第9章 第2节 二项式定理

5－r＝3， r＝2，
解得 r＝2.所以 x3y2 的系数是 C25123×(－2)2＝5.故选 A．]
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
3．若x＋1xn展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项 为( )
A．10
B．20
C．30
D．120
B [二项式系数之和 2n＝64，所以 n＝6，Tr＋1＝Cr6·x6－r·1xr＝Cr6x6 －2r，当 6－2r＝0，即当 r＝3 时为常数项，T4＝C36＝20.]
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝ 2n－1 .
提醒：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系
数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无 关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(3)法一：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以 x5 的系数为 C05C55 35＋C15(－1)C4534＋C25(－1)2C3533＋C35(－1)3C2532＋C45(－1)4C1531＋C55(－ 1)5C0530＝92.
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
形如(a＋b＋c)n 的展开式问题 [典例 1－3] (1)将x＋4x－43展开后，常数项是________． (2)x2－2x＋y6的展开式中，x3y3 的系数是________．(用数字作答)
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
A [(1－2x)4 展开式中第 3 项的二项式系数为 C24＝6.故选 A．]
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
2．二项式12x－2y5的展开式中 x3y2 的系数是(
)
A．5
B．－20
C．20
D．－5
A [二项式12x－2y5的通项为 Tr＋1＝Cr512x5－r·(－2y)r.根据题意，得
(2)(x2＋2)x12－15的展开式的常数项是(
)
A．－3
B．－2
C．2
D．3
(3)(1＋2x－3x2)5 的展开式中 x5 的系数为________.
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(1)C (2)D (3)92 [(1)因为(x＋y)5 的展开式的第 r＋1 项 Tr＋1
第九章 计数原理、概率、随机变 量及其分布
第二节 二项式定理
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
[考试要求] 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理， 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
只需－C22 002211＋a 能被 13 整除，由 0≤a＜13，得 a－1＝0，故 a＝1.
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
几种求展开式特定项的解法
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指
数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，
－3r＝2，则 r＝38∉N，所以 α 的值可能为 7,1，－5，故选 ABD．
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(2)2x3＋1x6的展开式的通项公式为 Tr＋1＝C6r (2x3)6－r·1xr＝Cr626－ rx18－4r，
令 18－4r＝6，解得 r＝3，所以 x6 的系数是 C3623 ＝ 160.
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(1)ABD
(2)160
(3)16 2
5
[(1)易
知2x2－3x
5
的
展开
式的
通项
Tr＋1＝Cr5(2x2)5－r·－3xr＝Cr525－r(－3)rx10－3r，其中 r＝0,1,2，…，5.令 r＝1， 则 10－3r＝7；令 r＝3，则 10－3r＝1；令 r＝5，则 10－3r＝－5.令 10
A．－5
B．1
C．2
D．7
第二节二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(2)(2021·天津高考)在2x3＋1x6的展开式中，x6 的系数是________． (3)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是________；系数为有 理数的项的个数是________．
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
4．(x＋1)5(x－2)的展开式中 x2 的系数为________．
－15 [(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5 展开式中含有 x2 的项 为－20x2＋5x2＝－15x2.
故 x2 的系数为－15.]
A．60 C．84
B．80 D．120
(3)x－31x－y6的展开式中含 xy 的项的系数为(
)
A．30
B．60
C．90
D．120
第二节 二项式定理
1
2
(4)通项 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．
()
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
二、教材习题衍生
1．(1－2x)4 展开式中第 3 项的二项式系数为( )
A．6
B．－6
C．24
D．－24
(3)由题意，( 2＋x)9 的通项为 Tr＋1＝C9r( 2)9－rxr(r＝0,1,2，…， 9)，当 r＝0 时，可得常数项为 T1＝C09( 2)9＝16 2；若展开式的系数 为有理数，则 r＝1,3,5,7,9，有 T2, T4, T6, T8, T10 共 5 个项．]
第二节 二项式定理
法
二
：
(1
＋
2x
－
3x2)5
＝
[(1
＋
2x)
－
3x2]5
＝
C
0 5
(1
＋
2x)5
＋
C
1 5
(1
＋
2x)4(－3x2)＋C25(1＋2x)3(－3x2)2＋…＋C55(－3x2)5，
所以 x5 的系数为 C05C5525＋C15C34×23×(－3)＋C25C13×2×(－3)2＝
92.]
