误差理论和测量平差 第六讲

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班级：课程：误差理论与测量平差授课日期：年月日第周A.提出问题，导入新课
观测必然有误差，衡量观测数据精度的指标有：方差和协方差、平均误差、或然误差、相对误差、限差等概念外，还有权、协因素（权倒数）本次课程的内容：权与定权的常用方法、协因素传播定律。

B.授课章节名称：§3.4 权与定权的常用方法，§3.5 协因素传播定律
教学要点：
1、权和协因素的基本概念
2、协因素和协因素阵传播定律
重点：
1、权、确定权的常用方法
2、单位权方差
难点：
1、权和方差的关系、单位权方差的作用
2、权阵、方差阵、协因素阵的关系
C.教学过程设计
权的概念
单位权方差和单位权中误差
确定权常用的方法
协因素和协因素阵的基本概念
协因素和协因素阵的传播定律
一些需要注意的问题 课堂习题 作业题布置
第六讲
同学们,我们上一节课学习了误差传播定律在大地测量具体问题中的一些应用，例如：菲列罗公式、算术中数的中误差、水准测量高差的中误差、三角高程测量的中误差、若干独立误差联合影响的中误差、限差的确定、交会点的精度等。

本次课将学习误差理论的另一个重要内容：权、协因素和协因素传播定律。

§3.4 权与定权的常用方法
一定的测量条件对应着一定的误差分布，而一定的误差分布对应着一个确定的方差。

在实际测量中可通过各观测值方差之间的比例关系来表征精度，这就是权的概念。

一、权的定义
设有一系列观测值i L ),,2,1(n i =，它们的方差是2
i σ),,2,1(n i =，如果选定任意常数2
0σ，则观测值i L 的权定义为：
22
0i
i p σσ=，),,2,1(n i =
根据权的定义，可知各观测值权之间的比例关系是：
2222122022202120211
::1:1::::::n
n n p p p σσσσσσσσσ ==
可见，对于一组观测值，其权之比等于相应方差的倒数之比，这表明方差越小其权约大，或者说精度越高其权越大。

因此，权可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标。

就普遍情况而言，权定义中的方差2
i σ，可以是同一个量的不同次观测的精度，也可以是不同量的观测值的精度。

就是说，用权来比较各观测值之间的精度高低，不限于是对同一个量的观测值，同样也适用于对不同量的观测值。

注意：
1、选定了一个2
0σ值，即有一组对应的权。

或者说，有一组权，比有一个对应的2
0σ值。

2、一组观测值的权，其大小与20σ有关，但权之间的比例关系与2
0σ无关。

3、在同一个问题中只能选定一个2
0σ值。

二、单位权方差（中误差）
从权的定义可以看出，2
0σ只是起到一个比例常数的作用；2
0σ不同，各个观测值的权的数值不同，但观测值权之间的比例不变。

2
0σ一旦选定，它还有具体的含义。

【例子】设有三个观测值1L 、2L 和3L ，其中误差是11''=σ、22''=σ和33''=σ。

求各个观测值的权。

解：根据权的定义有：
22
0i
i p σσ=，),,2,1(n i =
因为比例常数2
0σ是任意选定的，故可以得出许多不同的权。

例如我们选取10''=σ、
20''=σ、30''=σ、60''=σ等，可得相应权如下
取10''=σ时：11=p ，412=p ，13=p 取20''=σ时：41=p ，12=p ，943=p 取30''=σ时：91=p ，492=p ，13=p 取60''=σ时：361=p ，92=p ，43=p 但不论如何选取0σ，总是
4:9:361
::1:1::::::222212202220212021===n
n n p p p σσσσσσσσσ
当取110''==σσ时，观测值1L 的权是1，实际上就是以观测值1L 的精度作为标准，其它的观测值精度都是和它进行比较。

