河南省实验中学2022-2023学年下期期中高二数学试卷含答案

河南省实验中学2022-2023学年下期期中试卷
高二 数学
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知函数()sin cos f x x x x =+，则()(f x '= ) A ．cos x x
B ．cos x x -
C ．2sin cos x x x +
D ．sin x x
2.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且3781a a =，则313539log log log (a a a ++= ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3.将3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有( )排法． A ．120
B ．24
C ．48
D ．96
4.已知n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且51013S S =，那么520
(=S
S ) A ．19
B ．
110
C ．1
8
D ．13
5.若443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，则41032(-+-=+a a a a a ) A ．1-
B ．1
C ．15
D ．16
6.数列{}n a 中，11a =，12(2n
n n a a n a +=+为正整数）
，则(n a = ) A ．
1
2
n + B ．21
n + C ．
21
n
n + D ．
1
2n n
+ 7.函数3211
()132=++-f x x ax x 存在两个极值点，则实数a 的取值范围是( )
A ．()()+∞-∞-,,22
B ．(][)+∞-∞-,,22
C ．()22,-
D ．[]22,-
8.将4个A 和2个B 随机排成一行，则2个B 不相邻的概率为( ) A ．1
3
B ．25
C ．23
D ．45
9.函数2()2f x lnx ax =+-在区间(1,4)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是( ) A ．1
(,)32
-∞-
B ．1
(,)2
-∞-
C ．1(,]32-∞-
D ．1
(,]
2
-∞-
10.数列{}n a 满足14a =，132n n a a +=-，*n N ∀∈，(1)28n n a a λ-<-，则实数λ的取值范围是( ) A ．(,9)-∞-
B ．(,8)-∞-
C ．(12,9)--
D ．(12,7)--
11.设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且满足()()1f x f x >'+，(0)2023f =，则不等式()2022x x e f x e -->+（其中e 为自然对数的底数）的解集是( ) A ．(2022,)+∞ B ．(,2023)-∞
C ．(0,2022)
D ．(,0)-∞
12.设1111
,tan ,101011
a ln
b c ===，则( ) A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．c a b <<
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在26(21)+x 的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答） 14.设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，若23
39
-=
+n n S n T n ，则2
2
=a b ． 15.在学雷锋志愿活动中，安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有 种．
16.已知正实数x ，y 满足x
e ylnx ylny =+，则-x
e lny x
的最小值为 ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其 余试题每题12分）
17.已知{a n }满足：()
*
+-∈≥+=N n ,n a a a n n n 2211，11=a ，3235a a =．
(1)求a n ； (2)令()
*n n n N n a a b ∈⋅=+1
1
，求数列{b n }的前n 项和T n ．
18.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x ()R a ∈．
(1)若函数在x ＝1处的切线与直线x －y －2＝0垂直，求实数a 的值； (2)当a >0时，讨论函数的单调性．
19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
*∈=+N n a S n n 312． (1)求n a ； (2)求数列{}n na 的前n 项和n T ．
20.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD CD AD 22==，M 为BC 的中点．
(1)证明：AM ⊥平面PBD ； (2)求二面角P －AM －D 的正弦值．
21.已知椭圆()22
22:10+=>>x y C a b a b ，离心率12=e ，过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
． (1)求C 的方程；
(2)直线l 过点()10,M ，交椭圆与A 、B 两点，记()30,N ，证明0=+NB NA k k ．
22.已知函数()1=--x f x e ax ．
(1)若0>x 时，()0>x f 恒成立，求a 的取值范围； (2)记()2
2
1x x g =
，讨论函数()x f 与()x g 的交点个数．
河南省实验中学2022--2023高二数学期中考试答案
