求数列通项公式方法归纳(十种方法)

求数列通项公式方法归纳
一、公式法
【例1】 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得
1
13222n n
n n a a ++=
+，则113
222
n n n n
a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22
n n
a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31
()222
n n a n =-。

二、累加法
【例2】 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2
(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n
---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。

【例3】在数列{n a }中，
3
1=a ,)
1(11++
=+n n a a n n ，求通项公式n a .
解：原递推式可化为：1111+-
+
=+n n
a a n n
则
,
21
1
112-
+
=a a
312
123-
+
=a a 41
3
134-
+
=a a ，……，
n n a a n n 11
11-
-+
=-
逐项相加得：n
a a n 111-
+=. 故 n
a n 14-
=.
【例4】 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则 所以3 1.n n a n =+-
【例5】已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得11
1
213
3
3
3
n n n n
n a a +++=
+
+
，
则11
1
213
3
3
3
n n n n
n a a +++-
=
+
，故
112232112
2
3
2
1
11
1
2
2
1
2
2
()()()()3
33
33
3
3
3
21
2121
213()()()()3
3
333
333
3
2(1)1111
1(
)1
3
3
3
3
3
3
n n n n n n n n
n
n n n n n n
n n n
n
n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-
+-
+-
++-
+=+
++++++++-=
++
+
+
++
+
因此
1
1
(13)2(1)2113
13
3
13
3
2
23
n n
n n
n
a n n ---=
++=
+
-
-⨯，
则21133.3
2
2
n
n
n a n =
⨯⨯+
⨯-
【例6】在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .
()()
()2
12
32113231-=-+-=
-+++=n n n n a n
【小练】：已知
}
{n a 满足
1
1=a ，
)1(1
1+=
-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。

已知
}
{n a 的首项
1
1=a ，
n
a a n n 21+=+（*
N n ∈）求通项公式。

已知
}
{n a 中，
3
1=a ，
n
n n a a 2
1+=+，求n
a 。

三 、累乘法类型 n n a n f a )(1=+型
【例7】 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则
12(1)5n
n n
a n a +=+，故
1
321
12
2
1
1
2
21
1
(1)(2)21
(1)
1
2
[2(11)5][2(21)5
][2(21)5][2(11)5]32
[(1)32]5
3
325
!
n
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
⋅⋅⋅⋅
⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯
所以数列{}n a 的通项公式为(1)
1
2
32
5
!.n n n n a n --=⨯⨯⨯
【例8】已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+ ②
用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥
故11(2)n n
a n n a +=+≥
所以1
322212
2
![(1)43].
2
n
n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
⋅
⋅⋅
⋅=-⋅⋅⨯=
③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知
11a =，则21a =，代入③得!13452
n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=。

所以，{}n a 的通项公式为!.2
n n a =
【例9】在数列{}n a 中，11=a ，
1
1+=
+n n a a n n ，求通项n a .
解：由条件等式
1
1
+=
+n n a a n
n 得，
n
n n n n a a a a a a n n n n
1
211211
22
11
=--⋅-=
⋅
⋅⋅
--- ，得
n a n 1=
.
练习：1、已知：
311=
a ，
1
1
212-+-=
n n a n n a （2≥n ）求数列}
{n a 的通项。

2、已知
}
{n a 中，
n
n a n n a 2
1+=
+且21=a 求数列通项公式。

四、待定系数法
)
1,0(1≠≠+=+c c d
ca a n n 型
【例10】 已知数列{}n a 满足112356n
n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1152(5)n n
n n a x a x +++⨯=+⨯
④
将1235n n n a a +=+⨯代入④式，得12355225n n n
n n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，等式两边消去
2n a ，得1
35525n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n
，得352,1,x x x +==-则代入④式得1
15
2(5)
n n
n n a a ++-=-
⑤
由1156510a -=-=≠及⑤式得50n
n a -≠，则
11525
n n n
n a a ++-=-，则数列{5}n
n a -是以
1
151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则1
52
n
n n a --=，故125n n
n a -=+。

【例11】 已知数列{}n a 满足1135241n
n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1123(2)n n
n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+
⑥
将13524n
n n a a +=+⨯+代入⑥式，得
1
35242
3(2)n n n
n n a x y a x y ++⨯++⨯+=+⨯+
整理得(52)24323n n x y x y +⨯++=⨯+。

令52343x x y y +=⎧⎨+=⎩，则52x y =⎧⎨=⎩，代入⑥式得
1
152
23(522)n n
n n a a +++⨯+=+⨯+
⑦
由11522112130a +⨯+=+=≠及⑦式，
得5220n
n a +⨯+≠，则
1152
2
3522
n n n
n a a +++⨯+=+⨯+，
故数列{522}n n a +⨯+是以1
152211213a +⨯+=+=为首项，以3为公比的等比数列，
因此1522133n n n a -+⨯+=⨯，则1133522n n
n a -=⨯-⨯-。

