两个空间向量垂直的公式

两个空间向量垂直的公式
“两个空间向量垂直的公式”，也称为叉积公式，是在空间上判断两条线段是否垂直的一种计算方法。

它是由三角函数的知识扩展而来的，可以用于计算两个空间向量之间的夹角，也可以用来判断两条线段之间的垂直关系。

叉积公式有两种形式：一种是矢量形式，另一种是矩阵形式。

矢量形式：设
$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$、
$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 是两个空间中的两个向量，它们的叉积为：
$$\overrightarrow{a}\times
\overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)$$
矩阵形式：若已知两个空间中的两个向量：
$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$、
$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$，则它们的叉积可写成如下矩阵形式：
$$\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}$$
根据叉积公式，可以判断两个空间向量是否垂直，即可以判断两条线段是否垂直，若两个空间向量的叉积为零
向量，则证明这两个向量垂直。

例如设$\overrightarrow{a}=(6,4,0)$ 、
$\overrightarrow{b}=(3,2,-1)$ 是两个空间中的向量，
则它们的叉积为：
$$\begin{aligned} \overrightarrow{a}\times
\overrightarrow{b}&=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)\\ &=(4\times(-1)-0\times2, 0\times 3 - 6\times (-1), 6\times 2 - 4\times 3 )\\ &=(-
4,18,-12) \end{aligned}$$
可以看出，叉积不为零向量，因此
$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$不垂直。

另外，叉积公式还可以用于计算两个空间向量之间的夹角，如果$\overrightarrow{a},
\overrightarrow{b}$ 共线，则它们之间的夹角为
$0^{\circ}$ 或者 $180^{\circ}$ ；若它们不共线，则可以用叉积公式求出它们之间的夹角，具体公式如下：$$\theta=cos^{-1}(\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overright arrow{b}|})$$
其中$\cdot$ 表示点积，$|\overrightarrow{a}|$表示$\overrightarrow{a}$的模，$cos^{-1}$表示反余弦函数，即：
$\theta=arccos(\frac{\overrightarrow{a}\cdot
\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overright arrow{b}|})$
例如设$\overrightarrow{a}=(2,2,2)$ 、
$\overrightarrow{b}=(1,2,3)$ 是两个空间中的向量，则它们之间的夹角为：
$$\theta=arccos(\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overright arrow{b}|})=arccos(\frac{14}{12\sqrt{3}})=54.7356^{ \circ}$$
综上所述，叉积公式是一种测量空间中两向量夹角的方法，也可以用来判断两条线段之间的垂直关系，它的计算公式有两种形式，分别是矢量形式和矩阵形式，它可以用于计算两个空间向量之间的夹角，也可以用来判断两条线段之间的垂直关系。