高考数学总复习检测(四十六) 曲线与方程

课时跟踪检测（四十六） 曲线与方程

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2018·深圳调研)已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→

，则动点P 的轨迹方程为( )

A ．x 2＝4y

B ．y 2＝3x

C ．x 2＝2y

D ．y 2＝4x

解析：选A 设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． ∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，

∴(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y ， ∴动点P 的轨迹方程为x 2＝4y .

2．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( ) A ．双曲线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．圆的一部分

D ．直线的一部分

解析：选B x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．

3．(2018·奉化期末)已知△ABC 中，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2

－1上移动，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为( )

A ．y ＝x 2－1

B ．y ＝9x 2＋12x ＋3

C ．y ＝3x 2＋4x ＋1

D ．y ＝3x 2＋1

解析：选B 设△ABC 的重心G (x ，y )，C (x 1，y 1)，则有x ＝

－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 1

3

，所以有x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2，因为点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，所以有3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，化简得y ＝9x 2＋12x ＋3.

4．(2019·韶关模拟)设M 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的动点，直线l 过M 且与圆O 相切，若过A (－2,0)，B (2,0)两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点F 的轨迹方程是( )

A.x 29－y 2

5＝1(y ≠0)

B.x 25－y 2

9

＝1(y ≠0) C.x 29＋y 2

5

＝1(y ≠0) D.x 25＋y 2

9

＝1(y ≠0)

解析：选C 设A ，B 两点到直线l 的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＝2r ＝6，又A ，B 两点在抛物线上，由定义可知|AF |＋|BF |＝6＞|AB |，所以由椭圆定义可知，动点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为6，焦距为4的椭圆(不包括与x 轴的交点)．则a ＝3，c ＝2，b ＝5，故抛物线焦点F 的轨迹方程是x 29＋y 2

5

＝1(y ≠0)．

5．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→OP ―→

，

则点P 的轨迹方程为___________；该轨迹所围区域的面积为________．

解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝2x －4，

y 0

＝2y ，

代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.

该轨迹是以(2,0)为圆心，半径为1的圆，所以所围区域的面积为π. 答案：(x －2)2＋y 2＝1 π

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1．已知方程ax 2＋by 2＝1的曲线经过点(0,2)与(1，2)，则a ＋b 为( ) A.1

2

B.34

C.1

D.32

解析：选B 由题意得⎩

⎪⎨⎪

⎧

4b ＝1，a ＋2b ＝1.解得

⎩⎨⎧

a ＝12

，b ＝14，

∴a ＋b ＝3

4

，故选B.

2．(2018·嘉兴一中质检)若方程x 2＋

y 2

a

＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( ) A ．任意实数a ，方程表示椭圆 B ．存在实数a ，方程表示椭圆 C ．任意实数a ，方程表示双曲线 D ．存在实数a ，方程表示抛物线

解析：选B 当a ＞0且a ≠1时，方程表示椭圆，故选B.

3．(2018·江西金太阳联考)过点A (0,1)作直线与圆(x －2)2＋y 2＝1交于B ，C 两点，在线段BC 上取满足BP ∶PC ＝AB ∶AC 的动点P 的轨迹是一条直线l 的一部分，则轨迹的长度为( )

A.255

B.355

C.55

D.455

解析：选D 由题意知，过点A 的直线斜率存在且不为0.设过点A (0,1)的直线方程为y ＝kx ＋1，联立圆的方程整理得(1＋k 2)x 2＋(2k －4)x ＋4＝0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，P (x ，y )，则x 1＋x 2＝

4－2k 1＋k 2，x 1x 2

＝4

1＋k 2，由BP ∶PC ＝AB ∶AC ，得x －x 1x 2－x ＝x 1x 2，所以x ＝2x 1x 2x 1＋x 2

＝

4

2－k ，y ＝kx ＋1＝3k ＋22－k ，消去k ，得直线l 的方程为2x －y －3＝0，根据弦长公式得轨迹长为455

.

4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )

A.4x 221－4y 2

25＝1

B.4x 221＋4y 2

25

＝1 C.4x 225－4y 2

21

＝1 D.4x 225＋4y 2

21

＝1

解析：选D 因为M 为A Q 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|M Q |，

所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|M Q |＝|C Q |＝5，

故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝5

2，c ＝1，

则b 2＝a 2－c 2＝

214

， 所以椭圆的方程为4x 225＋4y 2

21

＝1.

5．(2019·临汾模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点M ，

N 是椭圆C 上关于长轴对称的两点，若直线AM 与BN 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是( )

A ．x ＝±a (y ≠0)

B ．y 2＝2b (|x |－a )(y ≠0)

C ．x 2＋y 2＝a 2＋b 2(y ≠0)

D.x 2a 2－y 2

b

2＝1(y ≠0)

解析：选D 由题意可知A (－a,0)，B (a,0)， 设M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，y 0≠0，P (x ，y )，y ≠0， 则直线PA 的斜率k ＝

y 0

x 0＋a

， 则直线PA 的方程为y ＝

y 0

x 0＋a

(x ＋a )，

①

同理，直线PB 的斜率k ＝y 0

a －x 0，

直线PB 的方程为y ＝y 0

a －x 0(x －a )，

②

①②相乘得

y 2＝

y 20

a 2－x 2

(x 2－a 2)， 由x 20a 2＋y 20b 2＝1，得y 2

0＝b 2a

2(a 2－x 20)，