高中数学第三章三角函数3.1弧度制与任意角3.1.2弧度制学案湘教版必修2(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第三章三角函数3.1 弧度制与任意角3.1.2 弧度制学案湘教版必修2
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3。

1.2 弧度制
[学习目标］ 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换。

2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3。

掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
［知识链接]
1．初中几何研究过角的度量,当时是用度来做单位度量角的．那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？
答规定周角的错误!做为1°的角；它的大小与它所在圆的大小无关．
2．用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？
答l＝错误!,S＝错误!.
［预习导引］
1．弧度制
（1)定义：单位圆上长度为1的圆弧所对的圆心角取为度量的单位，称为弧度，这样的单位制称为弧度制．
（2）任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．
(3）角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么，角α的弧度数的绝对值是｜α｜＝错误!. 2．角度制与弧度制的换算
（1）
角度化弧度弧度化角度
360°＝2π2π＝360°
180°＝ππ＝180°
1°＝错误!≈0。

017451＝错误!°≈57.30°
(2
度01°30456090120135150180270360
°°°°°°°°°°°
弧0错误!错误!错误!错误!π
2
错误!错误!错误!π错误!2π
3
设扇形的半径为R，弧长为l,α（0〈α〈2π)为其圆心角，则
度量单位类
别
α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝错误!l＝α·R
扇形的面积S＝错误!S＝错误!l·R＝错误!α·R2
要点一角度制与弧度制的换算
例1 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3）错误!；（4）－错误!。

解（1)20°＝20×错误!＝错误!。

（2）－15°＝－15×
π
180
＝－错误!。

（3）错误!＝错误!×错误!°＝105°。

（4）－错误!＝－错误!×错误!°＝－396°。

规律方法(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π＝180°.(2）熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．
跟踪演练1 （1)把112°30′化成弧度;
(2）把－错误!化成度．
解（1）112°30′＝错误!°＝错误!×错误!＝错误!.
（2)－错误!＝－错误!×错误!°＝－75°.
要点二用弧度制表示终边相同的角
例2 把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z）的形式，并指出是第几象限角:
（1)－1500°;(2）错误!; (3)－4。

解(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°。

∴－1500°可化成－10π＋错误!，是第四象限角．（2)∵错误!＝2π＋错误!，
∴错误!与错误!终边相同，是第四象限角．
(3）∵－4＝－2π＋(2π－4),π
2
＜2π－4＜π。

∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
规律方法用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α（k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪演练2 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π
5
，β2＝－错误!。

(1）将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限;
（2）将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．解(1)∵180°＝π,
∴α1＝－570°＝－错误!＝－错误!
＝－2×2π＋错误!，
α
2
＝750°＝错误!＝错误!＝2×2π＋错误!.
∴α1的终边在第二象限,α2的终边在第一象限．
(2）β1＝错误!＝错误!×180°＝108°，
设θ＝108°＋k·360°（k∈Z)，
则由－720°≤θ<0°，
即－720°≤108°＋k·360°<0°，
得k＝－2,或k＝－1。

故在－720°~0°范围内，
与β1终边相同的角是－612°和－252°。

β
2
＝－错误!＝－60°,
设γ＝－60°＋k·360°（k∈Z)，
则由－720°≤－60°＋k·360°〈0°,得k＝－1,或k＝0.
故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°和－60°。

要点三扇形的弧长及面积公式的应用
例3 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大，并求这个最大值．
解设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r。

∴S＝错误!l·r＝错误!(a－2r）·r＝－r2＋错误!r
＝－错误!2＋错误!。

∵r〉0，l＝a－2r〉0,∴0<r〈错误!,
∴当r＝错误!时，S max＝错误!.
此时，l＝a－2·错误!＝错误!，∴α＝错误!＝2。

故当扇形的圆心角为2时,扇形的面积最大，为错误!。

规律方法(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝错误!lr＝错误!｜α｜r2，二是l＝|α｜r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．
(2）当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数．
跟踪演练3 一个扇形的面积为1，周长为4,求圆心角的弧度数．
解设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝错误!lR,
得1＝错误!（4－2R）·R，
∴R＝1,∴l＝2，∴α＝错误!＝错误!＝2，
即扇形的圆心角为2。

1．时针经过一小时，时针转过了（）
A。

错误!B．－错误!
C。

错误!D．－错误!
答案B
解析时针经过一小时，转过－30°,
又－30°＝－错误!，故选B。

2．下列叙述中，正确的是( ）
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧对的圆心角的大小,弧度是角的一种度量单位
答案D
3．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________．
答案错误!＋错误!，错误!－错误!
解析设这两个角为α,β弧度,不妨设α〉β，
则错误!
解得α＝错误!＋错误!，β＝错误!－错误!.
4．把－错误!π表示成θ＋2kπ(k∈Z）的形式，使|θ|最小的θ值是________．答案－错误!π
解析－11
4
π＝－2π＋错误!＝2×(－1）π＋错误!.
∴θ＝－错误!π。

