高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析

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2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)专题09 双曲线中的定点、问题含解析

（2）设斜率分别为 k1 ，k2 的两条直线 l1 ，l2 均经过点 Q 2,1 ，且直线 l1 ，l2 与双曲线 C 分别交于 A，B 两点
（A，B 异于点 Q），若 k1 k2 1，试判断直线 AB 是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．
22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知动点 P 到点 F 2, 0 的距离与它到直线 x 3 的距离之比为 2 3 ．记点 P
2
3
的轨迹为曲线 C ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）过点 F 作两条互相垂直的直线 l1 ，l2 ．l1 交曲线 C 于 A ，B 两点，l2 交曲线 C 于 S ，T 两点，线段 AB 的
中点为 M ，线段 ST 的中点为 N ．证明：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标．
专题 09 双曲线中的定点、定值、定直线问题
2，过
A1
点且斜率
1
的直线
l
与双曲线
C
交于另一点
B
，已知
△A1BF
的面积为
9 2
．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过 F 的直线与双曲线 C 交于 M ， N 两点，试探究直线 A1M 与直线 A2N 的交点 Q 是否在某条定直线
上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
19．已知双曲线 C ： x2 y2 1的左、右顶点分别为 A, B ，过右焦点 F 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于 P,Q 45
16．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0)
，过双曲线上任意一点
P
分别作斜率为
b a
和
b a

2020高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析文

【2019最新】精选高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析文一．基础题组1.【2005天津，文6】设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲221259x y +=线的渐近线的斜率为（）（A ）2 （B ）（C ）（D ）±43±12±34±【答案】C【解析】双曲线的两条渐进线是：。

根据题意：，，从而，22221x y a b -=b y a =±5c =24a c=2245a c =22222142a a b b a c a ==⇒=±- 本题答案选C2.【2006天津，文8】椭圆的中心为点它的一个焦点为相应于焦点F 的准线方程为则这个椭圆的方程是( )(1,0),E -(3,0),F -7.2x =-（A ）（B ）222(1)21213x y -+=222(1)21213x y ++= （C ）（D ）22(1)15x y -+=22(1)15x y ++= 【答案】D3.【2007天津，文7】设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）22221(00)x y a b a b-=>>，24y x =Ａ．Ｂ．2211224x y -=2214896x y -=Ｃ．Ｄ．222133x y -=22136x y -= 【答案】D4.【2008天津，文7】设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为22221x y m n +=0m >0n >28y x =12（A ）（B ）（C ）（D ）2211216x y +=2211612x y +=2214864x y +=2216448x y +=【答案】B【解析】抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A 、C ，由排除D ，选B ．(2,0)12e =5.【2009天津，文4】设双曲线(a ＞0,b ＞0)的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )12222=-by a x 32A. B.y ＝±2x C. D.x y 2±=x y 22±=x y 21±= 【答案】C【解析】由题意知:2b ＝2,,则可求得,则双曲线方程为:,故其渐近线方程为.322=c 2=a 1222=-y x x y 22±= 6.【2010天津，文13】已知双曲线 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝x ，它的一个焦点与抛物线y2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为__________．22221x y a b -=【答案】221412x y -=【解析】7.【2011天津，文6】已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为22221(0,0)x y a b a b-=>>22(0)y px p =>A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,,选B.2x =-4p =42p a +=2a =12y x =±12b a =1b =25c =2c = 8.【2012天津，文11】已知双曲线C1：(a ＞0，b ＞0)与双曲线C2：有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a ＝__________，b ＝__________．22221x y a b -=221416x y -=【答案】1 2【解析】∵C1与C2的渐近线相同，∴．2ba=又C1的右焦点为F(，0)，∴，即a2＋b2＝5c =∴a2＝1，b2＝4，∴a＝1，b ＝2．9.【2013天津，文11】已知抛物线y2＝8x 的准线过双曲线(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．2222=1x y a b -答案2213y x -=【解析】抛物线y2＝8x 的准线为x ＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c ＝2，离心率e ＝＝2，故a ＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为.c a 2213y x -=10.【2014天津，文6】已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）)0,0(12222>>=-b a b y a x ,102:+=x y lA.120522=-y x B. C. D.152022=-y x 1100325322=-y x 1253100322=-y x 【答案】A【解析】A考点：双曲线的渐近线11. 【2015高考天津，文5】已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（）22221(0,0)x y a b a b-=>>(2,0)F ()222y 3x -+=(A) (B) (C) (D)221913x y -=221139x y -=2213x y -=2213y x -=【答案】D【解析】由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D.0bx ay -=()222y 3x -+==2c ==1,a b ==【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.12.【2016高考天津文数】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x 5202=+y x（A ）（B ）1422=-y x 1422=-y x（C ）（D ）15320322=-y x 12035322=-y x【答案】A 【解析】【考点】双曲线【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：(1)确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB ＜0)．②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．二．能力题组1.【2011天津，文18】18.（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.22221(0)x y a b a b+=>>12,F F (,)P a b 212||||PF F F =（Ⅰ）求椭圆的离心率;(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A,B 两点.若直线与圆相交于M,N 两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.2PF 2PF 22(1)(16x y ++-=58【答案】(1) (2) 1,2221.1612x y +=2.【2012天津，文19】已知椭圆a ＞b ＞0)，点P(，)在椭圆上．22221x y a b+=5a2a (1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ 的斜率的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）e=k =【解析】解：(1)因为点P(，)在椭圆上，故，可得．5a 22222152a a a b +=2258b a = 于是，所以椭圆的离心率．222222318a b b e a a -==-=4e =(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得00220022,1,y kx x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 2220222a b x k a b=+．①由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，而x0≠0，故，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4．0221a x k -=+22a b 由(1)知，故(1＋k2)2＝k2＋4，2285a b =325即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5．所以直线OQ的斜率．k =3.【2013天津，文18】设椭圆(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.2222=1x y a b+33(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若·＋·＝8，求k 的值．AC DB AD CB【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）22=132x y+【解析】解：(1)设F(－c,0)，由，知.3ca=a = (2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)，由方程组消去y ，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x ＋3k2－6＝0.221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩ 求解可得x1＋x2＝，x1x2＝.22623k k -+223623k k-+ 因为A(，0)，B(，0)，所以·＋·AC DB AD CB＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝.22212 623kk+ ++由已知得＝8，22212 623kk+ ++解得k＝.4.【2014天津，文18】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，上顶点为B.已知=.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.【答案】(1) (2) e=22163x y+=【解析】x c y++=，因为点P在椭圆上，故，消可得，而点P不是椭圆的顶点，故，即点P 的坐标为设圆的圆心为，则再由得，即所以所求椭圆的方程为222212x yc c+=y2340x cx+=4,,33cx c y=-=4(,).33cc-11(,)T x y11412233,,2323c c cx c y c-++==-==22222||||TF MF r=+222225()(0)8339c c c c++-=+2 3.c=22163x y+=试题解析：解(1)设椭圆右焦点的坐标为（c,0），由，可得，又，则所以椭圆离心率为 (2)由(1)知故椭圆方程为，设，解得，所以所求椭圆的方程为2F12|||AB F F=2223a b c+=222b a c=-221.2ca=e=22222,,a cb c==222212x yc c+=(,)P x y23.c =22163x y += 考点：椭圆离心率，椭圆方程三．拔高题组1.【2005天津，文22】抛物线的方程为，过抛物线上的一点作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点（三点互不相同），且满足．C 2(0)y ax a =<C 000(,)(0)P x y x ≠12,k k C 1122(,),(,)A x y B x y ,,P A B 120(0,1)k k λλλ+=≠≠- （I ）求抛物线的焦点坐标和准线方程；C（II ）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；AB M BM MA λ=PM y （III ）当时，若点的坐标为（1，－1），求为钝角时点的纵坐标的取值范围．1λ=P PAB ∠A 1y【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析. 【解析】证明：（I ）由于函数定义，对任意整数，有（II ）函数在R 上可导， ①()f x ()'cos sin f x x x x =+令，得：()'0f x =sin cos x x x =-若，则，这与矛盾，所以。

(北京专用)高考数学总复习专题09 圆锥曲线分项练习(含解析)理-人教版高三全册数学试题

专题09 圆锥曲线1. 【2008高考理第4题】若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（） A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D考点：抛物线的定义。

2. 【2013高考理第6题】若双曲线22221x y a b-=3则其渐近线方程为( )．A ．y ＝±2xB ．2y x =C ．12y x =±D ．22y x =± 【答案】B 【解析】3c 3，∴b 2. ∴渐近线方程为2by x x a=±=±，故选B. 考点：双曲线的简单几何性质.3. 【2009高考理第12题】椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________；12F PF ∠的小大为__________. 【答案】2,120︒【解析】试题分析：∵229,3a b ==，∴22927c a b =-=-=， ∴1227F F =，又1124,26PF PF PF a =+==， ∴22PF =，又由余弦定理，得()2221224271cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒.考点：圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.4. 【2010高考理第13题】已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．【答案】 (±4,0)3x ±y ＝0在双曲线22221x y a b-=中，c ＝4，e ＝2，∴a ＝2，b ＝33x ±y ＝0. 考点：圆锥曲线的简单几何性质.5. 【2011高考理第14题】曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF 的面积不大于212a .其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③6. 【2012高考理第12题】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。

专题9-1 圆锥曲线(选填)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

【答案】1 【详解】抛物线 y2 8x ，
抛物线的准线为 x 2 ，焦点 F 2，0 ，
过点 P 作直线 l 的垂线交于点 C ，如图所示：
由抛物线的定义可知，| PF || PB || PA | p ， 2
则| PA || PF | p | PF | 2 ， 2
d | x0 || PC | | PF | 2, 当 F ， P ， C 三点共线时， | PC | | PF |取得最小值，即 d | x0 | 取得最小值， F (2, 0),
专题 9-1 圆锥曲线（选填）
目录专题 9-1 圆锥曲线（选填） ................................................................................................................... 1
B． x2 y2 1
32 36
C． x2 y2 1 95
【答案】C 【详解】根据题意，作图如下：
D． x2 y2 1 59
易知 NM NQ ，则 NP NM 6 ，即 NP NQ 6 PQ 4 ，
故点 N 的轨迹是以 P,Q 为焦点且长轴长为 6 的椭圆，
设其方程为 x2 a2
③抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （其中定点 F 不在定直线 l 上）的距离相等的点({M || MF | d} )的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做
抛物线的准线．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线
x2 9
y2 16
整理得 x2 2ax 2b2 0 ，
由于点 M 在第一象限， x a a2 2b2 ，

