2022-2023学年广东省广州市天河区高三一模数学试题+答案解析(附后)

2022-2023学年广东省广州市天河区高三一模数学试题
1. 设集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则实数m的值是( )
A. B. C. 1 D. 4
4. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是( )
A. B. C. D.
5. 已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 若数列满足，则的前2022项和为( )
A. B. C. D.
7. 已知一个圆台的母线长5，且它的内切球的表面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
8. 设，，，则( )
A. B. C. D.
9. 下列命题中，正确的命题有( )
A. 已知随机变量X服从正态分布且，则
B. 设随机变量，则
C. 在抛骰子试验中，事件，事件，则
D. 在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好
10. 已知函数，则下列选项正确的有( )
A. 函数极小值为1
B. 函数在上单调递增
C. 当时，函数的最大值为
D. 当时，方程恰有3个不等实根
11. 已知点，，且点P在圆C：上，C为圆心，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为
B.
以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：
C.
当最大时，的面积为
D. 的面积的最大值为
12. 如图，长方体中，，
，，点M是侧面上的一个动点含边界
，P是棱的中点，则下列结论正确的是( )
A. 当PM长度最小时，三棱锥的体积为
B. 当PM长度最大时，三棱锥的体积为
C. 若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为
D. 若M在平面内运动，且，则点M的轨迹为圆弧
13. 展开式中的系数为__________.
14. 若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为__________.
15. 写出一个周期为，且在区间上单调递减的函数解析式__________.
16. 设双曲线C：的左右焦点分别为，，过的直线分别
交双曲线左、右两支于点M，若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为__________.
17. 已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项．
求数列的通项公式：
保持数列中各项先后顺序不变，在与…之间插入，使它们和原
数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．
18. 在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足
求A；
若，，AD是的中线，求AD的长．
19. 某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
甲校乙校
使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业
基本掌握32285030
没有掌握8141226
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立．
从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2
名学生中使用“AI作业”的人数，求学生的分布列和数学期望；
用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI 作业”的学生，用“”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，
用“”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该名不使用“AI
作业”的学生没有掌握“向量数量积”．比较方差和的大小关系．
20. 如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，平面ABCD，
，
证明：平面平面EFC；
在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为，求点M到平面BCF
的距离．
21. 已知椭圆C：，直线l：与椭圆C交于M，N两点，
且点M位于第一象限．
若点A是椭圆C的右顶点，当时，证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；
当直线l过椭圆C的右焦点F时，x轴上是否存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22. 已知函数，
若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
若函数恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，交集及其运算，属于容易题．
先求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：，，
故选
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的除法运算，以及共轭复数和复数的分类，属于基础题．根据已知条件，先对z化简，再结合共轭复数和虚部的定义，即可求解．【解答】
解：，
，其虚部为
故选
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量共线的坐标运算，属基础题．
由平面向量共线的坐标运算求解即可．
【解答】
解：已知向量，，
又，
则，
即，
故选
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．
【解答】
解：由题意可得，从该地市场上买到一个合格产品的概率是
故选
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的恒等变换，正弦型函数的性质，以及三角函数的图象变换，属于中档题．首先利用三角函数的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，再平移变换得到，进一步利用函数的对称性求出结果．
【解答】
解：函数，
把函数的图象向左平移个单位长度后得到：的图象，
由于函数的图象关于y轴对称，
故：，
即：，
所以：，，
解得：，，
当时，可得的最小值为
故选
6.【答案】D
【解析】
本题考查裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．
直接利用数列的通项公式和裂项相消法在求和中的应用求出结果．
【解答】
解：数列满足，
则数列的前2022项和为：
故选
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查圆台的内切球问题，球的表面积，圆台的体积，是较易题．
先由圆台的内切球的表面积可得球的半径为2，再作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆的半
径分别为x，y，，再根据题意建立方程组，解方程组后代入台体的体积公式计算即可得解．
【解答】
解：由圆台的内切球的表面积为，可得球的半径为2，
如图作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆的半径分别为x，，
则根据题意及右图可知，
解得，又圆台高为4，
该圆台的体积为
故选
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用导数比较大小，属于中档题．
根据题意，构造函数，利用导数可得在上单调递减，从而可解．
解：根据题意，构造函数，
则，
令，
又，
则在上单调递减，
故当时，，
即得时，，则在上单调递减，
所以，
即，
则有，
故，
故，
故选
9.【答案】BD
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的性质，二项分布的数字特征，条件概率的计算公式，以及相关指数的含义，属于基础题．
选项A，由正态分布的对称性，可得解；
选项B，根据二项分布的方差的性质，得解；
选项C，分别计算和的值，再由条件概率的计算公式，得解；
选项D，根据相关指数的概念与性质，可判断．
【解答】
解：选项A，，即A
错误；
选项B，，即B正确；
选项C，由题意知，，所以，
而，所以，即C错误；
选项D，由相关指数的概念与性质，可知D正确．
故选
10.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点，属于中档题．
求导得，分析的符号，进而可得的单调性和极值，逐项判断，即可得出答案．
【解答】
解：，定义域为R，
，
所以在和上，，单调递增，
在上，，单调递减，
对于A：函数，故A正确；
对于B：函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C：由上可知函数在，上单调递增，在上单调递减.又
，，，，
所以函数在上的最大值为，故C正确；
对于D：因为，，
再结合函数的单调性可得，当时，方程有3个不等的实根，故D错误.
