2014届高中数学文教师备选作业：第10章 第三节 变量间的相关关系与统计案例

第十章 第三节 变量间的相关关系与统计案例
一、选择题
1.设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是( )
A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率
B ．x 和y 的相关系数在0到1之间
C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
D ．直线l 过点(x ，y )
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
算得，
K 2
＝110×(40×30－20×20)2
60×50×60×50
≈7.8.
附表：
参照附表，得到的正确结论是( )
A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
3．一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^
＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A ．身高一定是145.83 cm
B ．身高在145.83 cm 以上
C ．身高在145.83 cm 左右
D ．身高在145.83 cm 以下
4．如图5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )
A ．相关系数r 变大
B ．残差平方和变大
C ．相关指数R 2变大
D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强
5．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^
＝－10x ＋200 B.y ^
＝10x ＋200 C.y ^
＝－10x －200
D.y ^
＝10x －200
6．下列四个命题正确的是( )
①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
③用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好； ④随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E (e )＝0. A ．①③ B ．②④ C ．①④
D ．②③
二、填空题
7．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^
＝0.254x ＋0.321.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
9．第二十届世界石油大会将于2011年12月4日～8日在卡塔尔首都多哈举行，能源问题已经成为全球关注的焦点．某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：吨)有如下几组样本数据：
根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年大约消耗的汽油为________吨．
三、解答题
10．已知x ，y 的一组数据如下表：
(1)从x ，y 中各取一个数，求x ＋y ≥10的概率；
(2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋1
2，试利用“最
小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好．
11．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩.
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．(其中，数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，
b ^＝
∑i ＝1
n
(x i －x －)(y i －y －
)∑i ＝1
n
(x i －x －
)2
，a ^＝y －－b ^x －)
12．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)
乙(50岁以上)
(1)
(2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：
(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．
附：K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
.
详解答案
1. 解析：回归直线过样本中心(x ，y )． 答案：D
2．解析：根据独立性检验的思想方法，正确选项为A. 答案：A
3．解析：用回归模型y ^
＝7.19x ＋73.93，只能作预测，其结果不一定是一个确定值． 答案： C
4．解析：相关系数r 越接近1，R 2越大，残差平方和越小，拟合效果越好． 答案：B
5．解析：由图象可知，选项B 、D 为正相关，选项C 不符合实际意义，只有A 项符合要求．
答案：A
6．解析：线性相关系数r 满足|r |≤1，并且|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越接近0，线性相关程度越弱，故①错误；③相关指数是度量模型拟合效果的一种指标．相关指数越大，模型拟合效果越好．故②④正确
答案：B 二、填空题
7．解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^
＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
8．解析：设父亲身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则
x －＝173，y －＝176，b ^＝0×(－6)＋(－3)×0＋3×602＋9＋9
＝1，
a ^＝y －－
b ^x －＝176－1×173＝3，∴y ^＝x ＋3，当x ＝182时，y ^
＝185. 答案：185
9．解析：由题知，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.5
4＝3.5，故样本数据的中心
点为A (4.5,3.5)．设回归方程为y ＝0.7x ＋b ，将中心点坐标代入得：3.5＝0.7×4.5＋b ，解得b ＝0.35，故回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，所以当x ＝10时，y ＝0.7×10＋0.35＝7.35，即该工厂每年大约消耗的汽油为7.35吨．
三、解答题
10．解：(1)从x ，y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对．故所求概率P ＝925
.
(2)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 1＝(4
3－1)2＋(2
－2)2＋(3－3)2＋(103－4)2＋(113－5)2＝7
3
.
用y ＝12x ＋1
2作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 2＝(1－1)2＋
(2－2)2＋(72－3)2＋(4－4)2＋(92－5)2＝1
2.
∵S 2<S 1，∴直线y ＝12x ＋1
2
的拟合程度更好．
11．解：(1)∵x －
＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，
y －
＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100，
∴s 2数学＝9947＝142，∴s 2物理＝250
7
， 从而s 2数学>s 2物理，∴该生的物理成绩更稳定．
(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，
∴b ^＝
i ＝1
7x i y i －7
x － y
－i ＝1
7x 22－7x －2
＝497994
＝0.5，a ^＝y －－b ^x －
＝100－0.5×100＝50， ∴线性回归方程为y ^
＝0.5x ＋50.当y ＝115时，x ＝130. 建议：
进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，这将有助于物理成绩的进一步提高． 12．解：(1)在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．
(2)2×2的列联表如下：
主食肉类
(3)因为K 2
＝30×(8－128)212×18×20×10＝30×120×120
12×18×20×10
＝10>6.635，
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．。