新新课标Ⅱ高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析理

新新课标Ⅱ高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析理一．基础题组1. 【2012全国，理3】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y += B ．221128x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 【答案】 C【解析】∵焦距为4，即2c ＝4，∴c ＝2.又∵准线x ＝－4，∴24a c-=-. ∴a 2＝8.∴b 2＝a 2－c 2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为22184x y +=，故选C 项． 2. 【2006全国2，理5】已知△ABC 的顶点B , C 在椭圆32x +y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是（）A.23B.6C.43D.12【答案】:C3. 已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为y =34x ,则双曲线的离心率为（）A.35B.34 C.45 D.23【答案】:A【解析】:12222=-by a x 的渐近线方程为a x ±b y =0.∴y =±ab x .由y =34x ,可知a b =34, 设a =3x ,b =4x ,则c =5x ,∴E =35.∴选A. 4. 【2005全国2，理6】已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为（）(C)65(D)56【答案】C5. 【2011新课标，理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________．【答案】221168x y += 【解析】6.【2017课标II ，理9】若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BCD ．3【答案】A【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．7. 【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =____________．【答案】6【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．二．能力题组1. 【2014新课标，理10】设F 为抛物线C:23y x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（）C. 6332D. 94【答案】D2. 【2012全国，理8】已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝( )A．14B．35C．34D．45【答案】C【解析】3. 【2011新课标，理7】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )A．B C． 2 D． 3【答案】B【解析】4. 【2005全国3，理9】已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（）A ．43B ．53C D 【答案】C5. 【2010全国2，理15】已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM ＝MB ，则p ＝________. 【答案】：26. 【2014全国2，理20】设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .【解析】（Ⅰ）由题意知，2||324MF c =，所以23||2MF c =，由勾股定理可得：15||2MF c =，由椭圆定义可得：32c +52c =2a ，解得C 的离心率为12。

专题09圆锥曲线-2021年高考数学(理)试题分项版解析(原卷版)

第九章圆锥曲线1.【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．32.【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（） (A)433(B)23 (C)6 （D ）43 3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( ) （A ）（33（B ）（33（C ）（223-，223）（D ）（2323）5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）（A ）()13，（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24，7.【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（） A 、(1,0)(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、(2,0)(0,2)- D 、(,2)(2,)-∞-+∞8.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -= 10.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++11.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（） A 5 B ．2 C 3 D 212.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．13.【2015高考浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是，渐近线方程是． 14.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .15.【2015高考陕西，理14】若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = ．16.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 . 17.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

高考数学圆锥曲线专题练习及答案解析

2
X = —½距离为6,点P,Q是椭圆上的两个动点©
C
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AP丄40,求证：直线P0过泄点R,并求出R点的坐标。
【例二・】已知一动圆经过点M(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲线C。
(1)求曲线C的方程；
(2)过点N(1,O)任意作两条互相垂直的直线∕1,∕2,分别交曲线C于不同的两点A,B和
的焦点，直线4F的斜率为少，O为坐标原点。
3
（1）求E方程；
（2）设过点A的直线/与E相交于PQ两点，当AOP0的面积最大时，求/的方
程。
专题练习
1•在平面直角坐标系XOy中，已知点A（O,—OB点在直线y = -3±, M点满足
MB//QA,莎•亦=屁•鬲M点的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程：
(2)P为C上的动点，/为C在P点处的切线，求O点到/距离的最小值。
10.抛汤钱屮阿基来德三角形鲂纟见般质及疝用
11.(S傩曲钱屮的戒切後龜哩
锥曲线中的求轨迹方程问题
解题技巧
求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的髙频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、
相关点法、泄义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下：
1.直译法求轨迹的步骤：
(1)设求轨迹的点为P(χ,y);
(2)由已知条件建立关于x,y的方程；
D,Q设线段ABQE的中点分别为几。・
①求证：直线P0过左点R,并求出泄点/?的坐标;
②求PGl的最小值。
专题练习
1.设椭圆E:丄y+ =y=l（α> b > 0）的右焦点到直线x-y + 2√z2=0的距离为3,且过点Cr Ir
I

高考数学圆锥曲线专题训练(附答案解析)

高中数学圆锥曲线专题*注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡阅卷人一、单选题（共10题；共20分）得分1. ( 2分) 波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.2. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.3. ( 2分) 已知、为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线，交的左、右两支于、两点，若为线段的中点且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4. ( 2分) 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.5. ( 2分) 关于曲线：性质的叙述，正确的是（）A. 一定是椭圆B. 可能为抛物线C. 离心率为定值D. 焦点为定点6. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（）A. （x﹣5）2+y2＝16B. x2+（y﹣5）2＝9C. （x+5）2+y2＝16D. x2+（y+5）2＝97. ( 2分) 已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.8. ( 2分) 在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线9. ( 2分) 已知，及抛物线方程为，点在抛物线上，则使得为直角三角形的点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. ( 2分) 已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（）A. B. C. D.阅卷人二、填空题（共10题；共10分）得分11. ( 1分) 已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为________12. ( 1分) 设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长________．13. ( 1分) 已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为________.14. ( 1分) 若椭圆的离心率为，则的短轴长为________．15. ( 1分) 从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设为抛物线的焦点，则的面积为________.16. ( 1分) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为________17. ( 1分) 已知双曲线的下焦点为，虚轴的右端点为，点在的上支，为坐标原点，直线和直线的倾斜角分别为，，若，则的最小值为________．18. ( 1分) 已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为________.19. ( 1分) 椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，已知，则________.20. ( 1分) 已知椭圆的右顶点为A，左，右焦点为F1，F2，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B．若|F1F2|＝2，|F2B| ，则点F1到直线AB的距离为________．阅卷人三、解答题（共30题；共280分）得分21. ( 10分) 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF2⊥F1F2，△F1F2D的面积为2 ，离心率e= ，抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l经过D点．（1）求椭圆E与抛物线C的方程；（2）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．22. ( 10分) 椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．23. ( 10分) 已知A（1，）是离心率为的椭圆E：+ =1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．（1）求椭圆E的方程；（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．24. ( 10分) 设抛物线C1：y2=8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2．以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记为C2．（Ⅰ）求椭圆C2的方程；（Ⅱ）设N（0，﹣2），过点P（1，2）作直线l，交椭圆C2于异于N的A、B两点．（ⅰ）若直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．（ⅱ）以B为圆心，以BF2为半径作⊙B，是否存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切？若存在，求出⊙M的方程，若不存在，请说明理由．25. ( 10分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）求直线MN的斜率．26. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且• =0，△GF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．27. ( 10分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.28. ( 10分) 设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．29. ( 10分) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．30. ( 10分) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．31. ( 10分) 已知椭圆的长轴长为4,离心率为.(I)求C的方程；(II)设直线交C于A,B两点,点A在第一象限, 轴,垂足为M, 连结BM并延长交C于点N.求证：点A在以BN为直径的圆上.32. ( 10分) 已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由33. ( 5分) 已知点P（x，y）满足条件．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与圆O：x2+y2=1相切，与曲线C相较于A，B两点，若，求直线l的斜率．34. ( 5分) 设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：a2＞；（Ⅱ）若，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．35. ( 15分) 已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若的面积等于，求的值.36. ( 5分) 如图，曲线Γ由曲线C1：（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：（a＞0，b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（Ⅰ）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（Ⅱ）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．37. ( 5分) 已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．38. ( 10分) 如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.39. ( 10分) 已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．40. ( 5分) 已知椭圆E: 过点(0,1)且离心率.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.41. ( 10分) 已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4. （1）求抛物线的标准方程；（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.42. ( 10分) 设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.（1）若，，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.①求椭圆的方程；②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.43. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．44. ( 10分) 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交曲线于另一点，求面积的最小值，以及取得最小值时直线的方程.45. ( 10分) 已知点，分别是椭圆的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若，.（1）求椭圆的标准方程；（2）如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点(都不同于点)，线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.46. ( 10分) 已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．47. ( 10分) 已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C 上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．48. ( 10分) 已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：• 为定值．49. ( 10分) 已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.50. ( 10分) 如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则 =2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故答案为：D．【分析】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则利用两点距离公式得出，∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，利用三角形面积公式求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式结合离心率公式变形求出椭圆的离心率。

