2021年广东省湛江市高考数学测试试卷(二)(肇庆三模)(附详解)

2021年广东省湛江市高考数学测试试卷（二）（肇庆三模）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知复数z =
1−5i 1−i
，则复数z 的虚部为( )
A. 2
B. −2
C. 2i
D. −2i
2. 已知a >b ，则( )
A. lna >lnb
B. a 2>b 2
C. 2a >2b
D. a −1>b −1
3. (1+3x)2+(1+2x)3+(1+x)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 0+a 1+
a 2+a 3+a 4=( )
A. 49
B. 56
C. 59
D. 64
4. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父
子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，
“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2高为2√3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. 16
B. 16√3
C. 18√3
D. 21
5. 函数f(x)=
2x −2−x x 2+1
的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
6. 在∠A =90°的等腰直角△ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( )
A. −2
3
B. −3
2
C. −4
3
D. −1
7. 已知F 是椭圆C ：
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为3
4的
直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为( )
A. √55
B. 1
2
C. √33
D. √22
8. 已知函数f(x)=x 2e 1−x −a 有三个零点，则实数a 的取值范围是( )
A. (0,2
e )
B. (0,4
e )
C. (0,2
e 2)
D. (0,4
e 2)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 某学校组织学生参加劳动实践，学生需要手工制作一种模具，劳动实践结束后，学
校任选了一个班级，统计了该班每人制作的合格品个数，其结果用茎叶图记录如图：
由以上统计结果，下列判断正确的是( )
A. 男生制作合格品个数的方差更大
B. 女生制作合格品个数的分布更接近正态分布
C. 男生制作合格品个数的分布更接近正态分布
D. 该班女生制作合格模具的平均能力要低于男生
10. 已知集合A ={x ∈R|x 2−3x −18<0}，B ={x ∈R|x 2+ax +a 2−27<0}，则下
列命题中正确的是( )
A. 若A =B ，则a =−3
B. 若A ⊆B ，则a =−3
C. 若B =⌀，则a ≤−6或a ≥6
D. 若B ⫋A 时，则−6<a ≤−3或a ≥6
11. 已知函数f(x)=cos2x
1+sinx ，则( )
A. f(x +π)=f(−x)
B. f(x)的最大值为4−2√2
C. f(x)是奇函数
D. f(x)的最小值为−1
2
12. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，1
a
n+1⋅a n
=2n ，则( )
A. 数列{a n}是等比数列
B. a n+1≤a n恒成立
C. S n<3恒成立
D. S n≤2恒成立
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知F1，F2分别是双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P是双曲线
C上一点，且∠F1PF2=π
2
，△F1PF2的面积为a2，则双曲线C的渐近线方程为______．
14.写出一个以(1,0)为对称中心的偶函数______ ，该函数的最小正周期是______ ．
15.现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分
配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为______．
16.在三棱锥D−ABC中，△ABC是以∠A为直角的等腰直角三角形，△DBC是边长为2的
等边三角形，二面角A−BC−D的余弦值为−√6
3
，则三棱锥D−ABC的外接球的表面积为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB=5π
6
，∠ADC=
π
4
，AB=2AC=2√2，CD=1．
(1)求cos∠ACD的值；
(2)求BC的值．
18.已知数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+2=4a n+1−4a n，n∈N∗．
(1)证明数列{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．
19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=3，BC=2，E，
P分别是B1C1和CC1的中点，点F在棱A1B1上，且B1F=2．
(1)证明：A1P//平面EFC；
(2)若AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，求二面角P−CF−E的余弦
值．
20.某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”
两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元．小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元，小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的送单数，并绘制成如下直方图(如图2)．