【例12】 已知数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设22
1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧
将2
12345n n a a n n +=+++代入⑧式，得
222
2345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则
22
2(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++
等式两边消去2n a ，得22
(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++， 解方程组3224252x x x y y x y z z +=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，则31018x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，代入⑧式，得
2
2
13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨
由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠及⑨式，得2310180n a n n +++≠
则
2
12
3(1)10(1)18
231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2
{31018}n a n n +++为以
2
1311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2
1
31018322
n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。

【例13】数列{}n a 满足2
1211
=-=+a a a n n ，，求
n
a .
解：设a x a x n n ++=+12()，即,21x a a n n +=+对照原递推式，便有x =
-1. 故由
,
121-=+n n a a 得
)
1(211-=-+n n a a ，即
21
11=--+n n a a ，得新数列
{}
1-n
a 是以
11211=-=-a 为首项，以2为公比的等比数列。

（n=1,2,3…），121-=-∴n n a ，即通项121
+=-n n a
【练习】：1、已知}
{n a 满足31=a ，1
21+=+n n a a 求通项公式。

2、已知
}
{n a 中，11=a ，231+=-n n a a （2≥n ）求n a 。

分析：构造辅助数列， )
1(311+=+-n n a a ，则
1
3-=n
n a
【同类变式】
1、已知数列}{n a 满足)
12(21-+=+n a a n n ，且21=a ，求通项
n
a
分析：（待定系数），构造数列}{b kn a n ++使其为等比数列， 即
)
(2)1(1b kn a b n k a n n ++=++++，解得1,2==b k
求得122
51
--⋅=-n a n n 2、已知：
1
1=a ，2≥n 时，
1
22
11-+=
-n a a n n ，求
}
{n a 的通项公式。

解：设
]
)1([2
11B n A a B An a n n +-+=++-
B
A An a a n n 2
12
12
12
11-
-
-
=
-
∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=-1
21
21
2
21B A A 解得：⎩⎨⎧=-=64B A ∴ 3641=+-a
∴
}
64{+-n a n 是以3为首项，21
为公比的等比数列
∴ 1)21(364-⋅=+-n n n a ∴ 6
423
1-+=-n a n n
∴
}
64{+-n a n 是以3为首项，21
为公比的等比数列
∴ 1)21(364-⋅=+-n n n a ∴ 6
423
1-+=-n a n n
【例14】 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n a S n n 22+=
（1） 写出数列的前3项
3
21,,a a a ；
（2） 求数列{}n a 的通项公式.
解：（1）由22111+==a S a ，得21-=a . 由422221+==+a S a a ,得62-=a , 由
321a a a ++6
233+==a S ,得
14
3-=a
(2)当2≥n 时,有()2211+-=-=--n n n n n a a S S a ,即2
21-=-n n a a ①
令
()
λλ+=+-12n n a a ,则
λ
+=-12n n a a ,与①比较得,2-=λ
{}
2-∴n a 是以
4
21-=-a 为首项,以2为公比的等比数列.
1
1
2
2
)4(2+--=⋅-=-∴n n n a ,故
2
2
1
+-=+n n a
【引申题目】 1、已知
}
{n a 中，
1
1=a ，
n
n n a a 2
21+=-（2≥n ）求n a
2、在数列{
n
a }中，
,
3
42,11
11-+⋅+=-=n n n a a a 求通项公式
n
a 。

解：原递推式可化为：
)
3
(231
1-+⋅+=⋅+n n n
n a a λλ ①
比较系数得λ=-4，①式即是：)
3
4(23
41
1-+⋅-=⋅-n n n
n a a .
则数列}
3
4{1
-⋅-n n a 是一个等比数列，其首项53
41
11-=⋅--a ，公比是2.
∴
1
1
2
53
4--⋅-=⋅-n n n a 即
1
1
2
53
4--⋅-⋅=n n n a .
3、已知数列
}
a {n 满足
n
n 1n 2
3a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1
n 2+，得23
2
a 2
a n
n 1n 1
n +
=++，则232
a 2a n
n 1
n 1
n =
-
++，
故数列}
2a {
n n
是以1
2
22
a 1
1
==
为首，以23
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
23
)
1n (12
a n
n -+=，所以数列}a {n 的通项公式为
n
n 2
)21n 23(
a -
=。