2015年高考数学(理)真题分项解析：专题09+圆锥曲线

专题九圆锥曲线1.【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．【考点定位】双曲线的标准方程和定义．【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．2.【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（）(B) (C)6 （D ）【答案】D 【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2203y x -=，将2x =代入2203y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D.【考点定位】双曲线.【名师点睛】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为22220x y a b-=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ．【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题．4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是( )（A ）（）（B ）（）（C ）（）（D ）（）【答案】A【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ∙表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ∙表示为0y 的函数是解本题的关键.5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】依题意，2221)(1ab a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=，因为)()()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ，所以当b a >时，10<<a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，22)()(ma mb a b ++<，所以12e e <；当b a <时，1>a b ，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)()(ma mb a b ++>，所以12e e >.所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >. 【考点定位】双曲线的性质，离心率.【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）（A ）()13，（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24，【答案】D 【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，所以12121222y y y y x x +-⋅=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得000001,55y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上.将3x =代入24y x =得2012,y y =∴-<<.因为点M 在圆()()22250x y r r -+=>上，所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又2044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），所以204416,24y r <+<∴<<.选D.xy–12123456789–1–2–3–4–5–6123456ABCFO M【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x =上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.7.【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a + （） A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、((0,2)D 、(,(2,)-∞+∞【答案】A【考点定位】双曲线的性质.【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于,,a b c 的不等式，根据已知条件和双曲线中,,a b c 的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,a b 的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中,,a b c 关系的不同．8.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=【答案】D【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的渐近线方程为b y x a =±，由点(在渐近线上，所以b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =准线方程x =c =2,a b ==22143x y -=，故选D.【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中,,a b c 的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C.【考点定位】1.双曲线的渐近线.【名师点睛】双曲线确定焦点位置的技巧：2x 前的系数是正，则焦点就在x 轴，反之，在y轴；在双曲线22221x y a b -=的渐近线方程中,b aa b 容易混淆，只要根据双曲线22221x y a b -=的渐近线方程是22220x y a b-=，便可防止上述错误.10.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A.【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.11.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）A B ．2 C D【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =，故选D ．【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．12.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a -=>0y +=，则a =．【解析】双曲线()22210x y a a -=>的渐近线方程为1y x a=±，0y y +=⇒=，0a >,则1a a-==【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数a 的值.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1, 2.2pp == 【考点定位】抛物线定义【名师点睛】标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 . 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b a c +=，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.13.【2015高考浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是，渐近线方程是．【答案】32，x y 22±=. 【解析】由题意得：2=a ，1=b ，31222=+=+=b a c ，∴焦距为322=c ，渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 【考点定位】双曲线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距，渐近线等相关概念，属于容易题，根据条件中的双曲线的标准方程可以求得a ，b ，c ，进而即可得到焦距与渐近线方程，在复习时，要弄清各个圆锥曲线方程中各参数的含义以及之间的关系，避免无谓失分.14.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=错误！未找到引用源。

高二数学圆锥曲线分项练习(含全章所有内容及答案)

