数的诱导公式．
由于本节课的教学重点在公式的推导，揭示公式所蕴含的的数学思想，理解数学意义，而且在教学过程中尽可能地使学生参与到教与学的活动之中，课堂学习气氛将是比较活跃的，效果也会比较显著．
本节课应用了单位圆，并以对称为载体，从整体上把握教学内容，教学过程一气呵成．但由于教学内容公式很多，形式相近，易混，需要完成记忆公式、理解公式和应用应用等诸多问题，要在45分钟内完成这些教学内容，时间是比较紧，对教师和学生都具有一定的挑战性．
《三角函数的诱导公式》教学设计
一、教学内容与内容解析
“三角函数的诱导公式”是普通高中课程标准实验教科书人教A 版必修4第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六，是三角函数的主要性质.学生在前面已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，这节课在此基础上，继续学习公式二至公式四.三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个
整体.通过简单问题的提出、诱导公式的发现、问题的解决，体会由未知到已知的转化，为以后的三角函数求值、化简、简单证明以及后续学习的三角函数图像和性质等知识打好基础．
诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用. 诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.
本节课的重点是诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单函数式的求值与化简，提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识，把过去渗透在具体数学内容中的重要的方法以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们.
二、教学问题诊断分析
在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习.在学习中了解和体验公式的发生、发展过程，让学生领会到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等知识的延续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归纳推导公式.
在教学中可能会遇到如下几个问题：
1．在利用多媒体引导学生从特殊到一般的学习过程中，部分学生认为只要记住公式，会做题就可以，对公式的推导重视不够.为了尽量避免这种情况的出现，我采用小组讨论制，考虑到学生的个体差异，把“强”、“中”、“弱”合理搭配，安排组长监管收集讨论的结果，记录收集每一阶段的过程材料.
2．角α的任意性，怎样向学生交代清楚是这节课我一直思考的问题.为了解决这个问题我自己利用几何画板制作教学课件，通过用角终边的任意一点的拖动，显示三角函数值在各个象限的变化，让学生明白角α不局限为第一象限的角，它具有任意性，从而突破了难点.
3．公式的记忆也是个难点.特别是十字口诀更是理解不深.对于幻灯片中的公式，教师对照几何画板课件逐字逐句的分析，让其明白公式中的角是任意的，而记忆时将其看成锐角.另外，反思学习过程时，体会角的终边的对称性与三角
函数值之间的关系也有利于公式的记忆.
三、目标和目标解析
（一）教学目标
1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简.
2.通过诱导公式的推导过程，体会数形结合及转化思想的运用.
3.培养学生由特殊到一般的归纳意识，学会用联系的观点看待问题.
（二）目标解析
在初中学生已经学习过关于原点、x 轴以及y 轴对称的点的坐标的内在联系，并且前面学生能运用三角函数的定义和公式一进行三角函数求值，但对于任意角的三角函数之间存在的联系还不清楚，或者只有一点模糊的感性认识．数学课程标准强调：“学生要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程．”所以，根据课程标准、教材的特点、对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标．
根据教学内容的结构特征及教学目标，本节课采用了“问题——发现——归纳——类比”的教学方法和“自主探究——小组合作”的学习方式.由问题驱动，通过诱导公式二至四的探究，概括得到诱导公式的特点，提高对数学内部关联的认识，理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想，培养学生的探究能力.
教学目标实现过程：
1．利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的.
2．由特例(18030)︒+︒与30°(36030)︒-︒与30°，(18030)︒-︒与30°的关系提出问题，启发学生的思维，引导他们分析角的终边对称关系，利用定义进行推导得到公式二，再利用多媒体动态演示，使学生对“α为任意角”的认识自然合理.之后如法炮制公式三、四，通过联想，类比、方法迁移，学生很轻松的发现公式，每小组积极发言并且通过实物展台展示交流，发现任意角α与(180)α︒+，α-，(180)α︒-三角函数值的关系，体会了从特殊到一般的归纳推理过程，使学
生的思维得到科学训练，有助于培养学生的概括能力和创新能力.
3．采用问题设疑，观察演示，步步深入，逐层引导，探究合作的教学方法，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识和创新精神.通过引导学生探索并发现公式，将发现与证明合为一体，体现了“数形结合”的思想方法.