4、若数列的递推公式为11
11323()n n n a a a n ++=⎧⎪⎨=-⋅∈⎪⎩ ，则求这个数列的通项公式 5、若数列的递推公式为11
1323()n n n a a a n ++=⎧⎪⎨=-⋅∈⎪⎩ ，则求这个数列的通项公式
6、已知数列
}
a {n 满足
6
a 53a 2a 1n
n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：设
)
5x a (25
x a n
n 1
n 1n ⋅+=⋅+++ ④
将
n
n 1n 5
3a 2a ⋅+=+代入④式，得
n
n 1
n n
n 5
x 2a 25
x 5
3a 2⋅+=⋅+⋅++，等式两边消去
n
a 2，得n
1n n 5x 25
x 53⋅=⋅+⋅+，两边除以n 5，得x 25x 3=⋅+，则x=－1，代入④式， 得
)
5a (25
a n
n 1
n 1n -=-++ ⑤
由
1
565a 1
1=-=-≠0及⑤式，得
5
a n
n ≠-，则
2
5
a 5
a n
n 1n 1n =--++，则数列
}
5a {n
n -是
以1511=-a 为首项，以2为公比的等比数列，则1215-⋅=-n n n a ，故n n n a 521+=- 【例15】已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n ≥2时，1
211+=
--n n n a a a ，求通项公式
n
a 。

解： 将1
211+=
--n n n a a a 两边取倒数得：
2111
=-
-n n
a a ，这说明}1{n
a 是一个等差数列，
首项是
111
=a ，公差为2，所以
122)1(11-=⨯-+=n n a n
，即1
21-=
n a n .
【例16】数列}{n a 中，且311=a ，1
221+=
+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式.
[提示]11211
1
+=+n
n a a
【例17】1,
1
211=+=
+a a a a n n
n n ，求
n
a
解：n
n
n a a 2111
+=
+即n
n n b b 21+=+
则(
)1
211
22
212
12
121
1-=
∴-=+-=--+
=-n
n n
n
n n a b b
【例18】数列
}
{n a 中，
n n n n n a a a +⋅=
+++1
112
2，21=a ，求}
{n a 的通项。

解：
n
n n n n a a a 1
1
1
2
2
1
++++=
∴
1
12
111
+++
=
n n
n a a
设
n
n a b 1
=
∴
1
12
1+++
=n n n b b ∴
n
n n b b 2
11+
=-
∴
n
n n b b 211=
--
1212
1---=
-n n n b b
2
322
1---=
-n n n b b ……
3
232
1=
-b b
n
n 2121211])21(1[2112-=-
-=-n
n
n
n b 2
122
12
12
1-=
+
-
=
1
22
-=
n
n
n a 2
122
1=
-+b b
n
n b b 212
12
13
2
1+
++
=
-
∴
∴
【练习】
1、在数列
}
{n a 中，,3
,111+=
=+n n n a a a a 求
n
a ．
【例19】若数列{n
a }中，
1
a =3且
2
1n
n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是
n
a =▁▁▁
（2002年上海高考题）. 解 由题意知
n
a ＞0，将2
1n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即
2lg lg 1=+n
n a a ，所以数
列
}
{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列，1
2
113
lg 2lg lg -=⋅=-n n n a a ，即1
2
3
-=n n a .
【练习】
1、在数列}{n a 中，,3
,111+==+n n n a a a a 求n a ．
五、对数变换法
【例20】 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为5
11237n n n a a a +=⨯⨯=，，所以100n n a a +>>，。

在5123n n n a a +=⨯⨯式两边取
常用对数得1lg 5lg lg 3lg 2n n a a n +=++
⑩
设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++ ○
11 将⑩式代入○11式，得5l g l g 3
l g 2(
1)5(l g n n
a n x n y a xn y +++++=
++，两边消去5l g n a 并整理，得(lg 3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则
lg 35lg 25x x x y y +=⎧⎨++=⎩，故lg 34lg 3lg 2
164x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
代入○11式，得1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (1)5(lg )4
16
4
4
16
4
n n a n a n ++++
+
=++
+
○
12
由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 1lg 71041644
16
4
a +⨯+
+
=+
⨯++≠及○
12式，
得lg 3lg 3lg 2lg 0416
4
n a n +
++≠，
则
1lg 3
lg 3lg 2lg (1)4
164
5lg 3lg 3lg 2lg 4
16
4
n n a n a n ++
+++
=+
+
+
，
所以数列lg 3lg 3lg 2
{lg }4
16
4
n a n +
+
+
是以lg 3
lg 3
lg 2
lg 74
164
+
+
+
为首项，以5为公比的等
比数列，则1
lg 3lg 3lg 2lg 3
lg 3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+++=+++，因此1
1
1
1
1
1
1
1
16164444
111
1
1
1
16
16
4
4
4
41
1
1
1
1
1
161644445
5
51
4
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)5
4
16
4
4
6
4
(lg 7lg 3lg 3lg 2)5
lg 3lg 3lg 2[lg(733
2)]5
lg(33
2)
lg(7332)5
lg(332)
lg(733
n n n n n
n n
n n
n n n a n ---------=+
+
+
-
-
-
=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅1
1
15
1
164
541
5
151
16
4
2
)
lg(7
3
2
)
n n n n n -------⋅=⋅⋅
则1
1
5415
1
5
16
4
73
2
n n n n n a -----=⨯⨯。