第1课时椭圆1. 椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为41-,则22OQ OP+为 ( )A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定答案: C 解析: 设直线方程为 kx y =,解出2OP ,写出2OQ 2. 过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( )A.ab 22 B.ba 22 C.ac 22 D.bc 22答案: A3. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为（） A ． 32 B.22 C.21 D.32答案: D4. 过原点的直线l 与曲线C:1322=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( )A 656παπ≤≤B 326παπ<<C 323παπ≤≤ D. 434παπ≤≤ 答案: D 解析: 用弦长公式5. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且901=∠BDB ,则椭圆的离心率为 ( ) A213- B215- C215- D23答案: B6. 椭圆)10(,2222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为(0,)a -成立的充要条件为( ) A 10<<A B 122<<a C122<≤aD.220<<a答案: C 解析: 构造二次函数. 7. 若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 和圆c c b y x (,)2(222+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )A )53,55(B )55,52(C )53,52(D )55,0( 答案: A 解析: 解齐次不等式:a c bb <+<2,变形两边平方.8. 已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的半焦距,则ac b +的取值范围是 ( )A (1, +∞)B ),2(∞+C )2,1(D ]2,1(答案: D解析: 焦三角形AFO,如图: θθθ,cos sin +=+ac b 为锐角.转化为三角函数问题.9. P 是椭圆上一定点,21,F F 是椭圆的两个焦点,若βα=∠=∠1221,F PF F PF ,则βαβαsin sin )sin(++=e解析: 正弦定理、合比定理、更比定理. 10.(2000全国高考) 椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 5353<<-x解析: 焦半径公式.11. 圆心在y 轴的正半轴上,过椭圆14522=+y x 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 25)62(22=-+y x12. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为13-解析: 同填空(1)13. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成30角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭圆离心率为21解析: 求b a , R c R b R a R a 33,,332,230cos 2===∴=14. 如果y x ,满足,369422=+y x 则1232--y x 的最大值为 2612+解析: 三角代换.16. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程. 解:设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x , ),(y x M 为椭圆上的点,由23=ac 得b a 2=)(,34)21(3)23(22222b y b b y y x AM≤≤-+++-=-+=若21<b ,则当b y -=时2AM 最大,即7)33(2=--b , 21237>-=∴b ,故矛盾.若21≥b 时,21-=y 时7342=+b , 12=b所求方程为 1422=+y x17.已知曲线0444222=++++y x y x 按向量)1,2(=a 平移后得到曲线C. ① 求曲线C 的方程;②过点D(0, 2)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间,设MN DM λ=,求实数λ的取值范围.解:① 由已知设点P(),00y x 满足1)1(2)2(2020=+++y x ,点P 的对应点Q(),y x则⎩⎨⎧=-=-1200y y x x 11222=+∴y x . ② 当直线的斜率不存在时,)1,0(),1,0(-N M ,此时21=λ;当直线的斜率存在时,设ｌ:2+=kx y 代入椭圆方程得:068)12(22=+++kx x k0)12(246422>+-=∆k k 得232>k设),(),,(2211y x N y x M ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+126128221221k x x k k x x , MN DM λ=)(121x x x -=∴λ又,12121x x x x x -=∴≠λ 则λλ+=121x x .λλλλ+++=+∴111221x x x x .又2)12(3322)12(3322222122211221-+=-+=+=+∴k k k x x x x x x x x 由232>k ,得316)12(33242<+<k ,即31021221<+<∴x x x x即310112<+++<∴λλλλ,又210>∴>λλ综上:),21[∞+∈λ第2课时双曲线1. 已知21,F F 是双曲线1222=-y x 的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点,直线PQ 过2F ,且倾斜角为α,则PQ QF PF -+11的值为 ( )A. 24B. 8C. 22D. 随α的大小变化答案: A 解析: 用双曲线定义列方程可解2. 过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在 ( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条答案: D 解析: ⊥l x 轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条; 过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条. 3. 直线531+-=x y 与曲线12592=+y x x 的交点个数是 ( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个. 答案: D解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点. 4. P 为双曲线12222=-by ax 上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系为 ( ) A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 无公共点或相交. 答案: C 解析: 用两圆内切或外切的条件判断 5. 已知是双曲线1322=-y mx 的离心率2=e ,则该双曲线两条准线间的距离为( )A. 2B.23 C. 1 D.21答案: C 解析:23,0=+>mm m6. 设)4,0(πθ∈,则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围是 ( )A. )21,0( B. )22,21( C. ),2(∞+ D. )2,22(答案: C 解析: θθθθ2cot 1tan cot tan +=+=e7. 设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ,则21F PF ∆的面积为 ( )A. 1B.25 C. 2 D. 5答案: A 解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组. 8. 设21,F F 是双曲线1422=-y x 的左、右焦点,P 在双曲线上,当21PF F ∆的面积为1时,21PF PF ⋅的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 21 D. 2答案: A解析: 不妨设,p x ,0>p y 由511221=∴=⋅⋅p p y y c , )55,5302(P)55,53025(1---=∴PF , )55,53025(2--=PF ,021=⋅∴PF PF9.设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为31610. 双曲线两条渐进线方程为034=±y x ,一条准线方程为59=x ,则双曲线方程为116922=-y x解析: 可设双曲线方程为: 116922=-λλy x ()0>λ11. 设双曲线)0(,12222b a b y a x <<=-的半焦距为c ,直线l 过点)0,(a ,),0(b 两点.已知原点到直线l 的距离为c 43,则双曲线的离心率为 2解析: 由2>∴<e b a12. 已知双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴且与圆1722=+y x 相交于A(4, -1),若此圆在点A 的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为 2551622=-y x解析:设双曲线方程为:,12222±=-b y a x 4=ab ,再用待定系数法.13. 直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于不同两点,则k 的取值范围是21<<k 解析: 用判别式和韦达定理14. 21,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足3221=⋅PF PF ,则=∠21PF F90解析: 列方程组解.15. 以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆,与相应准线l 有两个不同的交点,求证:①这圆锥曲线一定是双曲线;②对于同一双曲线,l 截得圆弧的度数为定值. 解:①如图:ST QH ⊥, QH AB 2> eAB eBF eAF BB AA QH =+=+=1121>∴e 所以圆锥曲线为双曲线. ②eABBB AA QFQH QSQH SQH 122cos 11=+===∠为定值所以弧ST 的度数为定值.16. M 为双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 上异于顶点的任一点,双曲线的焦点为)0,(),0,(21c F c F -,设βα=∠=∠1221,F MF F MF ,求2cot2tanβα⋅的值.解: αββααβsin sin )sin(2sin sin 2121--=+==r r c r r2sin2sin sin sin )sin(αββααββα-+=-+=∴ac 2sin2cos)(2cos2sin)(βαβαa c a c -=+∴, ac a c +-=⋅∴2cot2tanβα17.(2000全国高考)已知梯形ABCD 中,CD AB 2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点,当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围. 解:如图建系:设双曲线方程为:12222=-by ax则B(c,0), C(),2h c ,A(-c,0))1,)1(22(λλλλ++-∴hc E ,代入双曲线方程得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⋅+-⋅=-⋅22222222222222)1()1(4)2(4b a b ac b b a h a c b λλλλ, ]43,32[,1122∈-+=∴λλλe107≤≤∴e第3课时抛物线1. 过点(0, 2)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条. 答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点.2. 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为y x 22= )200(≤≤y ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径r 的范围为 ( )A. 10≤<rB. 10<≤rC. 10≤<rD. 20<<r 答案: C 解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出2222)22()(t y t y t y x PA +-+=-+=转化为二次函数问题.3. 抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是 ( ) (A)2a (B)2p (C)2p a + (D)2p a -答案: D 解析: 可证弦AB 通过焦点F 时,所求距离最短.4. 直线l 过抛物线)0()1(2>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( ) A. 4 B. 2 C. 41 D.21答案: A 解析: 所截线段长恰为通径4=a 5. (2000全国高考)过抛物线)0(2>=a axy 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q,则qp11+等于( )A. a 2B.a21 C. a 4 D.a4答案: C 解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ 平行于x 轴,6. 设抛物线)0(22>=p px y 的轴和它的准线交于E 点,经过焦点F 的直线交抛物线于P 、Q两点(直线PQ 与抛物线的轴不垂直),则FEP ∠与QEF ∠的大小关系为 ( ) A. QEF FEP ∠>∠ B. QEF FEP ∠<∠C. QEF FEP ∠=∠D. 不确定答案: C 解析: 向量解法: 由A 、F 、B 共线得221p y y -=(重要结论),进而得出QE PE k k =7. 已知抛物线12-=x y 上一定点)0,1(-B 和两动点P 、Q ,当P 点在抛物线上运动时,PQ BP ⊥,则点Q 的横坐标的取值范围是 ( )A. ]3,(--∞B. ),1[∞+C. [-3, -1]D. ),1[]3,(∞+--∞ 答案: D 解析: 均值不等式8. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ( )A. 45B. 60C. 90D.120 答案: C解析: 如图, ),,22(121y p py FA -=),,22(222y p py FB -=因为A 、F 、B 三点共线所以22112212221,221221p y y y p y y py p y y p-=∴-=-0),(),(2122111=+=-⋅-=⋅y y p y p y p FB FA9. 一动点到y 轴距离比到点(2, 0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为)0(0)0(82<=≥=x y x x y 或解析: 用抛物线定义.10. 过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 x y y x 8,22-=-=解析: 考虑两种可能.11. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为24米解析: 坐标法 12. 以椭圆1162522=+y x 的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点,则=AB 3100解析: 略13. 设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且90=∠AOB (O 为原点),则直线必过的定点坐标为)0,2(p解析: 设直线方程为 kx y =,解出A 点坐标,再写出B 点坐标;写出直线方程. 14. 抛物线x y =2的焦点弦AB,求OB OA ∙的值.解:由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==)21(22x k y xy 得1,012212-=∴=--y y y k y 43412122212121-=+=+=⋅∴y y y y y y x x OB OA15.设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线22+=x y 相交于B 、C 两点,点 B 、C 在x 轴上的射影分别为11,C B , P 是线段BC 上的点,且适合11CC BB PCBP =,求POA∆的重心Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形. 解析: 设),(),,(),,(002211y x P y x C y x B ,),(y x Qλ===∴2111y y CC BB PCBP , 2121212211021y y y y y y y y y y y +=+⋅+=∴由⎩⎨⎧-=+=)2(22x k y x y 得06)4(222=+--k y k k y 412462220-=-⋅=∴k k kk k y --------------------------------------------------------①又k x y =-200代入①式得4400+=x y -----------------------------------------②由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=33200y y x x 得⎩⎨⎧=-=y y x x 32300 代入②式得:04312=--y x由0>∆得624-<k 或624+>k , 又由①式知0y 关于k 是减函数且120≠y641264120+<<-∴y , 36443644+<<-y 且4≠y所以Q 点轨迹为一线段(抠去一点): 04312=--y x(36443644+<<-y 且4≠y )16. 已知抛物线)0(22>=p px y ,焦点为F,一直线l 与抛物线交于A 、B 两点,且8=+BF AF ,且AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0) ①求抛物线方程;②求ABS ∆面积的最大值.解析: ①设),(),,(2211y x B y x A , AB 中点 ),(00y x M 由8=+BF AF 得24,8021p x p x x -=∴=++又⎪⎩⎪⎨⎧==22212122px y px y 得k p y x x p y y =∴-=-0212221),(2所以 ),24(kpp M -依题意1624-=⋅--k p k p, 4=∴p 抛物线方程为 x y 82= ②由),2(0y M 及04y k l =, )2(4:00-=-x y y y l AB 令0=y 得20412y x K -= 又由x y 82=和)2(4:00-=-x y y y l AB 得: 01622202=-+-y y y y )162(44)414(212120202012--+=-⋅⋅=∴∆y y y y y KS S ABS6964)364(82)232)(16(24132020=≤-+=∴∆y y S ABS第4课时轨迹与轨迹方程1. 与圆x 2+y 2-4y =0外切, 又与x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ).A. y 2=8xB. y 2=8x (x >0) 和 y =0C. x 2=8y (y >0)D. x 2=8y (y >0) 和 x =0 (y <0) 答案: D解析: 设所求圆的圆心为),(y x O , 已知圆圆心)2,0('O , 半径为2, 则y OO +=2'或O 点在y 轴负半轴.2. 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离比它到直线x =8的距离大1, 则动点M 的轨迹方程为( ).A. y 2=16(x -5)B. x 2=16(y -5)C. x 2=-16(y -5)D. y 2=-16(x -5) 答案: D解析: 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离等于它到直线x =9的距离. 所以动点M 的轨迹是以点F (1,0)为焦点, 直线x =9为准线的的抛物线.3. 3=, A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动, O 为原点, OB OA OP 3231+=则动点P的轨迹方程是 ( ). A.1422=+y x B. 1422=+y xC. 1922=+y x D. 1922=+y x答案: A 解析: 由OB OA OP 3231+=知: P 点是AB 的三等分点(靠近B ), 设P (x ,y ), 则)0,23(),3,0(x B y A , 3=, 由距离公式即得.4. A 、B 、C 是不共线的三点, O 是空间中任意一点, 向量)2(BC AB OA OP ++=λ, 则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( ).A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心答案: C解析: 向量)21(2)2(BC AB BC AB +=+λλ与BC 边中线的向量是平行向量,)2(BC AB OA OP ++=λ, 则点P 在BC 边中线上.5. 已知两定点F 1(-1,0) 、F 2(1,0), 且2121F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则动点P 的轨迹是( ).A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 线段答案: D解析: ,22121==+F F PF PF 作图可知点P 的轨迹为线段.6. 已知点P (x ,y )对应的复数z 满足1=z , 则点Q (x +y ,xy )的轨迹是 ( ). A. 圆 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆 D. 双曲线的一部分答案: B解析: 设),(Y X Q , 则,12,,222=-=+==+=Y X y x z xy Y y x X122+=∴Y X , ]1,1[],1,1[-∈-∈y x , ∴轨迹为抛物线的一部分.7. 已知△ABC 的两个顶点A 、B 分别是椭圆192522=+y x 的左、右焦点, 三个内角A 、B 、C 满足C B A sin 21sin sin =-, 则顶点C 的轨迹方程是( ).A.112422=-y x B.112422=-y x (x <0)C. 112422=-y x (x .<-2 ) D. 112422=+y x答案: C解析: 821),0,4(),0,4(==+∴-c b a B A , 点C 的轨迹是以A 、B 为焦点长轴长为8的双曲线的右支且点C 与A 、B 不共线.8. 抛物线y =x 2+(2m +1)x +m 2-1的焦点的轨迹是 ( ). A. 抛物线 B. 直线 C. 圆 D. 线段答案: B解析: 设焦点坐标为M (x ,y ), 顶点)45,21(----m m , 0122,14145,21=--∴--=+--=--=∴y x m m y m x . 9. 点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆14322=+y x 上运动, 则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程是 . 答案: )0(149322≠=+x y x解析:设y n x m n y m x n m P F F y x G 3,3,311,3),(),1,0(),1,0(),,(21==∴+-==-则,代入14322=+y x 即得, 再注意三角形三顶点不共线. 10. 过椭圆14922=+y x 内一点M (2,0) 引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 . 答案: 149)1(22=+-y x解析: 设N (x ,y ), 动弦AB 方程为)2(-=x k y , 与14922=+y x 联立, 消去y 得: 2222222948,9418,0363636)94(k k y k k x k x k x k +-=+=∴=-+-+, 消参即得.11. 直线l 1: x -2y +3=0, l 2: 2x -y -3=0, 动圆C 与l 1、l 2都相交, 并且l 1、l 2被圆截得的线段长分别是20和16, 则圆心C 的轨迹方程是 . 答案:160)3(60)3(22=---y x解析: 设C (x ,y ), 点C 到21,l l 距离分别为532,532--+-y x y x , 5)32(85)32(102222--+=+-+∴y x y x , 化简即得.12. 点P 是曲线f (x , y )=0上的动点, 定点Q (1,1), MQ MP 2-=,则点M 的轨迹方程是 . 答案: 0)23,23(=--y x f 解析: 设),,(),,(n m P y x M 则:23,23),1,1(2),(-=-=∴---=--y n x m y x y n x m , 代入f (x , y )=0即得. 13. 已知圆的方程为x 2+y 2=4, 动抛物线过点A (-1,0), B (1,0), 且以圆的切线为准线, 则抛物线的焦点的轨迹方程是 .答案:)0(13422≠=+y y x解析: 设抛物线焦点为F , 过A 、B 、O 作准线的垂线111,,OO BB AA , 则42111==+OO BB AA , 由抛物线定义得: FB FA BB AA +=+11,4=+∴FB FA , 故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点, 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点) 14. 设O 为坐标原点, P 为直线1=y 上动点, OQ OP //, 1=⋅OQ OP , 求Q 点的轨迹方程.解: 设),(),1,(y x Q a P , 则由OQ OP // 得: x ay =, 即 yx a =, 由1=⋅OQ OP 得:1=+y ax , 将yx a =代入得: y y x =+22, 且0>y .∴所求点Q 的轨迹方程为: )0(022>=-+y y y x .15. 半径为R 的圆过原点O , 圆与x 轴的另一个交点为A , 构造平行四边形OABC , 其中BC为圆在x 轴上方的一条切线, C 为切点, 当圆心运动时, 求B 点的轨迹方程. 解: 设圆心为M (x 0, y 0), B (x ,y ), 则),,(),0,2(000R y x C x A +CB OA = ,30x x =∴ 又 BC 为圆的切线, 得: R y y +=0,R OM R y y x x =-==∴ 00,3,)0()(922222020≠=-+∴=+∴x R R y x Ry x第5课时直线与圆锥曲线（1）1．若倾角为4π的直线通过抛物线24y x =的焦点且与抛物线相交于M 、N 两点，则线段MN 的长为（）（A （B ）8 （C ）16 （D ）（目的：掌握抛物线的焦点弦长的求法）【答案】（B ）【解析】由条件，过焦点的直线为1y x =-代入抛物线方程，并由抛物线的定义求得128MN x x p =++=2．直线10x y --=与实轴在y 轴上的双曲线22x y m -=的交点在以原点为中心，边长为2且边平行于坐标轴的正方形内部，那么m 的取值范围是（）（A ）01m << （B ）1m >- （C ）0m < （D ）10m -<<（目的：利用不等式判断直线与双曲线的交点的位置）【答案】（D ）【解析】将直线10x y --=代入双曲线22x y m -=求得12m y -=，则有12m y -=(1,1)∈-13m ∴-<<同理亦得31m -<<，又对实轴在y 轴上的双曲线有0m <，故10m -<<。