故选
11.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查点到圆上点的最值问题，圆中的三角形的面积问题，以及两圆的公共弦，属中档题．
由题意画出图形，可得的最大值为，从而判断A；写出以AC为直径的圆的方
程，与已知圆的方程联立求解公共弦的方程判断B；数形结合求出当最大时的面
积判断C；数形结合求得的面积的最大值判断
【解答】
解：如图所示，
当P为射线BC与圆C的交点时，取得最大值，故A正确；
圆C：，则圆心C为，
AC的中点为，，则以AC为直径的圆的方程为，
与联立消去二次项，可得公共弦所在的直线方程为：，故B正确；
当AP与圆C相切以P与O重合为例时，最大，此时，故C
错误；
当P为与线段AB垂直的圆的直径的端点时，的面积有最大值为，故D
正确．
故选
12.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查棱锥的体积，与圆有关的轨迹问题，以及运用向量数量积的坐标运算求向量的夹角，属于较难题．
当M为中点时，PM长度最小，求得三棱锥的体积判断选项A；PM长度最大时点P有两个点可判断B；先判断出点M在侧面内运动的轨迹，再去求得其长度判断选项C；建立空间直角坐标系求得点M的轨迹方程判断选项
【解答】
解：选项A：当M为中点时，PM长度最小，最小长度为2，
此时点P到平面BDM的距离即为C到平面BDM的距离，即是点C到BD的距离，即为
，
，故A正确；
选项B：当PM最长时，点M可在A或点处，此时三棱锥的体积明显不一样，故体积有两个值，故B错误；
选项C：取中点E，连接PE，ME，PM，
由于，则平面，又，则
，则，
则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为1的半圆，
所以点M在侧面内运动路径的长度为故C正确；
选项D：以D为原点，分别以DA、DC、为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
设，，，
则，，，
，
，
又，
则，即，
整理得，则点M的轨迹不为圆弧．故D错误．
故选
13.【答案】48
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理中指定项的系数，属于中档题．
将多项式展开，结合二项式展开式的通项即可求解．
【解答】
解：因为，
展开式的通项为，
则展开式中的系数为，
展开式中的系数即为展开式中x的系数，即，
所以的展开式中的系数为，
故答案为：
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了点到直线距离公式，是中档题．
求出原函数的导函数，利用导函数值为2求得切点横坐标，进一步求得切点纵坐标，再由点到直线的距离公式求解．
【解答】
解：由，得，由，可得，
把代入，得
与平行的直线切曲线于，
可得点P到直线的距离为
所以曲线上一点P到直线的最小距离为
故答案为：
15.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
直接根据函数的周期和单调性即可求解．
【解答】
解：设，
，所以，
令注：函数图像最高点，
得，，，
所以这个函数可以为
故答案为：答案不唯一.