4．通过例1和变式，把诱导公式（一）、（二）、（三）、（四）的应用进一步拓广，发展学生的思维能力和计算能力.例2的扩展让学生认识到公式的实用性和学习的必要性.
本节课的教学设计力求体现“问题性”、“科学性”与“思想性”，以多媒体为辅助手段，采用教师为主导学生为主体的启发式与探究式相结合的方法，使学生快乐地学习.
三、教学支持条件分析
在进行本节课的教学时，学生已经学习了三角函数的定义、各象限角的三角函数值的符号和公式一，这些内容是学生理解、归纳公式二至公式四的基础，因此教学时应充分注意利用这一有利条件，引导学生多进行归纳与概括.另外，信息技术的使用也为突破教学难点、启发学生思维、增加课堂容量提供了有力的支持.
五、教学过程设计
（一）创设问题情境
师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示．
问题1：
（1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切）
（2）任意角的三角函数的定义是什么？
（3）公式一的内容与作用是什么？
问题2:已知
1
sin30,
2
︒=如何求sin210,sin330,sin150
︒︒︒的值.
教师引导：能否再把0°～360°间的角的三角函数，化为我们熟悉的0°～90°间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问
题.
【设计意图】通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号，对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思考，激起学生们的兴趣.
(二)探索开发新结论
教师引导：为了解决以上问题，我们采用各个击破的方法.首先看
21030180︒=︒+︒，
如果我们知道一个任意角α与(π＋α)三角函数值的关系，问题就解决了.
探究一：任意角α与(π＋α)三角函数值的关系.
问题3：
①α与 (π＋α)角的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称） ②设α与(π＋α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2，则点P 1与P 2位置关系
如何？（关于原点对称）
③设点P 1(x ，y )，那么点P 2的坐标怎样表示？（P 2(－x ，－y )）
④sin α与sin(π＋α)，cos α与cos(π＋α)，tan α与tan(π＋α)的关系如何？
经过探索，归纳成公式
()()()sin πsin cos πcos tan πtan αα
αααα
+=-+=-+= ------公式 二
1sin 210sin(30180)sin 302
︒=︒+︒=-︒=-. 【设计意图】公式二的三个式子中，ααsin )πsin(-=+是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成办法．通过脚手架式的层层提问，引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以渔”的目的.后两个均由学生类比讨论完成．
学生活动：小组讨论，代表发言交流．
问题4：公式中的角α仅是锐角吗？
【设计意图】课前提问的问题是以30︒引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式的角α，有些同学肯定会有这样的疑问，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.引导学生互相讨论，交流可以使学生记忆更深刻.
师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更好的理解了这个公式．
【设计意图】通过多媒体演示，发现变化规律，从而总结出三角函数的诱导公式．
类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后面的两个问题.观察
33036030︒=︒-︒，由公式一知330︒的终边与30-︒的终边相同，所以我们必须知道一个任意角α与(-α)三角函数值的关系.
探究二：任意角α与(-α)三角函数值的关系.
问题5：
①α与(－α)角的终边位置关系如何？(关于x 轴对称)
②设α与(－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何(关
于x 轴对称)
③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？[P 2(x ，－y )］
④sin α与sin(－α)，cos α与cos(－α) ，tan α与tan(－α)关系如何？ 经过探索，归纳成公式
()()()sin sin cos cos tan tan αα
αααα
-=--=-=--------------公式 三
1sin 330sin(36030)sin(30)sin 302
︒=︒-︒=-︒=-︒=-. 【设计意图】通过学生自主探究与合作交流，完成由角的终边点的对称性得到公式的过程，充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和体验的欲望，让他们既动脑又动手，让学生参与教学活动.让学生体验数与形的关系，尝试自主探究的乐趣.
教师引导：那15018030︒=︒-︒，我们须知α与(π－α)的三角函数值的关系，同学们继续发挥聪明才智解决它吧！
探究三：α与(π－α)的三角函数值的关系．
问题6：
①α与(π－α)角的终边位置关系如何？(关于y 轴对称)
②设α与(π－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如
何？(关于y 轴对称)
③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？[P 2(-x ，y )］
④sin α与sin(π－α)，cos α与cos(π－α) ，tan α与tan(π－α)关系如何？
经过探索，归纳成公式
()()()sin πsin cos πcos tan πtan αα
αααα
-=-=--=- ------公式 四
1sin150sin(18030)sin 302
︒=︒-︒=︒= 【设计意图】与探究二的教法相同，学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视，及时反馈、矫正、讲评．采用合作学习有助于观察的多种方式的呈现，通过学生多角度的观察所得到结论的交流，让学生感受数学美和发现规律（公式）的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律.同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事.