2019年高考数学理真题分项解析：专题09 圆锥曲线

专题九圆锥曲线1.【2019高考新课标Ⅰ，理10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y +=【答案】B 【解析】【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2.【2019高考新课标Ⅱ，理8】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．3.【2019高考新课标Ⅱ，理11】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A. 2B. 3C. 2D.5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．4.【2019高考新课标Ⅲ，理10】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A.324B.322C. 22D. 32【解析】【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【详解】由222,2,6,a b c a b ===+=．6,2P PO PF x =∴=Q ，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在22y x =上， 1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ．【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5.【2019高考北京卷，理4】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B .【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.6.【2019高考北京卷，理8】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2. 结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.7.【2019高考天津卷，理5】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A .2B. 3C. 2D. 5【答案】D 【解析】【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。

新课标Ⅰ高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析文

——教学资料参考参考范本——新课标Ⅰ高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析文______年______月______日____________________部门一．基础题组1. 【20xx 全国1，文4】已知双曲线的离心率为2，则)0(13222>=-a y a x =aA. 2B.C.D. 12625 【答案】D【解析】由离心率可得:，解得：．c e a=222232a e a +==1a =2. 【20xx 课标全国Ⅰ，文4】已知双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)的离心率为，则C 的渐近线方程为( )．,2222=1x y a b -52A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝±x 14x ±13x ±12x ± 【答案】：C3. 【20xx 课标，文4】椭圆的离心率为( )221168x y +=A. B. C. D.13123322【答案】D【解析】因为,所以离心率为,选D.4,22a c ==224. 【20xx 全国卷Ⅰ,文5】设双曲线(a ＞0,b ＞0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于( )12222=-by a xA. B.2 C. D.356 【答案】:C【解析】:双曲线的一条渐近线为,x ab y =由消y 得,,⎪⎩⎪⎨⎧+==,1,2x y x a b y 012=+-x a b x 由题意，知Δ=()2-4=0.ab∴b2=4a2.又c2=a2+b2,∴c2=a2+4a2=5a2. ∴.5=ac5. 【20xx 全国1，文4】已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则双曲线方程为（）(4,0)-(4,0)A. B. C. D.221412x y -=221124x y -=221106x y -=221610x y -=【答案】A6. 【20xx 新课标1，文5】已知F 是双曲线C ：的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为（）1322=-y xA ．B ．C ．D ．122 33 2【答案】D 【解析】试题分析：由得，所以，将代入，得，所以，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为，选D ．2224c a b =+=2c =(2,0)F 2x =2213y x -=3y =±3||=PF 133(21)22⨯⨯-= 【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF 与x 轴垂直，可得，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．)0,2(F 3||=PF7. 【20xx 全国1，文16】已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .29x 227y【答案】6【解析】由角平分线定理得：, ,故.2211||||1||||2AF MF AF MF ==12||||26AF AF a -==2||6AF =8. 【20xx 全国卷Ⅰ,文16】若直线m 被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为,则m 的倾斜角可以是____________.,22 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是___________.(写出所有正确答案的序号) 【答案】:①⑤9. 【20xx 全国1，文14】已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．21y ax =- 【答案】2【解析】由抛物线y=ax2-1的焦点坐标为坐标原点得，，则与坐标轴的交点为（0，-1），（-2，0），（2，0），则以这三点围成的三角形的面积为，故答案为21(0,1)4a -14a =2114y x =-14122⨯⨯= 10. 【20xx 高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线的焦点重合，是C 的准线与E 的两个交点，则 ( )122:8C y x =,A B AB =（A ）（B ）（C ）（D ）12 【答案】B【解析】∵抛物线的焦点为（2,0），准线方程为，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），2:8C y x =2x =-∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为，c=2，22221(0)x y a b a b+=>>∵，∴，∴，∴椭圆E 方程为，12c e a ==4a =22212b a c =-=2211612x y +=将代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B.2x =-【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质11.【20xx 新课标1文数】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，14则该椭圆的离心率为,（A ）（B ）（C ）（D ）13122334【答案】B 【解析】【考点】椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线的离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e . 二．能力题组1. 【20xx 全国1，文10】已知抛物线C ：的焦点为,是C 上一点，，则（）x y =2F ()y x A 00,x F A 045==xA. 1B. 2C. 4D. 8 【答案】A2.【20xx 新课标1，文12】设A ，B 是椭圆C ：长轴的两个端点，若C上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是,2213x y m+=A ．B ．(0,1][9,)+∞(0,3][9,)+∞C ．D ．(0,1][4,)+∞(0,3][4,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：当时，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足，则，即，得；当时，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足，则，即，得，故的取值范围为，选A ．03m <<120AMB ∠=tan 603ab ≥=33m≥01m <≤3m >y 120AMB ∠=tan 603ab≥=33m≥9m ≥m (0,1][9,)+∞ 【考点】椭圆3. 【20xx 全国1，文10】已知F1，F2为双曲线C ：x2－y2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( ) A ． B ． C ． D ．, 14353445【答案】C【解析】设|PF2|＝m ，则|PF1|＝2m ，由双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a ， ∴2m －m ＝.∴.又，∴由余弦定理可得22=22m 22224c a b =+=cos∠F1PF2＝.2221212||||432||||4PF PF c PF PF +-= 4. 【20xx 全国1，文8】已知F1、F2为双曲线C ：x2－y2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】：B【解析】在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4. 25. 【20xx 全国1，文15】在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．ABC △90A ∠=3tan 4B =A B ，C e = 【答案】12、9. 【20xx 高考新课标1，文16】已知是双曲线的右焦点，P 是C 左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为．,F22:18y C x -=()0,66A APF ∆【答案】126【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，1F 1||2||PF a PF =+ ∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，12||a PF +1||PF 2a由于是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA|+最小，即P 、A 、共线，2||a AF +1||PF 1F∵，（－3,0），∴直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以P 点的纵坐标为，()0,66A 1F 1AF 1366x y +=-326y x =-2218y x -=266960y y +-=26y =86y =-26∴==.11APF AFF PFFS S S ∆∆∆=-1166662622⨯⨯-⨯⨯126【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题三．拔高题组1. 【20xx 课标全国Ⅰ，文8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝，则△POF 的面积为( )．42x 42 A ．2 B ． C ． D ．42223 【答案】C【解析】利用|PF|＝，可得xP ＝.242P x +=32 ∴yP ＝.∴S △POF ＝|OF|·|yP|＝.26±1223 故选C.2. 【20xx 课标，文9】已知直线过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则的面积为( ) ,ABP ∆A.18B.24C.36D.48 【答案】C3. 【20xx 全国卷Ⅰ,文12】已知椭圆C:的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF 交C 于点B.若,则||=( )1222=+y x FB FA 3=AFA. B.2 C. D.323 【答案】A【解析】(方法一)由已知得,b=1,c=1,∴F(1,0),准线l:.2=a 22==ca x设A(2,y1),B(x2,y2),=(1,y1),=(x2-1,y2),∵,∴FA FB FBFA 3=⎩⎨⎧=--.3),1(31212y y x ∴.又,∴,不妨取.342=x 12)34(222=+y 312±=y 312=y∴y1=1.∴=（1，1）.∴||=2.FA FA(方法二)由已知得,b=1,c=1,2=a设B 在l 上的射影为B1,F 在l 上的射影为H,由椭圆第二定义得,22||||1==a c BB BF4. 【20xx 课标全国Ⅰ，文21】(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y2＝1，圆N ：(x －1)2＋y2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程；,(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【解析】：由已知得圆M 的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N 的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R. (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．322=143x y +(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝.23若l 的倾斜角不为90°，由r1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．1||||QP RQM r = 由l 与圆M 相切得＝1，解得k ＝.2|3|1k k +24±5. 【20xx 全国1，文22】已知抛物线C ：y ＝(x ＋1)2与圆M ：(x －1)2＋(y －)2＝r2(r ＞0)有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l.12(1)求r ；,(2)设m ，n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m ，n 的交点为D ，求D 到l 的距离．【解析】：(1)设A(x0，(x0＋1)2)，对y ＝(x ＋1)2求导得y′＝2(x ＋1)，故l 的斜率k ＝2(x0＋1)．当x0＝1时，不合题意，所以x0≠1. 圆心为M(1，)，MA 的斜率.122001(1)21x k'x +-=-由l⊥MA 知k·k′＝－1，即2(x0＋1)·＝－1，2001(1)21x x +--解得x0＝0，故A(0,1)，r ＝|MA|＝，即.2215(10)(1)22-+-=52r =(2)设(t ，(t ＋1)2)为C 上一点，则在该点处的切线方程为y －(t ＋1)2＝2(t ＋1)(x －t)，即y ＝2(t ＋1)x －t2＋1.若该直线与圆M 相切，则圆心M 到该切线的距离为，52即，22212(1)11522[2(1)](1)t t t +⨯--+=++- 化简得t2(t2－4t －6)＝0，解得t0＝0，，.1210t =+2210t =-7. 【20xx 全国1，文22】已知为坐标原点，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线与C 交于A 、B 两点，点P 满足O 22:12y C x +=-20.++=OA OB OP(1)证明：点P 在C 上；,(2)设点P 关于点的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.O 【分析】(1) 联立方程利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P 点的坐标，然后再结合直线方程把P 点的纵坐标也用A 、B 两点的横坐标表示出来.从而求出点P 的坐标,代入椭圆方程验证即可证明点P 在C 上.0++=OA OB OP【解析】 (1)设1122(,),(,)A x y B x y直线与联立得:21l y x =-+2212y x +=242210x x --=解得122662,44-+==x x 121221,24x x x x +==- 由得0.++=OA OB OP 1212((),())P x x y y -+-+122()2x x -+=-, 121212()[21(2)1]2()21-+=--++-+=+-=-y y x x x x222(1)()122--+=,所以点P 在C 上.（2）方法一：12121212(1)(1)22()()22tan (1)(1)1122()()22PA PBPA PBy y x x k k APB y y k k x x ----------∠==----++⋅---- 212112123()4()33293()22x x x x x x x x --==-++同理21212121112222tan 11112222------∠==--++⋅--QB QA QA QBy y x x k k AQB y y k k x x 12211212()4()3213()22x x x x x x x x --==--++所以互补，,APB AQB ∠∠因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.方法二：由和题设知，,PQ 的垂直平分线的方程为…①2(,1)2P --2(,1)2Q 22y x =- 设AB 的中点为M ，则，AB 的垂直平分线的方程为…②21(,)42M 2124y x =+ 由①②得、的交点为21(,)88N -22221311||()(1)2888NP =-++--=, 22132||1(2)||2AB x x =+-⋅-=,8. 【20xx 全国1，文22】（本大题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，与共线。

