2019年宁夏中考数学试题(原卷+解析)含答案

2019年宁夏中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为（）
A．5.5×104B．55×104C．5.5×105D．0.55×106
2．下列各式中正确的是（）
A．＝±2 B．＝﹣3 C．＝2 D．﹣＝
3．由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（）
A．B．
C．D．
4．为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：
则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（）
A．0.7和0.7 B．0.9和0.7 C．1和0.7 D．0.9和1.1
5．如图，在△ABC中AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE．连接DE，过点A 的直线GH与DE平行，若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（）
A．40°B．45°C．55°D．70°
6．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
7．函数y＝和y＝kx+2（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）
A．B．
C．D．
8．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是（）
A．6﹣πB．6﹣πC．12﹣πD．12﹣π
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．分解因式：2a3﹣8a＝．
10．计算：（﹣）﹣1+|2﹣|＝．
11．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓
球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球的个数为．
12．已知一元二次方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．13．为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的时间（单位：小时），整理成如图的统计图．则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为小时．
14．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
若AB＝2，则⊙O的半径为．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，
BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作
射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝．
16．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x
﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是．（只填序号）
三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（5，4），B（0，3），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A
1B
1
C
1
，并写出点C
1
的坐标；
（2）画出将A
1B
1
C
1
绕点C
1
按顺时针旋转90°所得的△A
2
B
2
C
1
．
18．（6分）解方程： +1＝．
19．（6分）解不等式组：．
20．（6分）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．
（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；
（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．
21．（6分）如图，已知矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，AB 上的点，EF ⊥EC ，且AE ＝CD ． （1）求证：AF ＝DE ；
（2）若DE
＝AD ，求tan ∠AFE ．
22．（6分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．
（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．
四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分） 23．（8分）如图在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，连接OD ． （1）求证：OD ∥BC ；
（2）过点D 作⊙O 的切线，交BC 于点E ，若∠A ＝30°，求
的值．
24．（8分）将直角三角板ABC 按如图1放置，直角顶点C 与坐标原点重合，直角边AC 、BC 分别与x 轴和y 轴重合，其中∠ABC ＝30°．将此三角板沿y 轴向下平移，当点B 平移到
原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，
s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；
（2）求平移前AB边所在直线的解析式；
（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．
25．（10分）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．（π取3.14）．
（1）求400米跑道中一段直道的长度；
（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：
若设x表示跑道宽度（单位：米），y表示该跑道周长（单位：米），试写出y与x的函数关系式：
（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？
26．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接
NQ，设BQ为x．
（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；
（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故选：C．
2．【解答】解：A.，故选项A不合题意；
B.，故选项B不合题意；
C.，故选项C不合题意；
D.，故选项D符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：由俯视图知该几何体共3列，其中第1列前一排3个正方形、后1排1个正方形，第2列只有前排2个正方形，第三列只有1个正方形，
所以其主视图为：
故选：A．
4．【解答】解：由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是：＝0.9 30名学生平均每天阅读时间的是0.7，
