2012年普通高等学校招生全国统一考试上海卷文科数学(2012年上海市高考文科数学)

2012年普通高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷(文史类)
1.计算：3i 1i
-+＝________(i 为虚数单位).
1﹣2i 3i 1i -+＝(3i)(1i)(1i)(1i)
--+-＝24i 2-＝1﹣2i.
2.若集合A ＝{x |2x ﹣1>0}，B ＝{x ||x |<1}，则A ∩B ＝__________.
1|x 12x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ 由A ＝1|2x x ⎧
⎫>⎨⎬⎩
⎭，B ＝{x |﹣1<x <1}，
则A ∩B ＝1|x 12
x ⎧⎫<<⎨⎬⎩
⎭
.
3.函数f (x )＝
sin 21cos x x
- 的最小正周期是__________.
π f (x )＝sin x cos x ﹣2＝12
sin2x ﹣2，
所以T ＝2π2
＝π.
4.若d ＝(2，1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示). arctan 12
设直线l 的倾斜角为α，则tanα＝12
，所以α＝arctan 12
.
5.一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________. 6π 由底面周长为2π可得底面半径为1.
S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π， 所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.
6.方程4x ﹣2x ＋
1﹣3＝0的解是__________.
log 23 原方程可化为(2x )2﹣2×2x ﹣3＝(2x ﹣3)(2x ＋1)＝0，所以2x ＝3，x ＝log 23.
7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12
为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim
n →∞
(V 1＋V 2＋…＋V n )＝__________.
87 根据题意，可知V 1＝1，V 2＝3
12⎛⎫ ⎪⎝⎭，V 3＝3
14⎛⎫ ⎪⎝⎭，V 4＝3
18⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，V n
＝3
112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 所以V 1＋V 2＋V 3＋…＋V n
＝33112112n
⎛⎫
- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝381172n
⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 所以lim n →+∞
(V 1＋V 2＋…＋V n )＝381lim 172n n →+∞
⎛⎫- ⎪
⎝⎭
＝87
. 8.在6
1x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的二项展开式中，常数项等于__________.
﹣20 因为6
1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝06C x x 6＋16C x x 51x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋26C x x 42
1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋36C x x 33
1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋46C x x 24
1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋5
561C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋6
661C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
所以该式展开式中的常数项为﹣36
C ＝﹣20. 9.已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (﹣1)＝__________. 3 由g (1)＝f (1)＋2＝1，得f (1)＝﹣1.
由f (x )为奇函数得f (﹣1)＝1.
所以g (﹣1)＝f (﹣1)＋2＝1＋2＝3.
10.满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y ﹣x 的最小值是__________.
﹣2 约束条件可化为不等式组22,0,0,22,0,0,22,0,0,22,0,0.
x y x y y x x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪
-≤≤≥⎪⎨
--≤≤≤⎪⎪-≤≥≤⎩
求z ＝y ﹣x 最小值，即可转化为求y ＝x ＋z 在y 轴上截距的最小值.
由线性规划，可知(2，0)为最优解，所以z min ＝0﹣2＝﹣2.如上图所示.
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是__________(结果用最简分数表示).
23
三位同学共有33＝27种选法，有且仅有两人选择项目相同的种数有211332C C C ＝18， 故所求概率为1827
＝23
.
12.在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2，1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||
BM BC ＝
||||
CN CD ，则AM ·AN 的取值范围是__________.
[1，4] 以A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的坐标系.
设BM 长为x ，由题意得1
x ＝2
CN ，则CN ＝2x ，
所以点M 的坐标为(2，x )，点N 的坐标为(2﹣2x ，1). 所以AM ·AN ＝4﹣4x ＋x ＝4﹣3x ，x ∈[0，1]. 所以AM ·AN 的取值范围为[1，4].
13.已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0，0)，B 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
，C (1，0).函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与
x 轴围成的图形的面积为__________.
14
由题意知f (x )＝12,0,2122,x 1,2x x x ⎧
≤≤⎪⎪⎨⎪
-
+<≤⎪⎩
则xf (x )＝2
212,0x ,2122x,x 1.2x x ⎧≤≤⎪⎪⎨
⎪-+<≤⎪⎩
设所求面积为S ，则S 如图中阴影部分所示.