(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式、“送外卖
员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式；
(2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X 1和“送外卖员”的日薪X 2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的数学期望，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由．
21. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点P(0,4)的动直线l 与抛物线C 交于A ，
B 两点，当F 在l 上时，直线l 的斜率为−2． (1)求抛物线的方程；
(2)在线段AB 上取点D ，满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，证明：点D 总在定直线上．
22. 已知函数f(x)=e x +acosx −√2x −2，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)讨论f′(x)在区间(0,π
2)内极值点的个数；
(2)若x ∈[−π
2,0]时，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．
答案和解析1.【答案】B
【解析】解：复数z=1−5i
1−i =(1−5i)(1+i)
(1−i)(1+i)
=3−2i，
故复数z的虚部为−2．
故选：B．
先利用复数的除法运算求出复数z，然后由虚部的定义求解即可．
本题考查了复数的除法运算以及复数的定义的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A：当a=−2，b=−3时，对数没有意义，故A错误；
对于B：当a=−2，b=−3时，不等式不成立，故B错误；
对于C：根据函数y=2x的性质，2a>2b成立，故C正确；
对于D：当a=0，b=−1时，对于a−1没有意义，故D错误；
故选：C．
直接利用赋值法和不等式的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵(1+3x)2+(1+2x)3+(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，令x=1可得：a0+a1+a2+a3+a4=42+33+24=59．
故选：C．
直接根据等式的特点，令x=1即可求解结论．
本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等， ∵正六棱台的上下底面边长分别为1和2， 则S 1=6×1
2×1×1×√3
2
=
3√3
2，S 2=6×1
2×2×2×
√32
=6√3，
故V =13
(S 1+√S 1S 2+S 2)ℎ=13
×(3√32+6√3
2
+6√3)×2√3=21．
故选：D ．
由已知求出正六棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解． 本题考查棱台体积的求法，考查祖暅原理的应用，是基础的计算题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，f(x)=2x −2−x x 2+1
，其定义域为R ，
有f(−x)=−
2x −2−x x 2+1=−f(x)，函数f(x)为奇函数，排除A ，
又由f(2)=34>1
2，排除BC ， 故选：D ．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除A ，又由f(2)的函数值，排除BC ，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性、函数值符号的分析，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：以A 为原点，建立平面直角坐标系，设B(2,0)，C(0,2)，
则F(1,1)，E(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2)， 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCE
⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以(−2,2)=(λ,λ)+(μ,−2μ)=(λ+μ,λ−2μ)， 所以{λ+μ=−2
λ−2μ=2，
解得λ=−2
3． 故选：A ．
以A 为原点，建立平面直角坐标系，设B(2,0)，C(0,2)，然后结合向量的坐标表示及平面向量基本定理可求．
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．7.【答案】A
【解析】解：由点到直线y+b=3
4x的距离公式可得c=
|3
4
c−b|
√(3
4
)2+1
，又a2=b2+c2，
解得e=c
a =√5
5
．
故选：A．
利用点到直线的距离以及椭圆几何量之间的关系，求解离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由f(x)=x2e1−x−a=0有三个零点得a=x2e1−x有三个零点，
设g(x)=x2e1−x，则g′(x)=e1−x x(2−x)，
当x<0时，g′(x)<0，函数单调递减，当0<x<2时，g′(x)>0，函数单调递增，当x>2时，g′(x)<0，函数单调递减，
因为g(0)=0，g(2)=4
e
，
所以0<a<4
e
．
故选：B．
由已知得a=x2e1−x有三个零点，构造函数g(x)=x2e1−x，对g(x)求导，结合导数分析函数的性质，即可求解．