当取220''==σσ时，观测值2L 的权是1，实际上就是以观测值2L 的精度作为标准，其它的观测值精度都是和它进行比较，等等。

因此，通常称0σ为单位权中误差，而2
0σ称为单位权方差，把权等于1的观测值称为单位权观测值。

三、测量中确定权的基本方法
在实际测量工作中，往往是要根据事先给定的条件，先确定出各观测值的权，也就是先确定它们精度的相对数值指标，然后通过平差计算，一方面求出各观测值的最可靠值，另一方面求出它们精度的绝对数字指标。

下面根据权的定义和测量中经常遇到的几种情况，导出其实用的定权公式。

（1）算术中数的权
设对某个物理量等精度地观测了n 次，即i L ),,2,1(n i =，若每一次观测的精度是σ，
权为p 。

求算术中数的权？ 解：由于算术中数是
)(1
21n L L L n
L +++=
其方差是
222
2
222122
11)(1σσσσσσn n n n n L
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=
根据权的定义有
220σσ=p ，np n n p L L ====22
0220220)(σ
σσσσσ
所以算术中数的权是等精度观测值的权的n 倍。

（2）水准测量的权
水准测量中，设水准路线长为S 的高差的权是p ，中误差是σ；并设水准路线长为0S 的高差的权是1，单位权中误差是0σ。

当单位距离水准测量所得高差的中误差均为K 时，有
S K =σ，00S K =σ
这样可得路线长为S 的高差的权是
S S p 0220==σ
σ
所以水准测量中高差的权与路线长成反比。

（3）三角高程测量的权
在三角高程测量中，设两三角点间的距离为S 的高差的权是p ，中误差是σ；并设距离为0S 的高差的权是1，单位权中误差是0σ。

当垂直角的观测中误差为ασ时，有
2
22⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛''''=ρσσαS ，2
2020⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''=ρσσα
S 这样可得距离为S 时三角高程测量高差的权是
22
0220S
S p ==σσ
所以三角高程测量高差的权与距离的平方成反比。

§3.5协因素（权倒数）和协因素传播定律
权是一种比较观测值之间精度高低的指标，当然，也可以用权来比较各个观测值函数之间的精度。

因此，同方差传播定律一样，也存在根据观测值的权来求观测值函数权的问题。

一、协因素与协因素阵
设有一系列观测值i L ),,2,1(n i =，它们的方差是2
i σ),,2,1(n i =，互协方差是
ij σ)(j i ≠，即观测值向量T n L L L L )(21 =的协方差阵是
()()
{
}
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=--=22122221112
21)()(n n n n n T
LL L E L L E L E D σσσ
σσσσσσ 在此令
20
2
1σσi i ii p q ==，),,2,1(n i =；201σσij ij ij p q ==
，)(j i ≠ 其中2
0σ是选定的任意常数，则称ii q 是观测值i L 的协因素（权倒数），ij q 是观测值i L 和j L 的互协因素（互相关权倒数），ij p 是观测值i L 和j L 的相关权。

这样观测值向量T n L L L L )(21
=的协方差阵可表示为
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=nn n n n n n n n n n LL
q q q q q q q q q D 2122221
112
112022122221112
21σσσσ
σσσσσσ
则称
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n LL
q q q
q q q q q q Q 2122221112
11
是观测值向量T n L L L L )(21
=的协因素阵。

可见协方差阵和协因素阵的关系是：
LL LL Q D 2
0σ=
同时又称
1
2
1222111211
2122221
112111
111111111---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
=⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛==n n n n n nn n n n n LL
LL p p p p p p p p p q q q q q q q q q Q P
是观测值向量T n L L L L )(21
=的权阵。