所以，S ＝12
0 ⎰
2x 2d x ＋
1
12
⎰(﹣2x 2＋2x )d x ＝
23×3
12⎛⎫ ⎪⎝⎭＋213⎛⎫-+ ⎪⎝⎭﹣32211322⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥
⎣⎦＝14.
14.已知f (x )＝11x
+，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n ).若a 2010＝a 2012，则a 20＋a 11的值是
__________.
由a n ＋2＝f (a n )＝11n
a +，a 1
＝1，
可得a 3＝1
11a +＝12
，a 5＝3
1
1a +＝11
12
+＝23
，
a 7＝1213+＝35
，a 9＝1315
+
＝58
，
a 11＝1518
+
＝813
.
由a 2012＝
2?010
11a +＝a 2010，可得a 2010＝a 2012
，
则a 2＝a 4＝…＝a 20＝a 2n ＝a 2010＝a 2012
.
所以a 20＋a 11
＋813
15.若1
是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ).
A ．b ＝2，c ＝3
B ．b ＝2，c ＝﹣1
C ．b ＝﹣2，c ＝﹣1
D ．b ＝﹣2，c ＝3 D 由x 1＝1
，知x 2＝1
则x 1＋x 2＝2＝﹣b ，即b ＝﹣2;
x 1x 2＝(1
＝1﹣2i 2＝3＝C ．
16.对于常数m ，n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ). A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
B 由mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，可知m >0，n >0，m ≠n ，
所以m >0，n >0且m ≠n ⇒mn >0. 而显然mn >0m >0，n >0且m ≠n .
17.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ). A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定
A 由sin 2A ＋sin 2
B <sin 2
C ，得a 2＋b 2<c 2，
所以cos C ＝222
2a b c ab
+-<0，所以∠C 为钝角，
即△ABC 为钝角三角形.
18.若S n ＝sin π7
＋sin 2π7
＋…＋sin π7
n (n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( ).
A ．16
B ．72
C ．86
D ．100
C 由sin π7
＝﹣sin 8π7
，sin 2π7
＝﹣sin 9π7
，…，sin 6π7
＝﹣sin 13π7
，sin 7π7
＝sin 14π7
＝0，
所以S 13＝S 14＝0.
同理S 27＝S 28＝S 41＝S 42＝S 55＝S 56＝S 69＝S 70＝S 83＝S 84＝S 97＝S 98＝0， 所以在S 1，S 2，…，S 100中，其余各项均大于0. 故选C ．
19.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC ＝π2
，AB ＝2，AC ＝P A
＝2.求：
(1)三棱锥P ABC 的体积;
(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示).
解：(1)S △ABC ＝12
×2×23＝23，三棱锥P ABC 的体积为V ＝13
S △ABC ×P A ＝13
×23×2＝43.
(2)取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，
所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角.
在△ADE 中，DE ＝2，AE AD ＝2，
cos ∠ADE ＝22
222222+-⨯⨯＝34
，
所以∠ADE ＝arccos 34
.
因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是arccos 34
.
20.已知f (x )＝lg(x ＋1).
(1)若0<f (1﹣2x )﹣f (x )<1，求x 的取值范围;
(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1，2])的反函数.
解：(1)由220,10,
x x ->⎧⎨
+>⎩得﹣1<x <1. 由0<lg(2﹣2x )﹣lg(x ＋1)＝lg 221
x x -+<1得1<221x x -+<10.
因为x ＋1>0，所以x ＋1<2﹣2x <10x ＋10，﹣23
<x <13
.
由11,21x ,3
3x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得﹣23<x <13.
(2)当x ∈[1，2]时，2﹣x ∈[0，1]，
因此y ＝g (x )＝g (x ﹣2)＝g (2﹣x )＝f (2﹣x )＝lg(3﹣x ). 由单调性可得y ∈[0，lg2].
因为x ＝3﹣10y ，所以所求反函数是y ＝3﹣10x ，x ∈[0，lg2].
21.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249
x 2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后，失事
船所在位置的横坐标为7t .
(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72
，代入抛物线方程y ＝1249
x 2，得P 的纵坐标y P ＝3.