(三)总结概括新结论
师生活动：为了更好的使学生们把自己的研究成果记忆牢靠，师生共同大声朗读这四组公式.
三角函数的诱导公式
公式一：sin(2π)sin ,cos(2π)cos tan(2π)tan (Z),k k k k αααααα+=+=+=∈，
公式二：sin()sin cos()cos tan()tan .αααααα-=--=-=-，
， 公式三：sin(π)sin cos(π)cos tan(π)tan .αααααα-=-=--=-，
， 公式四：sin(π)sin cos(π)cos tan(π)tan .αααααα+=-+=-+=，
， 说明：公式中的α指使公式两边有意义的任意一个角．
问题7：你能用一句话概括公式一、二、三、四吗？
为了让学生更好的记忆公式，通过幻灯片展示，猜想验证，如果把角α看成锐角，2π,π,π,k αααα+-+-分别位于第一、二、三、四象限，由课前提问各象限内三角函数值的符号，学生可以试着叙述.
师生活动：总结概括公式一、二、三、四：
ααα-±∈±,π,Z)(π2k k 的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.公式特点：“函数名不变，符号看象限”
【设计意图】逐步理解十字口诀含义，并且训练学生的概括能力.
(四)巩固应用结论
例1 求下列三角函数值：
师生活动：学生板书，教师巡视，纠正错误．
（1）cos225︒；（2）11πsin 3；（3）16πsin()3
-；（4）cos(2040)-︒ 分析：先将不是0～2π范围内角的三角函数，转化为0～2π范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到0～π2
范围内角的三角函数的值.
解：（1）cos 225cos(18045)cos 452︒=︒+︒=-︒=-
．
（2）11πππsin sin(4)sin 3332
π=-=-=-．
（3）16π16πππsin()sin sin(5π)(sin )3333-
=-=-+=--= （4）cos(2040)cos 2040cos(6360120)-︒=︒=⨯︒-︒ =1cos120cos(18060)cos602
︒=︒-︒=-︒=-． 问题8：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是什么？（学生大胆说，互相讨论）
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化大于2π的正角的三角函数为0～2π内的三角函数；
③化0～2π内的三角函数为锐角的三角函数．
变式：已知α是第三象限的角且1sin 3
α=-，求sin(π)α+，sin(π)α-（学生口答）
【设计意图】在得到诱导公式后，在此让学生独立去实践解决问题，，一般情况下，1、2小题都能很快解决，只是到了第3、4小题时，条件变化稍复杂一些，同学们就会出现思维障碍，需及时引导他们去进行角的转化，在实践中体会诱导公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角，体会从未知到已知的化归思想，从而为总结出解题的一般步骤埋下伏笔.变式是为了让学生进一步理解公式中角的任意性而设立.
例2 化简()cos(180)sin 360sin(180)cos(180)
αααα︒++︒--︒-︒-． （学生板书）
解：[]sin(180)sin (180)sin(180)(sin )sin ααααα--︒=-︒+=-︒+=--=， []cos(180)cos (180)cos(180)cos αααα-︒-=-︒+=︒+=-，
所以原式=cos sin 1sin (cos )
αααα-=-． 变式：已知π1sin()63α-=，求5πsin()6
α+的值. 【设计意图】在例题的选取与设计上，主要体现“由易到难，由简单到复杂，层层推进”的想法，例1体现在求值上，例2主要体现在化简上，使学生明白公示的应用所在.变式需要利用诱导公式进行一下变形再求值，对于初学者有点难度，需要教师从旁指导.练习是递进，体现化归思想、整体思想、使学生思维得到锻炼，体验学习的乐趣，从而达到初步掌握知识应用的目的.
(五)课堂小结
问题9 ：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？主要提示从以下三方面 （由学生完成）
1．四组诱导公式及公式的记忆方法
2．求任意角的三角函数的步骤：。