本题主要考查了函数零点存在条件的应用，分离参数后，转化为求解相应函数的图象交点问题是求解的关键．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由茎叶图中数据知，男生组的数据较为分散，波动性大，所以方差大，女生组的数据比较集中，波动性小，方差小，所以选项A正确；
对于B，女生组的数据比较集中，但对称性不高，不接近于正态分布，所以选项B错误；对于C，男生组的数据较为分散，但对称性好，更接近于正态分布，所以选项C正确；
对于D，男生组的数据分布在20左右，女生组的数据集中在10～20，所以女生组数据的平均值小于男生组，选项D正确．
故选：ACD．
根据茎叶图中男生组的数据和女生组的数据分布情况，对选项中的命题判断正误即可．本题考查了利用茎叶图中的数据对样本的数字特征分析、判断问题，是基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：由已知可得A={x|−3<x<6}，
若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，
当a=−3时，A=B，故D错误，
若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，
当B=⌀时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确，
故选：ABC．
由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．
本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：函数f(x)=cos2x
1+sinx
，
则f(x+π)=cos(2x+2π)
1+sin(x+π)=f(−x)=cos2x
1−sinx
，故A正确；
对于B：f(x)=cos2x
1+sinx =1−2sin2x
1+sinx
=4−(2+2sinx+1
1+sinx
)≤4−2√2，当且仅当sinx=
√2
2
−1时，等号成立，故B正确；
对于C：函数f(−x)≠−f(x)，故C错误；
对于D：f(−π3)=
cos(−2π
3
)
1+sin(−π
3
)
=−
1
2
1−√3
2
=−2−√3<−1
2
，故D错误．
故选：AB．
直接利用三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：S n 是数列{a n }的前n 项和，1
a n+1⋅a n
=2n ，①
所以1
a
n+2⋅a n+1
=2n+1，② ①
②
整理得a n+2a n
=1
2
， 由于a 1=1，所以a 2=1
2，
故数列的奇数项和偶数项分别是以1
2为公比的等比数列； 故A 错误，
由于公比都为1
2，首先为正数，故数列单调递减，故B 正确； 对于C ：根据关系式，整理得a n ={(1
2
)n−12
(n 为奇数)
(12)n 2
(n 为偶数)
，
所以S n ={3−(1
2
)n−2
2
(n 为奇数)
3−3⋅(12)n
2(n 为偶数)
，故C 正确，D 错误．
故选：BC ．
直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用通项公式求出数列的和，最后判定A 、B 、C 、D 的结论．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的前n 项和公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
13.【答案】x ±y =0
【解析】解：F 1，F 2分别是双曲线C ：
x 2a
2−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点P 是双
曲线C 上一点，且∠F 1PF 2=π
2，△F 1PF 2的面积为a 2，
可得：||PF 1|−|PF 2||=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，1
2|PF 1||PF 2|=a 2，解得a =b ，所以双曲线的渐近线方程为：x ±y =0． 故答案为：x ±y =0．
利用双曲线的定义，结合勾股定理，三角形的面积求解a，b关系，然后求解双曲线的渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积以及勾股定理的应用，是中档题．
14.【答案】f(x)=cosπ
2
x4
【解析】解：选择一个具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行分析，
故以(1,0)为对称中心的偶函数可以为f(x)=cosπ
2
x，
该函数的最小正周期为2π
π
2
=4．
故答案为：f(x)=cosπ
2
x；4．
从具有对称性和周期性以及奇偶性的函数进行考虑，即可得到答案．
本题考查了函数的对称性、周期性、奇偶性的理解和应用，解题的关键是掌握常见的基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
15.【答案】1
3
【解析】解：现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，
要求每班至少要分配一个名额，
基本事件总数n=C31+C32=6，
甲班恰好分配到两个名额，则剩下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法，
∴甲班恰好分配到两个名额的概率为P=2
6=1
3
．
故答案为：1
3
．
要求每班至少要分配一个名额，基本事件总数n=C31+C32=6，甲班恰好分配到两个名额，则剩下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法，由此能求出甲班恰好分配到两个名额的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
16.【答案】8π
【解析】解：设BC的中点为E，过E作平面ABC 的法线EO，