由|AP |
/时.
由tan ∠OAP ＝730
，得∠OAP ＝arctan 730
，
故救援船速度的方向为北偏东arctan 730
弧度.
(2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t ，12t 2). 由vt
整理得v 2＝144221t t ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
＋337.
因为t 2＋2
1t ≥2，当且仅当t ＝1时等号成立，
所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 22.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2﹣y 2＝1.
(1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若|MF |＝
，求点M 的坐标;
(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(3)设斜率为k (|k
的直线l 交C 于P ，Q 两点，若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .
解：(1)双曲线C ：21
2
x ﹣y 2＝1，左焦点
F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 设M (x ，y )，则|MF |2
＝2
x ⎛+ ⎝⎭＋y 2
＝2
⎭
， 由M 点是右支上一点，知x
所以|MF |
得x
所以
M ⎝. (2)左顶点
A ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝
⎭
，渐近线方程：y
. 过点A 与渐近线y
平行的直线方程为：
y
x ⎭
，即y
＋1.
解方程组1,y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩
得1.2x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪
=⎪⎩
所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |
(3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋B ． 因直线PQ
1，
即b 2＝k 2＋1.(*)
由22
,21,y kx b x y =+⎧⎨-=⎩得(2﹣k 2)x 2﹣2kbx ﹣b 2﹣1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则12221222,21.2kb x x k b x x k ⎧
+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩
又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以
OP ·OQ ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2
＝222(1)(-1)2k b k +--＋22222k b k -＋b 2＝22
2
12b k k -+--.
由(*)知，OP ·OQ ＝0，所以OP ⊥OQ .
23.对于项数为m 的有穷数列{a n }，记b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }(k ＝1，2，…，m )，即b k 为a 1，a 2，…，a k
中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列.如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.
(1)若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a n };
(2)设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k ＋b m ﹣k ＋1＝C (C 为常数，k ＝1，2，…，m )，求证：b k ＝a k (k ＝1，2，…，m );
(3)设m ＝100，常数a ∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
，若a n ＝an 2﹣(﹣1(1)2
)n n +n ，{b n }是{a n }的控制数列，求(b 1﹣a 1)＋(b 2﹣a 2)＋…
＋(b 100﹣a 100).
解：(1)数列{a n }为：2，3，4，5，1;2，3，4，5，2;2，3，4，5，3;2，3，4，5，4;2，3，4，5，5.
(2)因为b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }，
b k ＋1＝max{a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1}，所以b k ＋1≥b k . 因为a k ＋b m ﹣k ＋1＝C ，a k ＋1＋b m ﹣k ＝C ，
所以a k ＋1﹣a k ＝b m ﹣k ＋1﹣b m ﹣k ≥0，即a k ＋1≥a k . 因此，b k ＝a k .
(3)对k ＝1，2，…，25， a 4k ﹣3＝a (4k ﹣3)2＋(4k ﹣3); a 4k ﹣2＝a (4k ﹣2)2＋(4k ﹣2); a 4k ﹣1＝a (4k ﹣1)2﹣(4k ﹣1); a 4k ＝a (4k )2﹣(4k ).
比较大小，可得a 4k ﹣2>a 4k ﹣3.
因为12
<a <1，
所以a 4k ﹣1﹣a 4k ﹣2＝(a ﹣1)(8k ﹣3)<0， 即a 4k ﹣2>a 4k ﹣1;
a 4k ﹣a 4k ﹣2＝2(2a ﹣1)(4k ﹣1)>0，即a 4k >a 4k ﹣2. 又a 4k ＋1>a 4k ，
从而b 4k ﹣3＝a 4k ﹣3，b 4k ﹣2＝a 4k ﹣2，b 4k ﹣1＝a 4k ﹣2;b 4k ＝a 4k . 因此(b 1﹣a 1)＋(b 2﹣a 2)＋…＋(b 100﹣a 100) ＝(a 2﹣a 3)＋(a 6﹣a 7)＋…＋(a 98﹣a 99) ＝25
1k =∑(a 4k ﹣2﹣a 4k ﹣1)
＝(1﹣a )25
1
k =∑(8k ﹣3)＝2525(1﹣a ).。