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
性质
性质描述
当 n 为偶数时，中间的一项
取得最大值
最大值
当 n 为奇数时，中间的两项
与
时取得最大值
相等且同
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n 展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝ 2n .
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
形如(a＋b)n(c＋d)m 的展开式问题
[典例 1－2] (1)(2020·全国Ⅰ卷)x＋yx2(x＋y)5 的展开式中 x3y3 的 系数为( )
A．5
B．10
C．15
D．20
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
[跟进训练]
1．(1)若(x2－a)x＋1x10的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于(
)
A．13
B．12
C．1
D．2
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(2)(2021·八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9 的展开式中 x2 的系数是( )
01
走进教材·夯实基础
梳理·必备知识 激活·基本技能
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第 k＋1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 C0n，C1n，…，Cnn. 提醒：(a＋b)n 的展开式与(b＋a)n 的展开式的项完全相同，但对 应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
2．二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 Ckn＝Cnn－k
增减性
二项式 系数 Ckn
当 k＜n＋2 1(n∈N*)时，是 递增 的 当 k＞n＋2 1(n∈N*)时，是 递减 的
第二节 二项式定理
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(2) 512 021＋a＝(52－1)2 021＋a＝C02 021522 021－C12 021522 020＋C22021522 019＋…＋C22 002201521－C22 002211＋a，
其中 C02 021522 021－C12 021522 020＋C22 021522 019＋…＋C22 002201521 能被 13 整除，
解出项数 k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根
据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方
法，以免重复或遗漏．
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决． (4)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除 式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(1)－160 (2)－120 [(1)x＋4x－43＝ x－ 2x6展开式的通项是
Ck6(
x)6－k·－
2xk＝(－2)k·Ck6x3－k.
令 3－k＝0，得 k＝3.
所以常数项是 C36(－2)3＝－160.
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(2)x2－2x＋y6表示 6 个因式x2－2x＋y的乘积，在这 6 个因式中， 有 3 个因式选 y，其余的 3 个因式中有 2 个选 x2，剩下一个选－2x， 即可得到 x3y3 的系数，即 x3y3 的系数是 C36C23×(－2)＝20×3×(－2) ＝－120.]
数有关，而且也与 a，b 的值有关．
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Cnran－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．
()
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．
() (3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．( )
＝Cr5x5－ryr，所以x＋yx2(x＋y)5 的展开式中 x3y3 的系数为 C35＋C15＝15.
故选 C． (2)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需
满足：第一个因式取 x2 项，第二个因式取x12项得 x2×x12×C45(－1)4＝5；
第一个因式取 2，第二个因式取(－1)5 得 2×(－1)5×C55＝－2，故展 开式的常数项是 5＋(－2)＝3，故选 D．
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
求近似值和整除问题 [典例 1－4] (1)求 0.9966 的近似值；(结果精确到 0.001) (2)设 a∈Z，且 0≤a＜13，若 512 021＋a 能被 13 整除，求 a 的值．
[解] (1) 0.9966＝(1－0.004)6＝C06－C16(0.004)1＋C26(0.004)2＋… ＝1－0.024＋0.000 24＋…≈0.976.
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
第二节 二项式定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
考点一 二项展开式的通项公式的应用
形如(a＋b)n 的展开式问题
[典例 1－1] (1)(多选)若2x2－3x5的展开式中含 xα(α∈R)项，则 α 的值可能为( )