1.角的概念推广后，在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．
度数与弧度数的换算借助“度数×
π
180°
＝弧度数，弧度数×错误!＝度数”进行，一些特殊角
的度数与弧度数的对应值必须记牢．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
一、基础达标
1．－300°化为弧度是（）
A．－错误!πB．－错误!π
C．－错误!πD．－错误!π
答案B
2．集合A＝错误!与集合B＝
错误!的关系是( )
A．A＝B B．A⊆B
C．B⊆A D．以上都不对
答案A
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（）
A．2 B．sin2
C.错误!D．2sin1
答案C
解析r＝错误!，∴l＝|α|r＝错误!.
4．下列与错误!的终边相同的角的表达式中，正确的是( ）
A．2kπ＋45°(k∈Z）
B．k·360°＋错误!（k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z）
D．kπ＋错误!（k∈Z)
答案C
5．已知α是第二象限角，且｜α＋2｜≤4，则α的集合是______．
答案（－1.5π,－π）∪（0.5π，2]
解析∵α是第二象限角,∴错误!＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z,
∵|α＋2｜≤4，∴－6≤α≤2，
当k＝－1时，－1。

5π＜α＜－π，当k＝0时，0.5π＜α≤2,
当k为其它整数时,满足条件的角α不存在．
6．如果一扇形的弧长变为原来的错误!倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
答案错误!
解析由于S＝1
2
lR，若l′＝错误!l,R′＝错误!R，则S′＝错误!l′R′＝错误!×错误!l×错误!
R＝错误!S.
7．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解（1)阴影部分内(不包括边界）的角的集合为
｛θ|2kπ－错误!<θ<2kπ＋错误!，k∈Z}．
（2)阴影部分内（不包括边界)的角的集合
｛θ|kπ＋错误!〈θ〈kπ＋错误!，k∈Z｝．
二、能力提升
8．扇形圆心角为错误!,则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( ）A．1∶3B．2∶3
C．4∶3D．4∶9
答案B
解析设扇形的半径为R,扇形内切圆半径为r，
则R＝r＋错误!＝r＋2r＝3r.∴S内切圆＝πr2。

S
＝错误!αR2＝错误!×错误!×R2＝错误!×错误!×9r2＝错误!πr2。

扇形
∴S内切圆∶S扇形＝2∶3。

9．下列表示中不正确的是( ）
A．终边在x轴上的角的集合是｛α｜α＝kπ,k∈Z｝
B．终边在y轴上的角的集合是{α｜α＝错误!＋kπ，k∈Z}
C．终边在坐标轴上的角的集合是｛α|α＝k·错误!,k∈Z｝
D．终边在直线y＝x上的角的集合是{α|α＝错误!＋2kπ，k∈Z}
答案D
解析终边在直线y＝x上的角的集合应是{α|α＝错误!＋kπ，k∈Z｝．10．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π,k∈Z}，
集合B＝{x｜－4≤x≤4}，则A∩B＝________。

答案[－4，－π]∪[0，π］
解析如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪［0，π］．
11．用30cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为α,半径为r，面积为S，弧长为l,则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r，从而S＝错误!·l·r＝错误!(30－2r）·r
＝－r2＋15r＝－错误!2＋错误!。

∴当半径r＝错误!cm时，l＝30－2×错误!＝15cm，
扇形面积的最大值是错误!cm2，这时α＝错误!＝2。

∴当扇形的圆心角为2，半径为错误!cm时,面积最大，为错误!cm2。

12。

如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A（1，0)出发，
依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1s内转过的角为θ (0<θ
〈π),2s时位于第三象限,14s时又回到了出发点A处，求θ。

解因为0〈θ<π，且2kπ＋π<2θ<2kπ＋错误!（k∈Z），
则必有k＝0，于是错误!〈θ<错误!，
又14θ＝2nπ(n∈Z),所以θ＝错误!，
从而错误!〈错误!〈错误!，即错误!〈n<错误!，
所以n＝4或5，故θ＝错误!或错误!.
三、探究与创新
13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°，R＝10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．
解设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝错误!，R＝10，∴l＝αR＝错误! (cm)．
S
＝S扇－S△＝错误!×错误!×10－错误!×2×10×sin错误!×10×cos错误!＝50错误!（cm2)．弓。