2017高考十年高考数学分项版专题09 圆锥曲线(江苏专版)(解析版) 含解析

一．基础题组1。

【2005江苏，理6】抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是（） (A ）1716(B)1516(C)78(D ）02. 【2005江苏，理11】点P （—3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上。

过点P 且方向为a =(2,—5）的光线，经直线y=—2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）（A 3（B)13 （C 2（D)12【答案】A 【解析】F2F1(-1,0) P(-3,0)L yy=-2xQ(-)2,59-如图,过点P （—3，1)的方向向量)5,2(-=a 所以)3(251;,25+-=--=x y l K PQ PQ则, 即1325;-=+y x LPQ联立:)2,59(21325--⎩⎨⎧-=-=+Q y y x 得，由光线反射的对称性知：251=QF K所以)59(252;1+=+x y L QF ，即0525:1=+-y x L Q F 令y=0，得F1(-1，0）综上所述得：c=1，3,32==a c a 则所以椭圆的离心率.3331===a c e 故选A 。

3。

【2006江苏,理17】已知三点P （5,2）、1F (－6，0）、2F (6，0）。

（Ⅰ)求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程;（Ⅱ)设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。

4。

【2007江苏,理3】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点,焦点在y 轴上,一条渐近线的方程为x -2y =0，则它的离心率为（） A 。

5B 。

25 C. 3 D 。

2【答案】A 【解析】5。

【2007江苏，理15】在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A （－4，0)和C （4，0），顶点B 在椭圆92522y x +=1上，则BCAsin sin sin +＝__________。

高考数学：圆锥曲线复习题附答案解析

圆锥曲线复习题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，经过F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．求弦AB 的长．【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．【解答】解：∵抛物线C ：y 2＝4x ，∴抛物线的焦点F （1，0），p ＝2，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵直线l 经过F 倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y =√3(x −1)，联立方程{y =√3(x −1)y 2=4x，化简整理可得，3x 2﹣10x +3＝0，由韦达定理可得，x 1+x 2=103，∴|AB |=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p =103+2=163．【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题．2．已知A(2，√2)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线y 2＝2px 的交点，设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，抛物线的焦点为F ，直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分．（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于P 、Q 两点，且△OPQ 的重心恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，求m 的取值范围．【分析】（1）利用点A 为椭圆和抛物线的交点，代入两个方程，即可求出抛物线的方程，再利用直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，求出c 的值，由此得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理和判别式大于0，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，得到(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，利用韦达定理进行化简变形，表示出m 2的表达式，由基本不等式求解即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，点A(2，√2)为椭圆与抛物线的交点，4a 2+2b 2=1且2＝4p ，解得p =12，则y 2＝x ；又直线AF 将ΔAF 1F 2的面积分为9：7两部分，所以c +14=97(c −14)，解得c ＝2，则a 2﹣b 2＝4，解得b =2，a =2√2，抛物线的方程为y 2＝x ；椭圆的方程为x 28+y 24=1；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{x 28+y 24=1y =kx +m，可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，由Δ＞0，可得4（2k 2+1）＞m 2（※），且x 1+x 2=−4km1+2k 2，由△POQ 重心恰好在圆x 2+y 2＝1上，可得(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=9，即(x 1+x 2)2+[k(x 1+x 2)+2m]2=9，即(1+k 2)(x 1+x 2)2+4km(x 1+x 2)+4m 2=9，所以16(1+k 2)k 2m 2(1+2k 2)2−16k 2m 21+2k 2+4m 2=9，化简得m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)，代入（※）中可得k ∈R ，设4k 2+1=t ⇒k 2=t−14(t ≥1)，则m 2=9(1+2k 2)24(4k 2+1)=9(t 2+2t+1)16t =916(t +1t +2)≥94，当且仅当t ＝1时取等号，故m 2≥94，则实数m 的取值范围为m ≤−32或m ≥32．【点评】本题考查了椭圆标准方程以及抛物线标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．3．点P （x 0，y 0）为椭圆C ：x 25+y 2＝1上位于x 轴上方的动点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点．（1）若线段PF 1的垂直平分线经过椭圆C 的上顶点B ，求点P 的纵坐标y P ；（2）设点A （t ，0）为椭圆C 的长轴上的定点，当点P 在椭圆上运动时，求|P A |关于x 0的函数f （x 0）的解析式，并求出使f （x 0）为增函数的常数t 的取值范围；（3）延长PF 1、PF 2，分别交C 于点M 、N ，求点P 的坐标使得直线MN 的斜率等于−19．【分析】（1）根据题意，建立关于x 0，y 0的方程组，解出即可；（2）由两点间的距离公式表示出f （x 0），再由二次函数的性质可得出t 的取值范围；（3）设出点M ，N 的坐标及直线PF 1，直线PF 2的方程，分别与椭圆方程联立，进而可得到直线MN 的斜率，再结合题意可得到x 0＝5y 0，代入椭圆方程即可得到答案．【解答】解：（1）由题意可知，B （0，1），|PB |＝|BF 1|，则√x 02+(y 0−1)2=√5，即x 02+(y 0−1)2=5，而点P （x 0，y 0）在椭圆x 25+y 2=1上，则x 025+y 02=1，联立{ x 02+(y 0−1)2=5x 025+y 02=1y 0＞0，解得y 0=√5−14， ∴点P 的纵坐标为y p =√5−14；（2）∵|PA|=√(x 0−t)2+y 02=√(x 0−t)2+1−x 025=√4x 025−2tx 0+t 2+1， ∴f(x 0)=√4x 025−2tx 0+t 2+1，x 0∈(−√5，√5)，其对称轴为x 0=5t 4，要使f （x 0）为增函数，只需5t 4≤−√5， ∴−√5≤t ≤−4√55；（3）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线PF 1的方程为x ＝my ﹣2，直线PF 2的方程为x＝ny +2，则m =x 0+2y 0，n =x 0−2y 0，由{x =my −2x 2+5y 2=5得（m 2+5）y 2﹣4my ﹣1＝0， ∴y 1=4m m 2+5−y 0=−y 04x 0+9，x 1=my 1−2=−9x 0−204x 0+9，同理，由{x =ny +2x 2+5y 2=5得（n 2+5）y 2+4ny ﹣1＝0， ∴y 2=y 04x 0−9，x 2=9x 0−204x 0−9， ∴k MN =y 04x 0−9+y 04x 0+99x 0−204x 0−9+9x 0+204x 0+9=x 0y 09x 02−45=−19， ∴5−x 02=x 0y 0，则5y 02=x 0y 0，又y 0＞0，∴x 0＝5y 0，代入椭圆方程得y 0=5√66，∴x 0=5√66，∴P(5√66，√66)．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查化简变形及运算求解能力，特别是对运算能力要求较高，属于较难题目．4．过椭圆W ：x 22+y 2＝1的左焦点F 作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A （0，1），另一条过F 的直线l 2交椭圆于C ，D 两点（不与A ，B 重合），且D 点不与点（0，﹣1）重合，过F 做x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G ．（Ⅰ）求椭圆W 的离心率和B 点坐标；（Ⅱ）求证：E ，G 两点关于x 轴对称．【分析】（I ）由题意可得直线 l 1 的方程为y ＝x +1．与椭圆方程联立方程组，即可求解B 点坐标；（II ）设 C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），l 2的方程为y ＝k （x +1），联立方程组，根据根与系数的关系，求得x 1+x 2=−4k 22k 2+1x 1x 2=2k 2−22k 2+1，进而得出E ，G 点的纵坐标，化简即可证得，得到证明．【解答】解：（I ）由椭圆的标准方程x 22+y 2=1，得a =√2，b ＝1，c ＝1，所以椭圆的离心率为e =c a =√22，由题意可得l 1的方程为y ＝x +1，与椭圆方程联立得{y =x +1x 22+y 2=1．，解得x ＝0或−43，当x =−43时，y =−13，所以B(−43，−13)．解：（2）当l 2斜率不存在时，C ，D 两点与E ，G 重合，因为椭圆W 关于x 轴对称，所以E ，G 两点关于x 轴对称；当l 2斜率存在时，设 C （x 1，y 1），（x 1≠−43），D （x 2，y 2），（x 2≠0），设l 2的方程为y ＝k （x +1）（k ≠1），y 1＝k （x 1+1），y 2＝k （x 2+1），A(0，1)，B(−43，−13)，所以直线BC 的方程为y +13=y 1+13x 1+43(x +43)，直线AD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，联立 {y +13=y 1+13x 1+43(x +43)x =−1，解得 y =y 1−x 1−13x 1+4=(k−1)(x 1+1)3x 1+4，所以G(−1，(k−1)(x 1+1)3x 1+4)， y =x 2−y 2+1x 2=(1−k)(x 2+1)x 2，所以E(−1，(1−k)(x 2+1)x 2)，所以y G +y E =(1−k)(x 1+1)3x 1+4+(1−k)(x 2+1)x 2=(1−k)[2x 1x 2+3(x 1+x 2)+4]3x 1x 2+4x 2，联立{x 22+y 2=1y =k(x +1)，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，因为Δ＝（4k2）2﹣4（2k2+1）（2k2﹣2）＝8k2+8＞0，所以x1+x2=−4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，所以y G+y E=(1−k)(2⋅2k2−22k2+1−3⋅4k22k2+1+4)3x1x2+4x2=0，所以y G＝﹣y E，综上所述：E，G两点关于x轴对称．【点评】本题考查椭圆的离心率，椭圆与直线的综合应用，属于难题．5．作斜率为﹣1的直线l与抛物线C：y2＝2px交于A，B两点（如图所示），点P（1，2）在抛物线C上且在直线l上方．（Ⅰ）求C的方程并证明：直线P A和PB的倾斜角互补；（Ⅱ）若直线P A的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，求△P AB的面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点P在抛物线上，求出p的值，即可得到抛物线的方程，联立直线与抛物线方程，求出b的取值范围，利用两点间斜率公式以及韦达定理化简k P A+k PB＝0，即可证明；（Ⅱ）先由倾斜角的范围确定直线P A斜率的范围，结合（Ⅰ）中的结论，进一步求解b 的取值范围，由弦长公式求出|AB|，点到直线的距离公式求出三角形的高，用b表示出三角形的面积，构造函数f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为点P（1，2）在抛物线C上，所以22＝2p×1，解得p＝2，因此抛物线C的方程为y2＝4x，设直线l的方程为y＝﹣x+b，因为直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P（1，2）在直线l的上方，所以设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且1+2﹣b ＞0，即b ＜3，由{y =−x +b y 2=4x，可得x 2﹣（2b +4）x +b 2＝0，而由Δ＝[﹣（2b +4）]2﹣4b 2＝16（b +1）＞0，解得b ＞﹣1，因此﹣1＜b ＜3，且x 1+x 2＝2b +4，x 1x 2=b 2，所以k PA +k PB =y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=−x 1−2+b x 1−1+−x 2−2+b x 2−1=−(x 1−1)−3+b x 1−1+−(x 2−1)−3+b x 2−1=−2+(b −3)(1x 1−1+1x 2−1) =−2+(b −3)×x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−2+(b −3)×2b+2b 2−2b−3=−2+2(b+1)(b−3)(b+1)(b−3)=0(−1＜b ＜3)，即k P A +k PB ＝0，所以直线P A 和直线PB 的倾斜角互补；（Ⅱ）因为直线P A 的倾斜角为θ(π4＜θ＜π2)，所以k P A ＞1，又由（Ⅰ）可知，k P A +k PB ＝0，所以k PA k PB =−k PA 2＜−1，由（Ⅰ）可知，−(x 1−1)−3+b x 1−1⋅−(x 2−1)−3+b x 2−1＜−1，即x 1x 2+(2−b)(x 1+x 2)+(2−b)2x 1x 2−(x 1+x 2)+1＜−1，所以−4b+12b 2−2b−3＜−1，解得﹣1＜b ＜3，又因为|AB|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2×√b +1，而点P 到直线l 的距离为√2，所以△P AB 的面积S =4√22×√b +1×√2=2√(b +1)(3−b)2，设f （x ）＝（x +1）（3﹣x ）2，x ∈（﹣1，3），则f '（x ）＝3x 2﹣10x +3＝（3x ﹣1）（x ﹣3），当x ∈(−1，13)时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈(13，3)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，故当x =13时，f （x ）取得最大值为f(13)=25627，所以△P AB的面积的最大值为2√f(13)=32√39．【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解、直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜率公式的应用，弦长公式以及点到直线距离公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。