过△BCD的重心F作平面DBC的法线OF，
EO与FO的交点为O，则O为三棱锥D−ABC的外接球的球心，
又EF=1
3DE=√3
3
.cos∠DEA=−√6
3
，所以
cos∠FEO=√3
3
，
又cos∠FEO=EF
OE =√3
3
，所以OE=1，
所以外接球的半径为：R=√BE2+OE2=√2，
所以球的表面积为：8π．
故答案为：8π．
画出图形，判断几何体的外接球的球心的位置，求解外接球的半径，然后求解球的表面积．
本题考查几何体的外接球的表面积的求法，判断球心的位置以及求解外接球的半径是解题的关键，是中档题．
17.【答案】解：(1)在△ACD中，由正弦定理知，AC
sin∠ADC =CD
sin∠CAD
，
∴√2
√2
2=1
sin∠CAD
，∴sin∠CAD=1
2
，
∵∠CAD<∠DAB=5π
6，∴∠CAD=π
6
，
∴cos∠ACD=cos[π−(∠CAD+∠ADC)]=−cos(∠CAD+∠ADC)
=−cos(π
6+π
4
)=−cosπ
6
cosπ
4
+sinπ
6
sinπ
4
=√2−√6
4
．
(2)由(1)知，∠CAD=π
6
，
∴∠BAC=∠DAB−∠CAD=5π
6−π
6
=2π
3
，
在△ABC中，由余弦定理知，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos∠BAC=8+2−2×2√2×√2×cos2π
3
=14，
∴BC=√14．
【解析】(1)在△ACD中，由正弦定理可求得∠CAD=π
，再结合三角形的内角和定理、
6
诱导公式与两角和的余弦公式，得解；
(2)易知∠BAC=2π
，在△ABC中，利用余弦定理，即可得解．
3
本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：(1)数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+2=4a n+1−4a n，n∈N∗．整理得a n+2−2a n+1=2(a n+1−2a n)，
由于a2−2a1=0，
=2(常数)，
所以a n+1=2a n，即a n+1
a n
所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列；
所以a n=2n−1．
解：(2)由(1)得：b n=na n=n⋅2n−1，
则T n=1×20+2×21+⋯+n⋅2n−1①，
2T n=1×21+2×22+⋯+n⋅2n②，
①−②得：−T n=1+2+⋯+2n−1−n⋅2n，
解得T n=(n−1)⋅2n+1．
【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和等差数列的性质求出数列的通项公式；(2)利用乘公比错位相减法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：连结PB 1，交CE 于点D ，连结DF ，EP ，CB 1，
因为E ，P 分别为B 1C 1，CC 1的中点，故E P//1
2CB 1且EP =
12
CB 1，
故PD
DB 1
=1
2，又B 1F =2，A 1B 1=3，故A 1
F
FB 1
=1
2，
所以FD//A 1P ，又FD ⊂平面EFC ，A 1P ⊄平面EFC ， 故A 1P//平面EFC ；
(2)解：由题意可知，AB ，BC ，BB 1两两垂直， 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则C(0,2,0),B 1(0,0,3),F(2,0,3),E(0,1,3),P(0,2,3
2) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−3)， PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,32),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−32)， 设平面EFC 的法向量为n
⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n
⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −y =0y −3z =0，
令z =1，则y =3，x =32，故n ⃗ =(3
2,3,1)， 设平面PFC 的法向量为m
⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2a −2b +3
2c =0−32c =0，
令x =1，则y =1，z =0，故m ⃗⃗⃗ =(1,1,0)， 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |
|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |
=3
2
+3√(3
2
)2+9+1×√1+1=
9√214
，
由图可知，二面角P −CF −E 为锐二面角， 故二面角P −CF −E 的余弦值为9√214
．
【解析】(1)连结PB 1，交CE 于点D ，连结DF ，EP ，CB 1，利用中位线定理可得到PD DB 1
=1
2，
结合A 1
F FB 1
=1
2，可证明FD//A 1P ，由线面平行的判定定理证明即可；
(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
本题考查了线面平行的判定定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时
候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
20.【答案】解：(1)“销售员”的日薪y 1(单位：元)与销售件数x 1的函数关系式为y 1=
{20x 1+50,x 1≤530x 1,x 1>5
,x ∈N ∗， “送外卖员”的日薪y 2(单位：元)与所送单数x 2的函数关系式为y 2={3x 2,x 2≤20
4x 2−20,20<x 2≤404.5x 2−40,x 2>40
