2018版高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性学业分层测评 新人教A版必修1

1.3.2 奇偶性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f (x )＝1
x
－x 的图象关于( )
A ．y 轴对称
B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
【解析】 ∵f (－x )＝－1x ＋x ＝－f (x )，∴f (x )＝1
x
－x 是奇函数，∴f (x )的图象关于
原点对称，故选C.
【答案】 C
2．设函数f (x )，g(x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
【解析】 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴|f (x )|为偶函数，|g (x )|为偶函数． 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f (x )|g (x )|为奇函数，故选C.
【答案】 C
3．已知f (x )是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f (－0.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( )
A ．f (－0.5)＜f (0)＜f (1)
B ．f (－1)＜f (－0.5)＜f (0)
C ．f (0)＜f (－0.5)＜f (－1)
D ．f (－1)＜f (0)＜f (－0.5)
【解析】 ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)．又∵f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，∴f (0)＜f (0.5)＜f (1)，即f (0)＜f (－0.5)＜f (－1)，故选C.
【答案】 C
4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图1­3­6，下列说法正确的是( )
图1­3­6
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
【解析】根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.
故选C.
【答案】 C
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于( )
A．0.5 B．－0.5
C．1.5 D．－1.5
【解析】由f(x＋2)＝－f(x)，则f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
【答案】 B
二、填空题
6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
【解析】∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝f(－x)＝－x＋1，
即x＜0时，f(x)＝－x＋1.
【答案】 －x ＋1
7．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f (2)＝0，则使得
f (x )＜0的x 的取值范围是________．
【解析】 ∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (2)＝0，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－2)＝f (2)＝0，∴当x ＞2或x ＜－2时，f (x )＜0，如图，即f (x )＜0的解为x ＞2或x ＜－2，即不等式的解集为{x |x ＞2，或x ＜－2}．
【答案】 {x |x ＞2，或x ＜－2}
8．已知函数y ＝f (x )是奇函数，若g(x )＝f (x )＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________. 【解析】 由g (1)＝1，且g (x )＝f (x )＋2， ∴f (1)＝g (1)－2＝－1，
又y ＝f (x )是奇函数．∴f (－1)＝－f (1)＝1， 从而g (－1)＝f (－1)＋2＝3. 【答案】 3 三、解答题
9．已知函数f (x )＝x ＋m
x
，且f (1)＝3. (1)求m 的值；
(2)判断函数f (x )的奇偶性．
【解】 (1)由题意知，f (1)＝1＋m ＝3， ∴m＝2.
(2)由(1)知，f (x )＝x ＋2
x
，x ≠0.
∵f (－x )＝(－x )＋2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．
10．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m)<f (m)，求实数m 的取值范围．
【解】 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，∴不等式f (1－m )<f (m )等价于
f (|1－m |)<f (|m |)．
又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，
解得－1≤m <1
2
.
故实数m 的取值范围为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. [能力提升]
1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2
－12x ，则f (1)＝( )
A ．－3
2
B ．－1
2
C.3
2
D.12
【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－3
2.
【答案】 A
2．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x 2
＋3x ＋1，则f (x )＝( )
A ．x 2
B ．2x 2
C ．2x 2＋2
D ．x 2
＋1
【解析】 因为f (x )＋g (x )＝x 2
＋3x ＋1，① 所以f (－x )＋g (－x )＝x 2
－3x ＋1. 又f (x )为偶函数，f (－x )＝f (x )；
g (x )为奇函数，g (－x )＝－g (x )，
所以f (x )－g (x )＝x 2
－3x ＋1.② 联立①②可得f (x )＝x 2＋1. 【答案】 D
3．定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf (x )＞0的解集为( )
A .⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x <－12或x >
12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
0<x <12或－12<x <0
C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
0<x <12或x <－
1
2
D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－12
<x <0或x >
12 【解析】 ∵函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝0，
且在区间(－∞，0)上单调递减．
∵当－12＜x ＜0时，f (x )＜0，此时xf (x )＞0，当0＜x ＜1
2
时，f (x )＞0，此时xf (x )＞0，
综上，xf (x )＞0的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
0<x <12或－12<x <0
. 【答案】 B
4．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．当x ＞0时，f (x )＞0. (1)求证：f (x )是奇函数；
(2)若f (1)＝1
2，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．
【解】 (1)证明：令x ＝0，y ＝0，则f (0)＝2f (0)， ∴f (0)＝0.令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )， ∴f (x )＝－f (－x )，即f (x )为奇函数． (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2. ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)． ∵当x ＞0时，f (x )＞0，且x 1＜x 2，
∴f (x 2－x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )为增函数，
∴当x ＝－2时，函数有最小值，f (x )min ＝f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝－1. 当x ＝6时，函数有最大值，f (x )m ax ＝f (6)＝6f (1)＝3.
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