2019届高三数学一轮复习:第70讲 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式

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多项式,便可利用柯西不等式来求最值.
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课堂考点探究
变式题 [2017·长沙雅礼中学二模] 已知关 于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数 a,b 的值; (2)求证:2≤ ������������ + 12+ ������������≤4.
解:(1)∵|x-2m|-|x|≤|x-2m-x|=|2m|,∴要使
|x-2m|-|x|<4 恒成立,则|m|<2,解得-2<m<2.
又∵m∈N*,∴m=1.
(2)证明:由(1)可知 f(x)=|x-2|-|x|.
∵α∈(0,1),β∈(0,1),∴f(α)+f(β)=2-2α+2-2β=
3,即 α+β=12,∴���4���+���1���=2
(3)综合法
从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成
立,这种证明方法称为综合法,即“由因寻果”的方法.
(4)放缩法
证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的
目的,这种方法称为放缩法.
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课前双基巩固
(5)反证法的步骤
①作出否定 结论 的假设; ②进行推理,导出 矛盾 ; ③否定 假设 ,肯定 结论 .
2. 柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式
①柯西不等式的代数形式:设 a1,a2,b1,b2 均为实数,则(������12+������22)(������12+������22)≥ (a1b1+a2b2)2 (当且
[总结反思] (1)利用综合法证明不等式时,常
用的不等式有:①a2≥0;②|a|≥0;③a2+b2≥2ab,
它的变形形式又有(a+b)2≥4ab,������
2+������
2

������ +������
2
2
2
等;④������+������≥ ������������(a≥0,b≥0),它的变形形式又有
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解:(1)∵x,y,z 是正实数,且满足
x+2y+3z=1,
∴���1��� +���1��� +���1��� =
1+1+1
������ ������ ������
(x+2y+3z)
=6+2������������ +3������������ +������������ +3������������ +������������ +2������������
解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,
则 -������-������ = 2,解得 ������ = -3,
������-������ = 4,
������ = 1.
(2)证明:由柯西不等式有
( -3������ + 12+ ������)2=( 3· -������ + 4+1· ������)2≤[( 3)2+12
=6+
2������ + ������
������ ������
+
3������ + ������
������ ������
+
3������ + 2������
������ ������
≥6+2 2+2 3+2 6,
当且仅当2������
������
=������������
且3������������ =������������ 且3������������ =2������������
2
a+���1��� ≥2(a>0),������������ +������������ ≥2(ab>0),������������ +������������ ≤-2(ab<0)等.
(2)用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错
误地作为“逆推”,分析的过程是寻求结论成立
的充分条件,而不一定是充要条件,同时要正
这种方法称为求商比较法.
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课前双基巩固
(2)分析法
从所要证明的 结论 出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或
一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,即“执果索因”
的证明方法.
[思路点拨] (1)依据题设借助绝对 值三角不等式分析求解;(2)借助 题设条件运用基本不等式进行证 明.
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课堂考点探究
例 2 [2017·衡水中学二模] 已知定义在 R 上的 函数 f(x)=|x-2m|-|x|,m∈N*,且 f(x)<4 恒成立. (1)求实数 m 的值; (2)若 α∈(0,1),β∈(0,1),f(α)+f(β)=3,求 证:���4��� +���1��� ≥18.
又 ( -3������ + 12+ ������)2=-3t+12+t+2 -3������ + 12· ������≥122t≥4(0≤t≤4), 所以 -3������ + 12+ ������≥2, 当且仅当 t=4 时,等号成立. 综上,2≤ ������������ + 12+ ������������≤4.
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(2)证明:由柯西不等式可得
1=(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32)=1 4(x2+y2+z2),
∴x2+y2+z2≥ 1 ,
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当且仅当 x=������=������,即 x= 1 ,y=1,z= 3 时取
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14 7 14
等号,
故 x2+y2+z2≥ 1 .
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时取等号,
故���1���+���1���+���1���的最小值为 6+2 2+2 3+2 6.
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课堂考点探究
例 1 已知 x,y,z 是正实数,且满足 x+2y+3z=1. (1)求���1��� +���1��� +���1��� 的最小值; (2)求证:x2+y2+z2≥ 1 .