,x 2∈N ； (2)由柱状图可知，日平均销售量满足如下表格：
所以X 1的分布列为：
所以E(X 1)=110×0.05+130×0.25+180×0.4+210×0.1=162元， 由直方图可知，日送单数满足如下表格：
所以X 2的分布列为：
E(X 2)=30×0.05+100×0.25+185×0.45+275×0.2+365×0.05=183元， 所以E(X 2)>E(X 1)，做“送外卖员”挣得更多， 故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适．
【解析】(1)根据题中给出的信息，列出分段函数的解析式即可；
(2)分别由柱状图和直方图，求出日平均销售量和日送单数，然后列出相应的分布列，求出对应的数学期望，比较大小即可得到答案．
本题考查了柱状图和频率分布直方图的应用，主要考查了数学期望公式的运用，其中读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得F(p
2,0)，则4−0
0−p 2
=−2，解得p =4，
故抛物线的方程为y 2=8x ；
证明：(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x,y)， 直线l 的方程为x =m(y −4)，
由{y 2=8x x =m(y −4)，消x 可得y 2−8my +32m =0， ∴y 1+y 2=8m ，y 1y 2=32m ，
由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1−4=λ(y 2−4)， y −y 1=λ(y 2−4)， 故y 1−4
y
2−4
=
y−y 1y 2−y
=λ，
化简可得y =2y 1y 2−4(y 1+y 2)
y 1+y 2−8
=
4m
m−1
，
又x =m(y −4)，故y =
4x
y−4x
y−4
−1，
化简可得xy −y 2+4y −4x =0， 即(x −y)(y −4)=0， 则y =x 或y =4，
当点D 在定直线y =4上时，直线l 与抛物线C 只有一个交点，与题意不符， 故点D 在定直线y =x 上．
【解析】(1)根据直线的斜率公式，和抛物线的定义即可求出；
(2)根据韦达定理以及由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1−4=λ(y 2−4)，y −y 1=λ(y 2−4)，化简整理即可求出．
本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的关系，考查了运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由f(x)=e x +acosx −√2x −2，得f′(x)=e x −asinx −√2，
令g(x)=e x −asinx −√2，则g′(x)=e x −acosx ， ∵x ∈(0,π
2
)，∴e x >1，0<cosx <1，
当a ≤1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，即f′(x)在区间(0,π
2)内无极值点， 当a >1时，g″(x)=e x +asinx ，x ∈(0,π
2)，故g″(x)>0， 故g′(x)在(0,π
2)单调递增，又g′(0)=1−a <0，g′(π
2
)=e π
2>0，
故存在x 0∈(0,π2)，使得g′(x 0)=0，且x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0，g(x)递减，
x∈(x0,π
2
)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，故x=x0为g(x)的极小值点，
此时f′(x)在区间(0,π
2
)内存在1个极小值点，无极大值点；
综上：当a≤1时，f′(x)在区间(0,π
2
)内无极值点，
当a>1时，f′(x)在区间(0,π
2
)内存在1个极小值点，无极大值点．
(2)若x∈[−π
2
,0]时，f(x)≥0恒成立，则f(0)=1+a−2≥0，故a≥1，
下面证明a≥1时，f(x)≥0在x∈[−π
2
,0]恒成立，
∵x∈[−π
2
,0]时，0≤cosx≤1，故a≥1时，f(x)=e x+acosx−√2x−2≥e x+ cosx−√2x−2，
令ℎ(x)=e x+cosx−√2x−2，x∈[−π
2
,0]，故ℎ′(x)=e x−sinx−√2，
令φ(x)=e x−sinx−√2，则φ′(x)=e x−cosx，φ″(x)=e x+sinx在区间[−π
2
,0]单调递增，
又φ″(−π
3)=e−π3−√3
2
<e−1−√3
2
<0，故φ′(x)在[−π
2
,−π
3
]上单调递减，
又φ′(−π
2)=e−π2>0，φ′(−π
3
)=e−π3−1
2
<e−1−1
2
<0，
故存在x1∈(−π
2,−π
3
)，使得φ′(x1)=0，且x∈(−π
2
,x1)时，φ′(x)>0，ℎ′(x)递增，
x∈(x1,0)时，φ′(x)<0，ℎ′(x)单调递减，故x=x1时，ℎ′(x)取得最大值，且ℎ′(x)max=
ℎ′(x1)，
∵φ′(x1)=0，∴e x1=cosx1，∴ℎ′(x)max=ℎ′(x1)=cosx1−sinx1−√2=√2cos(x1+
π
4
)−√2≤0，
故ℎ(x)单调递减，故x∈[−π
2
,0]时，ℎ(x)≥ℎ(0)=0即f(x)≥0成立，
综上，若x∈[−π
2
,0]时，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围是[1,+∞)．
【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，判定导函数的符号，求出函数的极值点的个数即可；
(2)根据f(0)≥0，得到a≥1，通过证明a≥1时，f(x)≥0在x∈[−π
2
,0]恒成立即可确定a的取值范围．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化
思想，分类讨论思想，是难题．。