13． 12 14．
6
15．150 16．1 9.解：函数2
()2f x lnx ax =+-的定义域是(0,)+∞，2121
()20+'=+=<ax f x ax x x
在()41,有解，
即大212⎪⎭⎫
⎝⎛-<x a ，即1612-<a ，解得132a <-，所以a 的取值范围是1(,)32-∞-．
10.解：数列{}n a 满足132n n a a +=-，则113(1)n n a a +-=-，且113a -=，
∴数列{1}n a -是以3为首项，3为公比的等比数列，则11333n n n a --=⨯=，即31n n a =+，
又*n N ∀∈，(1)28n n a a λ-<-，转化为3327n n λ<-对*n N ∈恒成立，即27
13n
λ<-， 又数列27{1}3n -
是递增数列，则当1n =时，27
(1)83min n
-=-，即8λ<-， 故实数λ的取值范围是(,8)-∞-． 11.解：设()1
()x
f x
g x e -=
，()()1f x f x >'+，即()()10f x f x '-+<，
()()1
()0x
f x f x
g x e '-+∴'=
<，()g x ∴在R 上单调递减，又(0)2023f =，
∴不等式0
()1(0)1
()20222022(0)1x x x f x f e f x e f e e ---->+⇔
>=-=， 即()(0)g x g >，0x ∴<，∴原不等式的解集为(,0)-∞． 12.解：由11
(1)tan 1010
a b ln -=+-，令()(1)tan f x ln x x =+-，0x >， 所以211()1cos f x x x '=
-+，因为21cos [1,1],(,1]cos x x
∈--∈-∞-， 因为0x >，所以11x +>，1
011
x <
<+，故()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 又(0)(10)tan00f ln =+-=，所以1
()(0)010f f <=，
所以11(1)tan 01010ln +
-<，即111
tan 1010
ln <，所以a b <． 由11
(1)1111
a c ln -=--
-，
令()(1)gx l n x x =---，01x <<，所以1()1011x
g x x x
'=
-=>--，所以()g x 在(0,1)上单调递增，所以1()(0)10011g g ln >=--=，所以11
(1)01111
ln --->，
即111
1011
ln
>，所以a c >，综上，c a b <<． 16.解：x e ylnx ylny =+，x e ylnxy ∴=即x xe xylnxy =，
设()x f x xe =，则()()f x f lnxy =，且()(1)x f x e x '=+，所以()f x 在(1,)-+∞上单调递增， 正实数x ，y ，01x e ylnxy e ∴=>=，即1
0l n x y y
>>，所以()()f x f lnxy =，等价于x lnxy =， 即=x e y x ，则ln 1⎛⎫
-=-=-≥
⎪⎝⎭
x x
x e e e lny ln y y x x x
，于是最小值为1． 17.解：(1){a n }满足：()
*+-∈+=N n a a a n n n 112，则{a n }为等差数列，11=a ，3235a a =， 即()()d d 21315+=+，解得2=d ，12-=n a n ；......................5分 (2) ()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-=⋅=
+121121*********n n n n a a b n n n ，
则1
2121121121121513131121+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
⎪⎭⎫
⎝⎛+--++-+-=n n
n n n T n ．......................10分 18.解：函数定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x )＝2x －2＋a
x ．
(1)由已知得f ′(1)＝2×1－2＋a ＝－1，得a ＝－1．..............4分
(2)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2
－2x ＋a x
(x >0)，对于方程2x 2
－2x ＋a ＝0，记Δ＝4－8a . ①当Δ≤0，即a ≥1
2时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
②当Δ>0，即0<a <1
2时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1－1－2a 2，x 2＝1＋1－2a 2
.又a >0，故x 2>x 1>0. 当 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--∈22110a ,x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+∞-+,a 2211时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 当⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+--∈22112211a ,a x 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上所述，当a ≥1
2时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
