2020年四川省南充高中毕业班2月网上考试 文科数学答案

高2017级月考数学试题（文）参考答案
一、 选择题
1-5：DBADB 6-10:ACDBC 11-12:CA 二、 填空题
13: -2 14: 3 15: 2.5 16: π16 三、解答题
17题 解：（1）()*16
4
n n n a a n a +-=
∈-N Q 116
3
34
6224
n n n n n n a a a a a a ++----∴=----6312628
n n n n a a a a --+=--+ 2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=-
32n n a a ⎧⎫
-∴⎨⎬-⎩⎭
是首项为113132212a a --=
=--，公比为2的等比数列………… （5分） （2）由（1）知，322n
n n a a -=-，即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）
123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅① 23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，
①减②得
1
1
2
3
1
142S 122(22...2)(21)222(21)212
n n
n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-
1(32)26n n +=-⋅-.
1S (23)26n n n +∴=-⋅+…………………………………………………………………
… ( 10分)
211
1S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），
S n ∴单调递增.
76S 92611582019=⨯+=<Q ，87S 112628222019=⨯+=>.
故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.………… ( 12分)
18题 （1）由直方图可知：
，，．
所以这个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为个，
个，个
…………（3分）
拥堵路段共有个，按分层抽样从
个路段中选出
个，每种情况分别为：
，
，
，
即这三个级别路段中分别抽取的个数为
，
，
．…………（6分）
（2）记（Ⅰ）中选取的个轻度拥堵路段为
，选取的
个中度拥堵路段为
，选取的个严重拥堵路段为，则从
个路段选取个路段的可能情况如下：
，，，
，，，
，，，
，，，
，，
共
种可能，
其中至少有个轻度拥堵的有：
，
，
，，，
，，，
共
种可能. …………（10分）
所以所选个路段中至少
个路段轻度拥堵的概率为
…………（12分）
19题（1）因为平面平面ABCE，平面平面，平面所以平面ABCE，
又因为平面ABCE，所以，
B E ，
又，满足，所以A B
又，所以平面．…………（6分）
（2）在棱上存在点G，使得平面，
此时点G为的中点．，
由Ⅰ知，平面ABCE，所以，
又，所以平面，
所以CE为三棱锥的高，且，
在中，，G为斜边的中点，
所以 ，
所以 ．
故在棱
上存在点G ，使得
平面
，
此时三棱锥的体积为． …………（12分）
20题 （1）由题意知，任意一点E 到焦点的距离等于到直线x=-2的距离，由抛物
线的定义得抛物线标准方程为
所以抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为：
2x =-；…………………………………(4分)
（2）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()11,A x y ，()22,B x y ，
联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程22
8x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，
由根与系数的关系得：1216y y =-.…………………………………(6分)
直线PB 方程为：228888y x y x --=--，()222228888888
8y y x
y x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=
+，228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫
-- ⎪+⎝⎭
. 228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫
-=- ⎪+⎝⎭
u u u u r ,
()()()()()()
21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----∴⋅=+⨯=
++++u u u r u u u u r
()()()()
()()
122121801680161608888y y y y y y +-+=
==++++，
FN FM ∴⊥u u u r u u u u r ，
MF NF ∴⊥. …………………………………(12分)
21题（1）当e a =时，()e e x t x x =-，'()e e x t x =-，
令'()0=t x 则1x = 列表如下：
所以()(1)e e 0极小值==-=t x t . …………………………………(4分)
（2）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，(1)x ≥
1
'()e x F x a x
=-+，(1)x ≥
设1()e x
h x a x =-+，222
1e 1()e x x
x h x x x
⋅-'=-=， 由1x ≥得，21,x ≥2e 10->x x ，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞单调递增， 即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，
①当10e a +-≥，即1a e ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增，
又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有且只有一个实数解.
②当10e a +-<，即1a e >+时，由（1）可知e x ex ≥，
所以11'()e ,'()0x
a a e e F x a ex a F e a x x e e a a =+
-≥+-≥⋅+-=>，又11a e e
>+ 故00(1,),()0a
x F x e '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =，
故当(]01,x x ∈时，()0F x <，
在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1. 又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，
且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥，
'()()2x s x k x e x ==-，()220'=-≥->x s x e e ，故'()k x 在()1,+∞单调递增，又
'(1)0k >
1当时，∴>x '()0，>k x ()k x ∴在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，
又0a
a x e
>
>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x . 又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1. 综上，1a e ≤+. …………………………………(12分)
22题 解：（1）设点M 在极坐标系中的坐标3,2θ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由1sin ρθ=-，得
31sin 2θ=-，1sin 2θ=- Q 02θπ≤< ∴76θπ=或116
π
θ=，
所以点M 的极坐标为37,
26
π
⎛⎫ ⎪⎝⎭
或………………… (5分)
（2）由题意可设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
.
由1sin ρθ=-，得11sin ρθ=-，21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫
=-+=- ⎪⎝⎭
.
MN ==
=
=
故54
π
θ=
时，MN 的最大值为1.………………… (10分) 23题 （1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥， 当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<， 当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，
综上，原不等式的解集为[1,)+∞． ………………… (5分) （2）由（1）3m =，∴
11
322a b a b
+=++， ∴111[(2)(2)(
)922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b
a b a b
++=++++
1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立，
∴+a b 的最小值是4
9
． ………………… (10分)。