新课标Ⅰ高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析理

——教学资料参考参考范本——新课标Ⅰ高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析理______年______月______日____________________部门一．基础题组1. 【20xx 课标Ⅰ，理4】已知为双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（）F C )0(322>=-m m my x F C A. B. 3 C. D. 3m 3m 3 【答案】A2. 【20xx 课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C ：(a ＞0，b ＞0)的离心率为，则C 的渐近线方程为( )．2222=1x y a b -52A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝±x 14x ±13x ±12x ± 【答案】C【解析】∵，∴.∴a2＝4b2，.∴渐近线方程为.52c e a ==22222254c a b e a a +===1=2ba±12b y x x a =±± 3. 【20xx 全国，理4】设F1，F2是椭圆E ：(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )22221x y a b +=32a x =A ．B ．C ．D ．12233445【答案】C【解析】设直线与x 轴交于点M ，则∠PF2M ＝60°，在Rt △PF2M 中，PF2＝F1F2＝2c ，，32a x =232a F M c =- 故，解得，故离心率．22312cos6022a cF M PF c -︒===34c a =34e = 4. 【20xx 全国新课标，理7】设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A ． B ．C ． 2D ． 323【答案】B 【解析】5. 【20xx 全国卷Ⅰ，理4】设双曲线(a ＞0,b ＞0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）12222=-by a xA. B.2 C. D.356 【答案】C又c2=a2+b2,∴c2=a2+4a2=5a2. ∴.5=ac6. 【20xx 全国，理3】双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）（A ）（B ）-4 （C ）4 （D ）41-41【答案】A 【解析】7. 【20xx 全国1，理5】已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）)0(1222>=-a y ax x y 62-=A ．B ．C ．D ．232326332【答案】D 【解析】8. 【20xx 全国1，理14】已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．21y ax =- 【答案】2【解析】由抛物线的焦点坐标为为坐标原点得，，则21y ax =-1(0,1)4a-14a =2114y x =- 与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为.(0,1),(2,0),(2,0)--14122⨯⨯=9. 【20xx 课标Ⅰ，理20】(本小题满分12分）已知点A,椭圆E:的离心率为；F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点(0,2)22221(0)x y a b a b +=>>32233（I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线与E 相交于P,Q 两点。

三年高考高考数学试题分项版解析专题09 圆锥曲线(大

三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析第九章圆锥曲线1. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（I ）2（II ）没有【解答】试题分析：先确定),(2t p t N ,ON 的方程为x t p y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,得)2,2(2t p t H ,由此可得N 为OH 的中点,即2||||=ON OH .（II ）把直线MH 的方程x tpt y 2=-,与px y 22=联立得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.试题解析：（Ⅰ）由已知得),0(t M ,),2(2t pt P . 又N 为M 关于点P 的对称点,故),(2t p t N ,ON 的方程为x t p y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得01=x ,p t x 222=,因此)2,2(2t pt H . 所以N 为OH 的中点,即2||||=ON OH . （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下：直线MH 的方程为x tp t y 2=-,即)(2t y p tx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.2. 【2014高考北京文第19题】（本小题满分14分）已知椭圆C ：2224x y +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为原点，若点A 在直线2y =，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值.【答案】（1）2；（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆C 的方程可以求椭圆C 的离心率（2）设椭圆C 的椭圆方程，结合OA OB ⊥，得出结果..试题解析：（（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=，所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=，因此2,a c ==，故椭圆C 的离心率c e a ==.考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.3. 【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C:2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【答案】（I 6（II ）1；（III ）直线BM 与直线D E 平行. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用ce a=计算离心率；（II ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（III ）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c =所以椭圆C的离心率c e a ==. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=-. 因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=-- 0=，所以1BM DE k k ==. 所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位置关系，属于中档题．解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率，直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系，即椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率ce a=，过()111,x y P ，()222,x y P 的直线斜率2121y y k x x -=-（12x x ≠），若两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则12//l l ⇔12k k =且12b b ≠．4.【2014高考广东卷.文.20】(本小题满分14分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为),(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.【答案】(1)22194x y +=；(2)2213x y +=. 【解析】(1)由题意知33a a =⇒=,==,解得2b =,因此椭圆C 的标准方程为22194x y +=； (2)①设从点P 所引的直线的方程为()00y y k x x -=-,即()00y kx y kx =+-, 当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时,分别设为1k .2k ,则121k k =-, 将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程并化简得()()()222000094189360kx k y kx x y kx ++-+--=,()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⨯+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 化简得()2200940y kx k ---=,即()()22200009240x k kx y y --+-=,则1k .2k 是关于k 的一元二次方程()()22200009240x k kx y y --+-=的两根,则201220419y k k x -==--,化简得220013x y +=；②当从点P 所引的两条切线均与坐标轴垂直,则P 的坐标为()3,2±±,此时点P 也在圆2213x y +=上.综上所述,点P 的轨迹方程为2213x y +=.【考点定位】本题以椭圆为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程,将直线与二次曲线的公共点的个数利用∆的符号来进行转化,计算量较大,从中也涉及了方程思想的灵活应用,属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系和动点的轨迹方程，属于难题．解题时一定要注意关键条件“两条切线相互垂直”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质，即椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222a b c =+，离心率ce a=． 5. 【2016高考新课标2文数】已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当AM AN =2k <<.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k . 试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π，又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=，解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题中22233k tk k t=++，分离变量t ，得()332132k k t k -=>-，解不等式，即求得实数k 的取值范围.6.【 2014湖南文20】如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r？证明你的结论.【答案】(1) 22221,1332y y x x -=+= (2)不存在【解析】试题分析:(1)利用正方形面积为2,即可得到对角线的长为2,则可得1C 的两个顶点和2C 的两个焦点的坐标,求的12,c a 的值,再结合点P 在双曲线上,代入双曲线结合,,a b c 之间的关系即可求的1b 的值,得到双曲线的方程,椭圆的焦点坐标已知,点P 在椭圆上,利用椭圆的定义2a 即为P 到两焦点的距离之和,求出距离即可得到2a 的值,利用,,a b c 之间的关系即可求出2b 的值,得到椭圆的标准方程.(2)分以下两种情况讨论,当直线l 的斜率不存在时,直线l 与2C 只有一个公共点,即直线经过2C 的顶点,得到直线l 的方程,代入双曲线求的,A B 点的坐标验证是否符合等式||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r,当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程为y kx m =+,联立直线l 与双曲线消元得到二次方程,再利用根与系数之间的关系得到关于,A B 两点横纵坐标之和的表达式,利用,k m 出OA OB u u u r u u u rg,再立直线l 与椭圆的方程0∆=即可得到,k m 直线的关系,可得到内积OA OB u u u r u u u rg不可能等于0,进而得到222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++≠+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ,即OA OB AB +≠u u u r u u u r u u u r,即不存在这样的直线.试题解析:的焦距为22c ,由题可得2122,22c a ==,从而121,1a c ==,因为点23P ⎫⎪⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上,所以2212132133b b ⎛⎫-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭,由椭圆的定义可得 ()()222222323211112333a ⎛⎫⎛⎫=+-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23a ⇒于是根据椭圆,,a b c之间的关系可得2222222b a c =-=,所以12,C C 的方程为22221,1332y y x x -=+=. ②当直线l 不垂直于x 轴时,即直线l 的斜率存在且设直线l 的方程为y kx m =+,联立直线与双曲线方程2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k x kmx m ----=,当l 与1C 相交于,A B 两点时,设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 满足方程()2223230k x kmx m ----=,由根与系数的关系可得212122223,33km m x x x x k k ++==--,于是()22221212122333k m y y k x x km x x m k -=+++=-,联立直线l 与椭圆22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得 ()222234260kx kmx m +++-=,因为直线l 与椭圆只有一个交点,所以()()222201682330k m k m ∆=⇒-+-=,化简可得2223k m =-,因此2222121222233330333m k m k OA OB x x y y k k k +---=+=+=≠---u u u r u u u r g , 于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++≠+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r gg ,即22OA OB OA OB +≠-u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以OA OB AB +≠u u u r u u u r u u u r,综上不存在符合题目条件的直线l . 【考点定位】椭圆双曲线向量向量内积【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题；解决直线与圆锥曲线问题的通法:(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程；(3)应用韦达定理及判别式；(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解；(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式：||AB =或1212|| |.AB x x y y =-==- 7. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．【解析】试题分析：（Ⅰ）设出与x 轴垂直的两条直线，然后得出,,,,A B P Q R 的坐标，然后通过证明直线AR 与直线FQ 的斜率相等即可证明结果了；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点坐标1(,0)D x ，利用面积可求得1x ，设出AB 的中点(,)E x y ，根据AB 与x 轴是否垂直分两种情况结合AB DE k k =求解．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ P . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．8. 【2015高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC u u u r 与BD u u u r同向.（I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.【答案】（I ）22198y x += ；(II) 6±.试题解析：（I ）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以221a b -= ①；又1C 与2C 的公共弦长为6，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为21:4C x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3(6,)2，229614a b ∴+= ②，联立①②得229,8a b ==，故2C 的方程为22198y x +=。

