上海市六十中学2011学年第一学期期中考试

上海市六十中学2011学年第一学期期中考试高三年级数学试卷考生注意：本试卷共有20道试题，满分150分，考试时间120分钟一.填空题（本大题满分55分）本大题共有11题，每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．若}2|{},|{x y y N x y x M -====，则M N =____________．2．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 4α=-，则x 的值为 ．3．设31sin (),tan(),522πααππβ=<<-=则tan(2)αβ-的值等于__________．4．某城市连续三年年底统计的城市绿化率分别为20%，21.25%，22.5%，如果以后的若干年继续以此速度发展绿化，要使该城市的绿化率超过31，至少还需要_____年.（结果取整） 5．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为__________．6．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πα的值是__________．7. 若5sin )(313-++=x c bx ax x f ，已知17)7(=-f 则=)7(f .8.设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⊗=∈ 且}x A B ∉ ，已知}22|{>+=x xx A ，}3|{->=x x B ，则A B ⊗= . 9.已知偶函数)(x f 和奇函数)(x g 的定义域都是[-3，3]它们在[-3，0]上的图象分别如图，则关于x 的不等式0)()(>⋅x g x f 解集为 ．10.已知函数()()21f x x ,g x x ==-，若存在R x ∈使()()f x b g x <⋅成立，则实数b 的取值范围是____________．11.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个()2121,x x x x ≠，均有()()2121x x k x f x f -≤-成立，则称函数()x f 在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数()()1≥=x x x f 满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为 ____．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，选对得5分，否则一律得零分.12．“(5)0x x -<成立”是“14x -<成立”的 【 】 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件13．()2tan cot cos x x x += 【 】A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot xD14．函数ππln cos22y x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭的图象是【】15.图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数()(0)S S a a=≥是图中阴影部分介于平行线0y=及y a=之间的那一部分的面积，则函数()S a的图象大致为【】三.解答题（本大题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（12分）若集合2)2(log|{2>--=xxxAa，0>a且}1≠a．（1）若2=a，求集合A；（2）若A∈49，求a的取值范围．解：x x A．B．C．D．17．（14分）已知函数2()2sincos 444x x xf x =-． （1）求函数()f x 的最小正周期及最值；（2）令)()(a x f x g -=，其中0>a ，若()g x 为偶函数，求a 的最小值．解：18.（14分）围建一个面积为360平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/米，新墙的造价为180元/米，设利用的旧墙的长度为x (单位：米)，修建围墙的总费为y (单位：元)．试确定x 的值，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解：19.（17分）现给出以下三个命题：①函数1()21x f x m =--是奇函数的充要条件是12m =. ②已知函数)(x f 在R 上是增函数，若R b a ∈，，且0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-.③设函数12)(-+=x mx x f 的图像关于直线x y =对称，则函数)(x f 在区间)1(∞+，上是减函数.请你判断以上三个命题的真假，并证明你的结论. 解：20.（18分）第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。

已知函数1()1,(0,)f x x x=-∈+∞．（1）作出函数)(x f y =的大致图像并根据图像写出函数)(x f 的单调区间；（2）（理科）证明：当b a <<0且)()(b f a f =时，1>ab ；（文科）设210<<a ，1>b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小； （3）（理科）若存在实数,(0)a b a b <<，使得函数)(x f y =在],[b a x ∈上的函数的值域为],[mb ma (0≠m )，求实数m 的取值范围．（文科）是否存在实数,(0)a b a b <<，使得函数)(x f y =在],[b a x ∈上的值域也是],[b a ．若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．解：上海市六十中学2011学年第一学期期中考试高三年级数学试卷评分标准与答案一．1．φ； 2．8； 3．247； 4．