16.【答案】
【解析】
【分析】
考查双曲线的简单几何性质，属于中档题．
由MN为直径的圆经过点则可得：，且，所以为等腰直角
三角形，设，则，可以求出其他线段的长度，在三角形中由余弦定理求出a，c 的关系，进而求出双曲线的离心率．
【解答】
解：由MN为直径的圆经过点则可得：，且，所以为等腰
直角三角形，所以如图所示；
设，则，由双曲线的定义可得：
，
所以，解得，
所以，
在，由余弦定理可得：
，
即，
可得，所以离心率为；
故答案为：
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
由是和的等比中项，得，即，
解得
；
保持数列中各项先后顺序不变，在与…之间插入，
则新数列的前20项为：
1，，2，，3，，4，，5，，6，，7，，8，，9，，10，
则
【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和，以及分组法求和，是较易题．
设等差数列的公差为，由题意列关于d的方程，求解d，再由等差数列的通项公式求解；
由题意得新数列的前20项，分组后由等差数列与等比数列的前n项和公式求解．18.【答案】解：，，
，
由正弦定理可得，，
，
，
，
又，，
，
，
，即
，
，
，
，解得，
由余弦定理可得，，解得，
是的中线，
，
，
所以AD的长为
【解析】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及利用向量的数量积求向量的模，属于中档题．
根据已知条件，结合三角形的性质，以及正弦定理，可得，再结合A的取值范围，即可求解；
结合平面向量的数量积公式，以及余弦定理，求得，，再结合
，即可求解．
19.【答案】解：依题意，的可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以的分布列为：
012
P
故
由题意，易知X服从二项分布，，
Y服从二项分布，，故
【解析】本题考查超几何分布的概率计算及分布列、均值，以及二项分布的方差，是中档题．根据超几何分布列分布列，求解期望；由二项分布的方差公式求解．
20.【答案】解：证明：取EC的中点G，连接BD交AC于N，连接GN，GF，
因为ABCD是菱形，所以，且N是AC的中点，
所以且，又，，
所以且，所以四边形BNGF是平行四边形，
所以，
因为平面ABCD，，所以，
又因为，，
所以平面EAC，所以平面EAC，又平面EFC，
所以平面平面EAC；
由得平面EAC，平面EAC，
，又，
平面MBD与平面ABCD的夹角为，
又，，，，
，又，，，
到平面BCF的距离为E到平面BCF的距离的四分之一，
，
平面BCF，
到平面BCF的距离等于A到平面BCF的距离，
，
，
又，
所以平面底面ABCD，过A作，垂足点为H，
又，，
所以平面BCF，又，
到平面BCF的距离为，
到平面BCF的距离为
【解析】本题考查了线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，二面角的定义，面面垂直的性质定理，点面的距离，属中档题．
取EC的中点G，连接BD交AC于N，连接GN，GF，证明，利用面EAC，证明面EAC，从而面面EAC；
根据题意即证平面MBD与平面ABCD的夹角为，从而得，从而
得M到平面BCF的距离为E到平面BCF的距离的四分之一，又易知平面BCF，从而得E
到平面BCF的距离等于A到平面BCF的距离，即可解决.
21.【答案】解：证明：设，则，
，，，
在椭圆上，，
，
所以直线AM和AN的斜率之积为定值．
由椭圆C：，可得右焦点F坐标，
设过右焦点的直线l的方程为，，，，
由，得，
由韦达定理可得：，，
设x轴上存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等，
则x轴是的平分线，即，
，即，
，
，
化简可得，该式对任意的恒成立，所以
所以存在定点，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等.
【解析】本题主要考查椭圆中的定值、定点问题，直线与椭圆的位置关系，是较难题．首先写出直线的斜率表达式，然后结合点在椭圆上即可证得题中的结论；
设过右焦点的直线l的方程为，，，则，组成方程组
得，，
由题意可得x轴是的平分线，即，化简可得定点P的坐标.
22.【答案】解：当时，在上无零点．
当时，
函数只有一个零点与函数有且仅有一个交
点.
，
当时，；当时，
函数在上单调递增，在上单调递
减．
当时，取得极大值即最大值，
又，当x趋近于无穷大时，函数值趋近于零，画出图象，
当或时，解得，或，函数只有一个零点.
实数a的取值所构成的集合为
函数恒成立，
令，
，
对a分类讨论，
当时，，满足条件；
当时，，函数在上单调递增，
若，则，存在使得，不满足条件．
当时，令，存在，使得，即，
当时，；当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，
，解得
综上可得：实数a的取值范围为
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值，利用导数研究函数的零点，以及利用导数研究恒成立问题，属于较难题．
当时，在上无零点．当时，函数
只有一个零点与函数有且仅有一个交点．利用导数研究函数的单调性即可得出结论；
函数恒成立，令
，，，对a 分类讨论，研究函数的单调性与极值及其最值即可得出结论．。