【特别注意】观测值向量1
⨯n L 的权阵不是由观测值)(21n L L L 的权和相关权组成
的矩阵，即：
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛≠n n n n n LL p p p p p p p p p P
2
1
2221
1121
但是当0=ij σ时，即观测值)(21
n L L L 互不相关时，有
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=nn n LL
q q q D
000000
000000
22112022221σσσσ
1
2
1
1
22111
100010001000000---⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==n nn LL
LL p p p q q q Q P ⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛=n LL p p p P
00000021 二、协因素传播定律
由协因素和协因素阵的定义可知，协因素阵和协方差阵的关系只是相差一个比例常数；而且观测向量协因素阵的对角线元素是相应的权倒数。

因此，有了协因素和协因素阵的概念，
根据方差传播定律，可以方便地得到由观测向量的协因素阵求其函数的协因素阵的计算公式，从而得到了函数的权。

设有观测值1
⨯n X ，已知它的协因素阵是n
n XX Q ⨯又设有1⨯n X 的函数1⨯r Y 和1
⨯t Z ，即
1
01
1
⨯⨯⨯⨯+=r n n r r F X F Y ，1
01
1
⨯⨯⨯⨯+=t n n t t K X K Z
下面求1
⨯r Y 和1
⨯t Z 的协因素阵和互协因素阵r
r YY Q ⨯，t
t ZZ Q ⨯和t
r YZ Q ⨯。

假定观测值1
⨯n X 的协方差阵是n
n XX D ⨯，按照方差传播定律有
r
n T n
n XX n
r r
r YY F D F D ⨯⨯⨯⨯=，t
n T n
n XX n t t
t ZZ K D K D ⨯⨯⨯⨯=，t
n T n
n XX n r t
r YZ K D F D ⨯⨯⨯⨯=
由于协因素阵和协方差阵的关系是Q D 2
0σ=，所以有
r
n T n
n XX n r r
r YY F Q F Q ⨯⨯⨯⨯=，t
n T n
n XX n t t
t ZZ K Q K Q ⨯⨯⨯⨯=，t
n T n
n XX n r t
r YZ K Q F Q ⨯⨯⨯⨯=
这就是线性函数的协因素（或协因素阵）传播定律，也称之为权逆阵传播定律。

在形式上与协方差阵传播定律相同，所以将协方差阵传播定律和协因素阵传播定律合称为广义传播定律。

如果1
⨯r Y 和1
⨯t Z 的各个分量是1
⨯n X 的非线性函数，可先求出1⨯r Y 和1
⨯t Z 的全微分，即
FdX dY =，KdX dZ =
则可得到1
⨯r Y 和1
⨯t Z 的协因素阵和互协因素阵r
r YY Q ⨯，t
t ZZ Q ⨯和t
r YZ Q ⨯。

【例1】设有独立观测值1
⨯n L ，假定各i L 的权是i p 。

设有函数),,,(21n L L L f z =，求函数
z 的权。

解：假定独立观测值1
⨯n L 的协方差阵是
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=n nn n LL p p p q q q D 100010001000000
0000002
1
20221120222
21
σσσσσ 所以观测值1
⨯n L 的协因素阵是
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=n LL
p p p Q 10001000121
对函数),,,(21n L L L f z =进行全微分有
KdL dL L f
dL L f dL L f dz n n
=∂∂++∂∂+∂∂=
2211 ⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂==n n n T LL zz L f L f L f p p p L f L f L
f K KQ Q
2121
2
1
100010001 展开后写成纯量的形式有
n
n z p L f p L f p L f p 11
112
222121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 这就是权倒数传播定律。

【例2】已知独立观测值1
⨯n L 中各i L 的权是p 。

求算术中数的权。

解：)(1
21n L L L n
X +++=
根据权倒数传播定律有
np p n n p n p n p n p X 1
1111111112
2
2
2
=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= 所以
np p X =
即算术中数的权是观测值权的n 倍。

【例3】已知独立观测值i L 的权是i p ),,2,1(n i =。

求加权平均值的权。

解：)(]
[1
2211n n L p L p L p p X +++=
根据权倒数传播定律有
][1][][1111][112
22221212p p p p p p p p p p p n n X =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 所以
][p p X =
即加权平均值的权是所有观测值权的和。