9； 5．2-； 6．45； 7. -27； 8.]3,4(--； 9.(1,0)(1,3)- ； 10.(,0)(4,)-∞+∞ ； 11.21．二．A D A C三．16．解：（1）若2=a ，⎪⎩⎪⎨⎧>-->--.2)2(log ,02222x x x x …………2分 解得2-<x 或3>x ………………4分 所以}3,2{>-<=x x x A 或 ………………5分（2）因为A ∈49，所以2]249)49[(log 2>--a ， 即21613log >a…………7分 因为021613log >=a，所以 10<<a ，且21613a <， ………………9分 解得1413<<a ． ………………12分17．解：（1）2()sin2sin )24x x f x =-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．4分 ()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． ………………6分当πsin 123x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．………………8分（2）由（1）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=)23(2sin 2)()(a x a x f x g π．∴k k a (223ππ=-为奇数），k k a (232ππ-=为奇数） ∴a 的最小值为π35． ………………14分另解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos 2)(πx x f ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=-=)6(2sin 2)()(a x a x f x g π同样给分．18.解：如图，设矩形的另一边为am ，则45180(2)1802225360360y x x a x a =+-+⋅=+-由已知360ax =，得360a x=，所以2360225360(2)y x x x=+->．……………8分∵0x >，∴236022510800x x +≥=，……………12分∴236022536010440y x x =+-≥，当且仅当2360225x x=时，等号成立．即当24x m =时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．……………14分19.解：（1）真命题的序号是②③. ……2分②的证明：因为)(x f 在R 上是增函数，且⎩⎨⎧-≥-≥a b b a ，所以⎩⎨⎧-≥-≥)()()()(a f b f b f a f .同向相加得)()()()(b f a f b f a f -+-≥+. 故命题④是真命题. ……7分③的证明：由12)(-+=x mx x f 得m x x x f -+=-2)(1.依题意知，函数)(x f 与其反函数)(1x f -是同一函数，∴1=m . ∴12)(-+=x x x f .设则且,,),1(,2121x x x x <∞+∈1221121212223()()()011(1)(1)x x x x f x f x x x x x ++--=-=>----，∴函数12)(-+=x x x f 在),1(+∞上是减函数.故命题⑤是真命题. ……12分 假命题的序号是①. ……13分①的证明：当12m =时，11()212xf x =--. 由1115(1)2122f --=-=--，1111(1)2122f =-=-，得(1)(1)f f -≠-. 所以函数()f x 不是奇函数. 故命题①是假命题. ……17分20.解：(1)图象如右图所示． ……3分 单调递减区间：]1,0(；单调递增区间：),1[+∞ …………5分(2)（理）由b a <<0，)()(b f a f =，及函数的单调性知，10<<a ，1>b ， …………6分∴ 1111)(-=-=aa a f ，………………7分bb b f 1111)(-=-=，由b a 1111-=-，得211=+b a ，……8分∴abab ab ab b a b a 22112=≥+=+=，∴ 1≥ab ，即1≥ab ………11分 (2)（文）由210<<a ，1>b ，得21>a ，110<<b ， ……………7分于是1121111)(=->-=-=a a a f ，11111)(<-=-=bb b f∴)()(b f a f >． ………………………………………………11分(3)（理）当)1,0(∈a ，),1(+∞∈b 时，],[1b a ∈，而],[0)1(mb ma f ∉=，矛盾．∴)1,0(,∈b a 或),1(,+∞∈b a ． …………………………………………………………12分 当)1,0(,∈b a 时，由)(x f 是减函数知，mb a f =)(，ma b f =)(，即mb a=-11，ma b=-11，得b a =，舍去．………………………………………………13分 当),1(,+∞∈b a 时，由)(x f 是增函数知，ma a f =)(，mb b f =)(，即ma a =-11，mb b=-11，∴ b a ,是方程012=+-x mx 的两个不相等实根，且这两根均大于1．………16分∴△041>-=m 且011>+-m ，121>m ，解得410<<m ，………………18分 (3)（文）当)1,0(∈a ，),1(+∞∈b 时，],[1b a ∈，而],[0)1(b a f ∉=，矛盾．∴)1,0(,∈b a 或),1(,+∞∈b a ， …………………………………………12分当)1,0(,∈b a 时，)(x f 是减函数，于是有b a f =)(，a b f =)(，即b a=-11，a b=-11，得b a =，舍去． …………………………………………13分 当),1(,+∞∈b a 时，由)(x f 是增函数知，a a f =)(，b b f =)(，即a a =-11，b b =-11，∴ a ，b 是方程012=+-x x 的两根， ……16分但方程012=+-x x 没有实根．即实数b a ,也不存在．∴不存在实数a ，b (b a <<0)，使得)(x f y =在],[b a x ∈上的值域是],[b a ．…18分。