六、迭代法
【例21】 已知数列{}n a 满足3(1)2
115n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)2
1n
n n n
a a
++=，所以1
2
1
323(1)232
1
2
[]
n n n n n n n n n a a
a
---⋅-⋅⋅--==
2(2)(1)
3
2(2)(1)
3
(3)(2)(1)
1
12(3)(2)(1)
(1)
1
2
3(1)223(2)23(1)2
3
3(2)(1)23
323(2)(1)2
13!2
1
[]
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a
a a
a a
-+---+--+-+--+++-+-+----⋅⋅--⋅-⋅⋅---⋅-⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅======
又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)
1
2
3
!2
5
n n n n n a --⋅⋅=。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

即先将等式
3(1)21n
n n n
a a
++=两边取常用对数得1lg 3(1)2lg n
n n a n a +=+⨯⨯，即
1lg 3(1)2lg n
n n
a n a +=+，
再由累乘法可推知(1)
12
3!2
1
32112
21
lg lg lg lg lg lg lg 5
lg lg lg lg n n n n n
n n n n a a a a a a a a a a --⋅⋅
---=
⋅
⋅⋅⋅⋅= ，从而
1
(1)3
!2
2
5
n n n n n a --⋅⋅=。

七、数学归纳法
【例22】 已知数列{}n a 满足112
2
8(1)8(21)(23)
9
n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项
公式。

解：由12
2
8(1)(21)(23)
n n n a a n n ++=+
++及189
a =
，得
2122
322
2
432
2
8(11)
88224(211)(213)
9
925258(21)
248348(221)(223)
25
2549498(31)
488480(231)(233)
49
4981
81
a a a a a a +⨯=+=
+=
⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+
=
+
=⨯+⨯+⨯
由此可猜测2
2
(21)1(21)
n n a n +-=
+，往下用数学归纳法证明这个结论。

八、换元法
【例23】 已知数列{}n a 满足111(14124)116
n n n a a a a +=+++=，，求数列{}n a 的通项
公式。

解：令124n n b a =+，则2
1(1)24
n n a b =-
故2
111(1)24
n n a b ++=
-，代入11
(14124)16
n n n a a a +=
+++得
2
2
1111(1)[14
(1)]24
16
24
n n n b b b +-=
+-+
即22
14(3)n n b b +=+
因为1240n n b a =+≥，故111240n n b a ++=+≥ 则123n n b b +=+，即11322
n n b b +=+
，
可化为113(3)2
n n b b +-=
-，
所以{3}n b -是以1131243124132b a -=+-=+⨯-=为首项，以2
1为公比的等比数
列，因此1
21
132()
()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+，即21124()32
n n a -+=+，得 2111
()()3423
n n n a =
++。

九、循环法
数列有形如0),(12=++n n n a a a f ，的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出.n a
【例24】在数列}{n a 中，.19981221,,5,1a a a a a a n n n 求-===++ 解：由条件,)(1
1
1
2
3
n n
n n
n
n
n
a a a a a a a -=--=-=+++++
即,,363n n n n n a a a a a =-=∴-=+++ 即每间隔6项循环一次.1998=6×333， ∴.461998-==a a
十、开方法
对有些数列，可先求,3n n a a 或再求.n a
【例25】有两个数列},{},{n n b a 它们的每一项都是正整数，且对任意自然数n a n ,、n b 、
1+n a 成等差数列，n b 、1+n a 、1+n b 成等比数列，.,2,3,1121n n b a b a a 和求===
解：由条件有：
由②式得：,1n n n b b a ⋅=-③
.11++⋅=
n n n b b a ④
把③、④代入①得：112+-⋅+
⋅=n n n n n b b b b b ， 变形得n n n n n n b b b b b b -=
-
+-11)(（）.
∵n b ＞0，∴n b －n n n b b b -
=
+-11.
∴n b 是等差数列.因,2,3,1121===b a a
2b n =a n +a n+1,① a 2n+1=b n ·b n+1.②
,222
9,2
9122=-=
-=
b b b 故故
∴,2,22n b n b n n ==故).1(21-==
+n n b b a n n n。