【例4】已知观测值向量1X 和2X 的协因素阵是11X X Q 、22X X Q 和互协因素阵是21X X Q ，设有函数向量1FX Y =和2KX Z =。

试求Y 和Z 的互协因素阵。

解：令观测向量X 为
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=21X X X ，其协因素阵就是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=22122111X X X
X X X X X XX Q Q Q Q Q 。

而函数向量可写为： X F X X F
Y )0()0(21=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=，X K X X K Z )0()0(21=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
根据协因素传播定律有
T
X X T X X X X X X X X T XX YZ K FQ K Q Q Q Q F
K Q F Q 21221221110)0(0)0(=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛= 【例5】已知观测值向量1
⨯n L 的协因素阵是LL Q ，又设
⎪⎭
⎪
⎬⎫
+==+=00A AL W W K A AQ K A Q V T LL T LL 其中T
LL A AQ 是对称可逆阵。

求K 和V 的协因素阵和互协因素阵。

解：首先求出函数向量W 的协因素阵
T LL WW A AQ Q =
再把K 和V 表示为W 的函数，即
W A AQ K T LL 1)(--=，W A AQ A Q V T LL T LL 1)(--=
这样有
111)()()(---==T LL T LL WW T LL KK A AQ A AQ Q A AQ Q
LL T LL T LL LL T LL WW T LL T LL VV AQ A AQ A Q AQ A AQ Q A AQ A Q Q 111)()()(---== []
LL T LL LL T LL WW T LL KV AQ A AQ AQ A AQ Q A AQ Q 111)()()(---=--=
习题4
〔1〕设三角形三个内角的中误差是2''±=A σ、4''±=B σ、8''±=C σ，取A σ为单位权中误差，试求各角的权。

〔2〕某角以每测回中误差为3''±的精度测量了9次，其平均值的权为1。

试求单位权中误差。

〔3〕三角形中有两个角利用同一经纬仪测量了2回，每一测回的中误差是5''±；若第三个角利用另一台经纬仪测量，每测回的中误差是01''±。

问第三角应当测量几次才能与第一和第二角的权相等。

〔4〕水准路线长450米，其高差之权是4，若使得高差的权为1，路线长应当为多少？ 〔5〕三角高程测量中，已知8公里高差的权是1，则4公里高差的权是多少？ 〔6〕三角形中，A 角测了3次，B 角测了2次，若每一测回的权是1。

求C 角的权。

〔7〕已知1L 、2L 、3L 的权分别是
161、41、251，求函数45
12141321+-+=L L L z 的权。

〔8〕设x 、y 的权均为p ，求函数xy z =的权
〔9〕已知y x z +=，2
u x =，u y 2=，u 的权为u p ，求x 、y 、z 的权和xy p 。

〔10〕已知观测向量()T
L L L L 32
1
=的协方差阵是⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=301021112LL
D ，若取单位权方差为12
0=σ。

试求LL Q ，LL P ，1L p ，2L p ，3L p 以及
2
11L L p 、
3
21L L p 。

〔11〕已知平面点坐标x 、y 的中误差是cm 0.4±、cm 0.3±。

1) 若已知平面点坐标x 、y 的协方差是20.9cm xy =σ，试写出向量()T y x
Z =的协方差阵和平面点坐标x 、y 的相关系数xy ρ。

2) 若已知平面点坐标x 、y 的相关系数是5.0-=xy ρ，试写出()T y x
Z =的协方差阵。

3) 若取2209cm =σ，试写出1)和2)中的()T
y x Z =的权阵和协因素阵。

〔12〕已知L X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112，X Y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2112LL Q 。

试求XX Q 、YY Q 、XL Q 、LX Q 、YL Q 、LY Q 、XY Q 以及1x p 和2x p
〔13〕已知⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=4223LL P ，820=σ。

求1L p 、2L p 、LL Q 、LL D。