高考数学分项汇编专题09 圆锥曲线(含解析)理

专题09 圆锥曲线一．基础题组1. 【2014上海,理3】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.【考点】椭圆与抛物线的几何性质.2. 【2013上海,理9】设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠CBA ＝4π.若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为______．【答案】4633. 【2011上海,理3】设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线22=19y x m -的一个焦点，则m ＝______. 【答案】164. 【2010上海,理3】若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________；【答案】x y 82=【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题.5. 【2010上海,理13】如图所示，直线2=x 与双曲线Γ：1422=-y x 的渐近线交于1E ，2E 两点，记11OE e =u u u u r u r ，22OE e =u u u u r u u r .任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+u u u r r u u r（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是；【答案】41ab =【点评】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.6. (2009上海,理9)已知F 1、F 2是椭圆C:12222=+by a x (a ＞b ＞0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且21PF PF ⊥.若△PF 1F 2的面积为9,则b=______________.【答案】37. (2009上海,理14)将函数2642--+=x x y (x∈［0,6］)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线 C.若对于每一个旋转角θ,曲线C 都是一个函数的图像,则α的最大值为_____________.【答案】32arctan8. 【2007上海,理8】已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____9. 【2006上海,理7】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．【答案】141622=+y x10. 【2005上海,理5】若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.【答案】1922=-y x11. 【2005上海,理15】过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】B二．能力题组1. 【2013上海,理22】如图，已知双曲线C 1：22x －y 2＝1，曲线C 2：|y |＝|x |＋1.P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与C 1、C 2都有公共点，则称P 为“C 1C 2型点”．(1)在正确证明C 1的左焦点是“C 1C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y ＝kx 与C 2有公共点，求证|k |＞1，进而证明原点不是“C 1C 2型点”； (3)求证：圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”．【答案】(1) x ＝3-或y ＝(3)k x +，其中|k |≥3. (2) 参考解析;(3)参考解析2. 【2012上海,理22】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．【答案】(1)28;(2)参考解析; (3)参考解析3. 【2010上海,理23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆Γ的方程为22221x y a b+=（0a b >>），点P 的坐标为（b a ,-）.（1）若直角坐标平面上的点M 、(0,)A b -，(,0)B a 满足1()2PM PA PB =+u u u u r u u u r u u u r，求点M 的坐标；（2）设直线1l ：1y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线2l ：2y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）对于椭圆Γ上的点(cos ,sin )Q a b θθ（0θπ<<），如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=u u u r u u u r u u u r，写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围.【答案】（1）)2,2(b aM -;（2）参考解析;（3）2(0,arcsin44π+【点评】今年以解析几何为压轴题，意图与全国大多数考区的试卷接轨.本题是具有一定深度的探究题，然而从研究问题的一般方法入手，可以从具体到一般地层层深入，即可获得各小题的部分分值是我们对不少考生的期望．4. 【2008上海,理18】(6’+9’)已知双曲线22: 14xC y-=，P为C上的任意点。

2020高考数学分项汇编专项09圆锥曲线(含解析)理

得 OQM ONQ ？假设存在，求点 Q 的坐标；假设不存在，说明理由．
x2
【答案】 (1)
y2
m
1, M(
,0) ,(2) 存在点 Q（0， 2）
2
1n
考点： 1. 求椭圆方程； 2. 求直线方程及与坐标轴的交点； 3. 存在性问题 .
椭圆上，假设 | PF1 | 4 ，那么 | PF2 | _________； F1PF2 的小大为 __________.
【答案】 2, 120
考点：圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理
.
4. 【 2018 高考北京理第 13 题】双曲线 x 2 a2
y2 b2
x2 1 的离心率为 2，焦点与椭圆
16. 【 2019 高考北京理第 19 题】〔本小题总分值 14〕
椭圆 C ： x2 2 y2 4 . 〔 1〕求椭圆 C 的离心率；〔 2〕设 O 为原点，假设点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y 2 上，且 OA OB ，试判断直线 AB 与圆 x2 y 2 2 的位置关系，并证明你的结论 .
14. 【 2019 高考北京理第 19 题】〔本小题共 14 分〕
曲线 C : 5 m x2 m 2 y2 8 m R . 〔 1〕假设曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围；〔 2〕设 m 4 ，曲线 C 与 y 轴的交点为 A ， B 〔点 A 位于点 B 的上方〕，直线 y kx 4 与曲线 C 交于不同的两点 M ， N ，直线 y 1与直线 BM 交于点 G ，求证： A ， G ， N
10. 【 2018 高考北京理第 19 题】〔本小题共 14 分〕
菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2 3y2 4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1．〔Ⅰ〕当直线 BD 过点 (0，1) 时，求直线 AC 的方程；〔Ⅱ〕当 ABC 60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值．

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第九章圆锥曲线
一．基础题组
1. 【2017高考上海，6】设双曲线
()2
2109x y b b
2-=> 的焦点为12,F F ，P 为该双曲线上的一点.若15PF = ,则2PF = . 【答案】11.
2. 【2014上海,理3】若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆15
92
2=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.
【解析】椭圆22195x y +=的右焦点为(2,0)，因此22
p
=，4p =，准线方程为2x =-. 【考点】椭圆与抛物线的几何性质.
3. 【2013上海,理9】设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠CBA ＝4
π
.若AB ＝4，BC
，则Γ的两个焦点之间的距离为______．
【答案】
3
【解析】 (如图)不妨设椭圆Γ的标准方程为2224x y b +＝1，于是可算得C (1,1)，得b 2
＝43
，
2c ＝
3
.
4. 【2013上海,文18】记椭圆22
441
x ny n ++＝1围成的区域(含边界)为Ωn (n ＝1，2，…)，当点(x ，y )分别在Ω1，Ω2，…上时，x ＋y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则l im n n M →∞
＝( )
A ．0
B ．
1
4
` C ．2
D ．【答案】D
5. 【2011上海,理3】设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线
22
=19
y x m -的一个焦点，则m ＝______. 【答案】16 【解析】
6. 【2010上海,理3】若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________；【答案】x y 82
=
【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为
x y 82=.
【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题
7. 【2010上海,理13】如图所示，直线2=x 与双曲线Γ：14
22
=-y x 的渐近线交于1E ，
2E 两点，记
11OE e =，22OE e =.任取双曲线Γ上的点P ，若12
O P a e b e
=+（a 、b R ∈），则a 、b
满足的一个等式是；【答案】41ab =
【解析】设00(,)P x y ，易知1(2,1)e =，2(2,1)e =-，由12
O P a e b e =+
，得
00(,)(2,1)(2,1)x y a b =+-，即00(,)(22,)x y a b a b =+-，∴022x a b =+，0y a b =-，
代入14
22
=-y x 整理得41ab =，故答案为：41ab =. 【点评】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.
8. 【2010上海,文13】在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标
为0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP ＝ae 1＋be 2(a 、b ∈R)，则a 、b 满足的一个等式是________．【答案】4ab ＝1
【解析】由题意知，双曲线两条渐近线的斜率分别为±12，可得双曲线方程为24x －y 2
＝λ，
即：2
4x λ
－2y λ＝1.
又∵双曲线的一个焦点坐标为0)，∴4λ＋λ＝5，解得λ＝1.
∴双曲线的方程为24
x －y 2
＝1.
而OP ＝ae 1＋be 2＝(2a ，a )＋(2b ，－b )＝(2a ＋2b ，a －b )，又∵P 在双曲线上，
∴2(22)4
a b +－(a －b )2＝1.整理得4ab ＝1.。