当0<a <12时，函数f (x )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22110a ,上单调递增，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--22112211a ,a 上单调递减， 在⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-+,a 2211上单调递增．..............12分 19.解：(1)当n ＝1时，2a 1+1＝3a 1，∴a 1＝1，又 ，∴可知a n ≠0， 当n ≥2时，由 ，得2S n ﹣1+1＝3a n ﹣1， 两式相减得2a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1，∴a n ＝3a n ﹣1，∴{a n
}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴ ．..............6分
(2)由(1)可得 ，∴ ， ∴ ， ∴
，
∴
．..............12分 20.解： (1)证明：M 为BC 的中点，
∴AD AB
AB AM
==又四棱锥P ABCD -的底面是矩形， ∴2
DAB MBA π
∠=∠=
，Rt DAB Rt ABM ∴∆∆∽，DBA AMB ∴∠=∠， 又2
MBD DBA π
∠+∠=
，∴2
MBD ANB AM DB π
∠+∠=
⇒⊥，
PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， PD AM ∴⊥，又DB
PB B =，且DB ，PB ⊂平面PBD ，AM ∴⊥平面PBD ．........5分
(2)PD ⊥平面ABCD ，又AD ，DC ⊂平面ABCD ，
PD AD ∴⊥，PD DC ⊥，又四棱锥P ABCD -的底面是矩形，
AD DC ∴⊥，∴建立如下图所示的空间直角坐标系，设1=CD ：
(0,0,0),(0,0,1),D P A M ，∴(2,0,1)=-PA ，2(1,0)2
=-MA ，(0,0,1)=DP ， PD ⊥平面ABCD ，∴平面AMD 的法向量为(0,0,1)=DP ，
设平面APM 的法向量为(,,)n x y z =， 则20
2
02⎧⋅=-=⎪⎨⋅=
-=⎪⎩n PA x z n MA x y ，取(2,1,2)n =
， ∴二面角P －AM －D 的余弦值为：
||4|cos ,|||||27
DP n DP n DP n ⋅<>=
==，
于是二面角P －AM －D 的正弦值为
7
21
...............12分
21.解：(1)由题得22222191
412⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪
⎪=+⎪⎩
a b c e a a b c ，解得32==b ,a ，于是22:143+=x y C ；..............4分
(2)直线l 的斜率不存在时，易得0=+NB NA k k ；
直线l 的斜率存在时，可设为1+=kx y :l ，联立方程即22
14
31⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
x y y kx ， 消y 可得()
0884322=-++kx x k ，易得0>∆，设()()2211y ,x B ,y ,x A ， 韦达定理可得2
2
1221438
438k x x ,k k x x +-=+-
=+； 212
121
221122112211222233x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k NB NA +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=-+-=
+， 韦达代入得08
822222
221212121=---=+-=+-=+k
k x x x x k x x x x k k k NB NA ，得证．..............12分 22..解：(1)()1=--x f x e ax ，()∴'=-x f x e a ．
0x >，1x e ∴>，
当1a …时，()0x g x e a '=-…
，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，不等式成立， 当1a >时，()0g lna '=．(0,)x lna ∴∈，()0g x '<，()g x 单调递减，()(0)0g x g ∴<=，这与题设矛盾．综上，a 的取值范围为(-∞，1]．..............5分
(2) 记()()()2112
=-=---x F x f x g x e x ax ，则()00=F ，()'=--x F x e x a ． 记()()'==--x h x F x e x a ，则()1'=-x h x e ，()'h x 单调递增，且由唯一零点0，于是()h x 在
()0，∞-单调递减，()∞+，0单调递增，()h x 在0处取得最小值()01=-h a ．
当()010=-≥h a ，即1≤a 时，()0≥h x ，
故()F x 在R 上单调递增，()F x 在R 上有唯一零点0;
当()010=-<h a ，即1>a 时，()()lim lim →+∞
→+∞
=--→+∞x x x h x e x a ，
()()lim lim →-∞
→-∞
=--→-∞x x x h x e x a ，于是()h x 有两个零点，且210x x <<，
于是()F x 在()1x ，∞-单调递增，()21x x ，单调递减，()∞+，
2x 单调递增， 又()00=F ，则()10>F x ，()20<F x ，()21lim lim 12→+∞→+∞⎛⎫=---→+∞ ⎪⎝⎭
x x x F x e x ax ，
()21lim lim 12→-∞→-∞⎛⎫
=---→-∞ ⎪⎝⎭
x x x F x e x ax ，则由零点存在定理可得()F x 在()1x ，∞-存在唯一零点，()F x 在()∞+，
2x 存在唯一零点，故此时有三个零点． 综上可得1≤a 时，有一个交点；1>a 时，有三个交点．..............12分。