故选：B．
5．【解答】解：∵AC＝CB，∠C＝40°，
∴∠BAC＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣70°）＝55°，
∵GH∥DE，
∴∠GAD＝∠ADE＝55°，
故选：C．
6．【解答】解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠ABD＝∠CBD时，
由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故选：C．
7．【解答】解：在函数y＝和y＝kx+2（k≠0）中，
当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项A、D错误，选项B正确，
当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项C错误，
故选：B．
8．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴正六边形ABCDEF的面积是：＝6×＝6，∠FAB＝∠EDC ＝120°，
∴图中阴影部分的面积是：6﹣＝，
故选：B．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
10．【解答】解：（﹣）﹣1+|2﹣|＝﹣2+2﹣＝﹣；
故答案为﹣；
11．【解答】解：设盒子内白色乒乓球的个数为x，
根据题意，得：＝，
解得：x ＝4，
经检验：x ＝4是原分式方程的解， ∴盒子内白色乒乓球的个数为4， 故答案为：4．
12．【解答】解：∵方程3x 2+4x ﹣k ＝0有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即42﹣4×3×（﹣k ）＞0，
解得k ＞﹣，
故答案为：k ＞﹣．
13．【解答】解：由图可知，该班一共有学生：8+16+12+4＝40（人），
该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为：（0.5×8+1×16+1.5×12+2×4）÷40＝1.15（小时）． 故答案为1.15．
14．【解答】解：连接OA ，设半径为x ，
∵将劣弧沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，
∴OC ＝，OC ⊥AB ，
∴AC ＝
＝
，
∵OA 2﹣OC 2＝AC 2，
∴，
解得，x ＝3．
故答案为：3
．
15．【解答】解：由作法得BD 平分∠ABC ， ∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝60°，
∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°， ∴DA ＝DB ，
在Rt △BCD 中，BD ＝2CD ， ∴AD ＝2CD ， ∴
＝
．
故答案为．
16．【解答】解：∵x 2﹣4x ﹣12＝0即x （x ﹣4）＝12，
∴构造如图②中大正方形的面积是（x +x ﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42， 据此易得x ＝6． 故答案为：②．
三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）
17．【解答】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，其中点C 1的坐标为（﹣2，﹣1）．
（2）如图所示，△A 2B 2C 1即为所求．
18．【解答】解：
+1＝
，
方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣1），得 2（x ﹣1）+（x +2）（x ﹣1）＝x （x +2）， ∴x ＝4，
将检验x ＝4是方程的解； ∴方程的解为x ＝4；
19．【解答】解：解不等式﹣≥1，得：x ≥4，
解不等式
＜x +2，得：x ＞﹣7，
则不等式组的解集为﹣7＜x ≤4．
20．【解答】解：（1）设每位男生的化妆费是x 元，每位女生的化妆费是y 元，
依题意得：．
解得：
．
答：每位男生的化妆费是20元，每位女生的化妆费是30元；
（2）设男生有a 人化妆，
依题意得：≥42．
解得a ≤37． 即a 的最大值是37． 答：男生最多有37人化妆．
21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝90°， ∵EF ⊥CE ， ∴∠FEC ＝90°，
∴∠AFE +∠AEF ＝∠AEF +∠DEC ＝90°， ∴∠AFE ＝∠DEC ，
在△AEF 与△DCE 中，，
∴△AEF ≌△DCE （AAS ）， ∴AF ＝DE ；
（2）解：∵DE ＝AD ，
∴AE ＝DE ， ∵AF ＝DE ，
∴tan∠AFE＝＝．
22．【解答】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为；
（2）列表如下：
四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分）23．【解答】解：（1）证明∵AB＝BC
∴∠A＝∠C
∵OD＝OA
∴∠A＝∠ADO
∴∠C＝∠ADO
∴OD∥BC
（2）如图，连接BD，
∵∠A＝30°，∠A＝∠C
∴∠C＝30°
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD
∵OD∥BC
∴DE⊥BC
∴∠BED＝90°
∵AB为⊙O的直径
∴∠BDA＝90°，∠CBD＝60°
∴＝tan∠C＝tan30°＝
∴BD＝CD
∴＝cos∠CBD＝cos60°＝
∴BE＝BD＝CD
∴＝
24．【解答】解：（1）∵与m轴相交于点P（，0），
∴OB＝，
∵∠ABC＝30°，
∴OA＝1，
∴S＝＝；
（2）∵B（0，），A（1，0），
设AB的解析式y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+；
（3）在移动过程中OB＝﹣m，则OA＝tan30°×OB＝（﹣m）＝1﹣m，
∴s＝×（﹣m）×（1﹣m）＝﹣m+，（0≤m≤）
当m＝0时，s＝，
∴Q（0，）．
25．【解答】解：（1）400米跑道中一段直道的长度＝（400﹣2×36×3.14）÷2＝86.96 m （2）表格如下：
y＝2πx+400＝6.28x+400；
（3）当y＝446时，即6.28x+400＝446，
解得：x≈7.32 m
7.32÷1.2≈6 条
∴最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条．
26．【解答】解：（1）∵MQ⊥BC，
∴∠MQB＝90°，
∴∠MQB＝∠CAB，又∠QBM＝∠ABC，
∴△QBM∽△ABC；
（2）当BQ＝MN时，四边形BMNQ为平行四边形，
∵MN∥BQ，BQ＝MN，
∴四边形BMNQ为平行四边形；
（3）∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵△QBM∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
解得，QM＝x，BM＝x，
∵MN∥BC，
∴＝，即＝，
解得，MN＝5﹣x，
则四边形BMNQ的面积＝×（5﹣x+x）×x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．。