由一道IMO预选题引发的探究

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2018 年第 3 期

河北理科教学研究
短文集锦
ca)∙(b2 + ca + b2)(c2 + ca + a2) ≥ (ab + bc + ca)∙(bc + ca + ab)2 =(ab + bc + ca)3 . 即知①式成立 .
[4] 王亚红 . IMO31 一道预选题的简证[J]. 数学通 讯，2009（3 下半月）.
[5] 安振平 .IMO42 第 2 题加强推广的简单证明[J]. 中学数学教学参考（上旬），2011（9）.
同理可证以下问题 3 和问题 4. 问题 3 已知 a,b,c ∈ R+ ，求证: (b2 + bc + c2)(c2 + ca + a2) ≥ (2c2 + ab)(ab + bc +ca) .③ 问题 4 已知 a,b,c ∈ R+ ，求证: (c2 + ca + a2)(a2 + ab + b2) ≥ (2a2 + bc)(ab + bc +ca) .④ 不等式②、③、④结构对称、优美，如果 改变它们的结构，又可得到: 问题 5 已知 a,b,c ∈ R+ ，求证: (a2 + bc + b2)(a2 + ca + b2) ≥ (a2 + ab + b2)(ab +bc + ca) .⑤ 证明：将不等式⑤两边展开后，整理得 a4 + b4 + a2b2 + abc2 ≥ a3b + ab3 + a2bc + ab2c . 此 式通过以下五个不等式 a4 + b4 ≥ a3b + ab3 ，
2018 年第 3 期
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由一道IMO预选题引发的探究
问 题 1 （第 31 届 IMO 预 选 题）设 a,b,c ∈ R+ ，试 证: (a2 + ab + b2)(b2 + bc + c2)(c2 +ca + a2) ≥ (ab +bc + ca)3 .①
笔者利用不等式①两边各项的结构特 点，从减项和对称的角度出发，获得了几个 相关的不等式 . 由此可以得到不等式①的另 一种更为简单的证明及其加强 .
a4 + a2b2 ≥ 2a3b ，b4 + a2b2 ≥ 2ab3 ，abc2 + a3b ≥ 2a2bc ，abc2 + ab3 ≥ 2ab2c 相加即得 . 由此可 知⑤式成立 .
同理可证以下问题 6 和问题 7. 问题 6 已知 a,b,c ∈ R+ ，求证: (b2 + ca + c2)(b2 + ab + c2) ≥ (b2 + bc + c2)(ab + bc + ca) .⑥ 问题 7 已知 a,b,c ∈ R+ ，求证: (c2 + ab + a2)(c2 + bc + a2) ≥ (c2 + ca + a2)(ab +bc + ca) .⑦ 在不等式②、③、④中，出现了“ 2a2 + bc ，2b2 + ca ，2c2 + ab ”这三项，对其继续探 究，得到: 问 题 8 已 知 a,b,c ∈ R+ ，求 证: (2a2 + bc)(2b2 + ca)(2c2 + ab) ≥ (ab + bc + ca)3. ⑧ 证明：将⑧式两边展开后，整理得 3(a3b3 +b3c3 + c3a3) + 2abc(a3 + b3 + c3) + 3a2b2c2 ≥ 3abc (a2b + ab2 + b2c + bc2 + c2a + ca2)（*）. 由 三 元 均 值不等式及舒尔不等式，得3(a3b3 + b3c3 + c3a3) ≥ a3b3 + b3c3 + c3a3 + 6a2b2c2 ≥ (ab)2(bc) +(ab)(bc)2 +(bc)2(ca) +(bc)(ca)2 +(ca)2(ab) +(ca)(ab)2 + 3a2b2c2 = abc(ab2 + b2c + bc2 + c2a +ca2 + a2b) + 3a2b2c2 ， 2abc(a3 + b3 + c3 + 3abc) ≥ 2abc(a2b + ab2 + b2c + bc2 + c2a + ca2) . 以上二式两边分别相加，即得 （*）式 . 由此可知⑧式成立 . 有了上述探究，可以获到不等式①的另 一种更为简单的证明及其加强 . 不等式①的证明：由不等式②以及柯西 不等式，得 (a2 + ab + b2)(b2 + bc + c2)(c2 + ca + a2) ≥ (2b2 + ca)(ab + bc + ca)(c2 + ca + a2) =(ab + bc +
问 题 2 已 知 a,b,c ∈ R+ ，求 证: (a2 + ab +b2)(b2 + bc + c2) ≥ (2b2 + ca)(ab + bc +ca) .②
证明：将不等式②两边展开后，整理得 a2b2 + b2c2 + b4 ≥ ab3 + b3c + ab2c . 此 式 通 过 以 下 三 个 不 等 式 a2b2 + b2c2 ≥ 2ab2c ，b2c2 + b4 ≥ 2b3c ，b4 + a2b2 ≥ 2ab3 相加即得 . 由此可知 ②式成立 .
不等式①的加强，即为以下问题 9. 问题 9 已知 a,b,c ∈ R+ ，求证: (a2 + ab + b2)2(b2 + bc + c2)2(c2 + ca + a2)2 ≥ (ab + bc + ca)3(2a2 +bc)(2b2 + ca)(2c2 + ab) ≥ (ab + bc + ca)6 .⑨ 证明：将上述不等式②、③、④两边分别 相乘后，再利用不等式⑧，即得⑨式 . 综上可见，在经典的竞赛不等式的背后 往往蕴藏着一些优美的隐形不等式，需要研 究者去不断的探究与发现，从而丰富和充实 我们的数学问题 .
参考文献
[1] 黄光文 . 运用 a2 + ab + b2 的变式证明一类不等 式[J]. 数学通讯，2007（17）.
[2] 王根章 . 数学问题与解答第 395 题 . 数学教学， 1996（4）.
[3] 王杨，剡智琪 . 对数学问题解答栏中若干数学 问题的感悟[J]. 数学通报，2003（6）.