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课前双基巩固
知识聚焦
1. 证明不等式的常用方法 (1)比较法
①求差比较法:a>b⇔a-b>0,a<b⇔a-b<0,因此要证明 a>b,只要证明 a-b>0 即可,这种方
法称为求差比较法.
②求商比较法:a>b>0⇔������������>1 且 a>0,b>0,因此当 a>0,b>0 时要证明 a>b,只要证明������������>1 即可,
4 ������
+
1 ������
(α+β)=2
5+
4������ + ������
������ ������
≥2
5+2
4������ ������
·������������
=18,当且仅当4������������ =������������ ,
即 α=13,β=16时取等号,故���4���+���1���≥18.
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课堂考点探究
例 2 [2017·衡水中学二模] 已知定义在 R 上的 函数 f(x)=|x-2m|-|x|,m∈N*,且 f(x)<4 恒成立. (1)求实数 m 的值; (2)若 α∈(0,1),β∈(0,1),f(α)+f(β)=3,求 证:���4��� +���1��� ≥18.
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课堂考点探究
探究点二 利用综合法、分析法证明不等式
例 2 [2017·衡水中学二模] 已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x-2m|-|x|,m∈N*,且 f(x)<4 恒成立. (1)求实数 m 的值; (2)若 α∈(0,1),β∈(0,1),f(α)+f(β)=3,求证:���4���+���1���≥18.
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课堂考点探究
例 1 已知 x,y,z 是正实数,且满足 x+2y+3z=1. (1)求���1��� +���1��� +���1��� 的最小值; (2)求证:x2+y2+z2≥ 1 .
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[总结反思] 对于若干个单项式的平方
和,因为其符合柯西不等式 (a2+b2+…+c2)(m2+n2+…+p2)≥(am+bn +…+cp)2,所以只要补足另一个平方和
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课堂考点探究
探究点一 柯西不等式的应用
例 1 已知 x,y,z 是正实数,且满足 x+2y+3z=1. (1)求���1��� +���1��� +���1��� 的最小值; (2)求证:x2+y2+z2≥ 1 .
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[思路点拨] (1)利用基本不等式 可得当且仅当2������������ =������������ 且3������������ =������������ 且 3������������ =2������������ 时,���1��� +���1��� +���1��� 取得最小值 6+2 2+2 3+2 6;(2)利用柯西
只需证 a+b+2 ������������≤1,即证 2 ������������≤1,即证 ������������≤1,
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而 a+b=1≥�≤1成立,所以原不等式
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第70讲 PART 11
不等式的证明、 柯西不等式与 均值不等式
课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
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考试说明
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.
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][( -������ + 4)2+( ������)2]=16,
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所以
-3������ + 12+
������≤4,当且仅当
4-������
=
������,即 t=1 时,
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等号成立.
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课堂考点探究
变式题 [2017·长沙雅礼中学二模] 已知关 于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数 a,b 的值; (2)求证:2≤ ������������ + 12+ ������������≤4.
当且仅当 x1y2=x2y1 时,等号成立. (2)一般形式的柯西不等式 设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则 (������12+������22+…+���������2��� )(������12+������22+…+���������2��� )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当 bi=0(i=1,2,…,n)或存在一 个实数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
不等式的特点结合题意证得结
论即可,注意等号成立的条件.
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课堂考点探究
例 1 已知 x,y,z 是正实数,且满足 x+2y+3z=1. (1)求���1��� +���1��� +���1��� 的最小值; (2)求证:x2+y2+z2≥ 1 .
确使用“要证”“只需证”这样的“关键词”.
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课堂考点探究
变式题 [2017·武汉二调] 若正实数 a,b 满 足 a+b=1,求证: ������+ ������≤1.
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证明:要证 ������+ ������≤1,
仅当 a1b2=a2b1 时,等号成立).
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课前双基巩固
②柯西不等式的向量形式:设 α,β 为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当 β 是零向量
或存在实数 k,使 α=kβ 时,等号成立.
③二维形式的三角不等式:设 x1,y1,x2,y2∈R,那么 ������12 + ������12+ ������22 + ������22≥ (������1-������2)2 + (������1-������2)2,
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