武汉华一寄中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试(答案解析)

一、选择题
1．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）
A ．3125x x +=-
B ．31(25)x x +=--
C ．31(25)x x +=±-
D ．3125x x +=±- 2．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ）
A ．1-
B ．1
C ．17-
D ．17 3．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元，若设5月、6月每月的增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()2001500x +=
B ．()2002001500x ++=
C ．()22001500+=x
D ．()20012500+=x 4．方程23x x =的根是（ ）
A ．3x =
B ．0x =
C ．123,0x x =-=
D ．123,0x x == 5．已知2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．12
D ．12
- 6．方程23x x =的解为（ ）
A ．3x =
B ．3x =-
C ．10x =，23x =
D ．10x =，23x =- 7．一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0配方后正确的是（ ） A ．(x ﹣2)2＝1
B ．(x ﹣2)2＝5
C ．(x ﹣4)2＝1
D ．(x ﹣4)2＝5 8．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1
B ．m ＝1
C ．m ≥1
D ．m ≠0 9．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1•x 2等于（ ） A ．4
B ．1
C ．﹣1
D ．﹣4 10．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．290x +=
B ．24410x x -+=
C ．210x x ++=
D ．210x x +-= 11．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A ．20ax bx c ++=
B ．22(1)x x x -=-
C ．2325x x y -+=
D ．2210x += 12．实数,m n 分别满足方程2199910m m ++=和219990n n ++=，且1mn ≠，求代数式41mn m n
++的值（ ） A ．5- B ．5 C ．10319- D ．10319
二、填空题
13．对于任意实数a ，b ，定义：22a b a ab b =++◆．若方程()250x -=◆的两根记为m 、n ，则22m n +=______．
14．设a ，b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则
11a b
+=_____． 15．如图，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1:3，如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，竖彩条的宽度为________．
16．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有______人患有流感．
17．已知函数2y mx m m =++为正比例函数，则常数m 的值为______．
18．已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，则1212
x x x x +的值为_____． 19．若a ，b 是方程22430x x +-=的两根，则22a ab b +-=________．
20．已知关于x 的方程x 2﹣px +q ＝0的两根为﹣3和﹣1，则p ＝_____，q ＝_____．
三、解答题
21．（1）x 2﹣8x+1＝0；
（2）2（x ﹣2）2＝x 2﹣4．
22．在国家的调控下．某市商品房成交价由今年8月份的50000元2/m 下降到10月份的40500元2/m ．
（1）同8～9两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元/2m ？请说明理由．
23．解方程．
（1）2560x x -+=．
（2）23(21)(21)x x -=-．
（3）23139
x x x -=--． 24．定义：若关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两个实数根1x ，
()212x x x <，分别以1x ，2x 为横坐标和纵坐标得到点()12,M x x ，则称点M 为该一元二次方程的衍生点．
（1）若关于x 的一元二次方程为()22210x m x m m --+-=．
①求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M 的坐标；
②由①得到的衍生点M 在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上，求m 的取值范围．
（2）是否存在b ，c ，使得不论()0k k ≠为何值，关于x 的方程20x bx c ++=的衍生点M 始终在直线()25y kx k =+-的图象？若有，求出b ，c 的值：若没有，说明理由． 25．如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米，求AB 和BC 的长．
26．解方程：(2)4x x x +=-
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
一元二次方程22
(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】
解：22(31)(25)x x +=-
开方得31(25)x x +=±-，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 2．B
解析：B
【分析】
根据一元二次方程的根的定义、根与系数的关系即可得．
【详解】
由一元二次方程的根的定义得：2430m m -+=，即243m m -=-， 由一元二次方程的根与系数的关系得：441
m n -+=-
=， 则2234m m n m m m n -+=-++， ()()24m m m n =-++，
34=-+，
1=，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】
根据“4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元”，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，
200（1+x ）2＝500，
故选：C ．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．
4．D
解析：D
【分析】
先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x （x ﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x ＝0或x ﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．
【详解】
解：∵x 2＝3x ，
∴x 2﹣3x ＝0，
∴x （x ﹣3）＝0，
∴x ＝0或x ＝3，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
5．D
解析：D
【分析】
直接利用根与系数的关系解答．
【详解】
解：∵2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，
∴x 1•x 2＝
12
＝﹣12． 故选：D ．
【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a
． 6．C
解析：C
【分析】
方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
解：方程变形得：x 2-3x=0，
分解因式得：x （x-3）=0，
可得x=0或x-3=0，
解得：x 1=3，x 2=0．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．B
解析：B
【分析】
根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【详解】
解：x 2﹣4x ﹣1＝0
x 2-4x=1
x 2-4x+4=1+4
（x-2）2=5，
故选：B ．
本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是会用配方法解答方程．
8．A
解析：A
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：m ﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
9．C
解析：C
【分析】
据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．
【详解】
解：∵方程x 2-4x-1=0的两个根是x 1，x 2，
∴x 1∙x 2=-1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-b a ，两根之积是c a ． 10．D
解析：D
【分析】
分别求出每个方程的根的判别式即可得到方程的根的情况.
【详解】
A 选项：2049360∆=-⨯=-<，∴该方程没有实数根，故A 错误；
B 选项：()2
44410∆=--⨯⨯=，∴该方程有两个相等的实数根，故B 错误； C 选项：2141130∆=-⨯⨯=-<，∴该方程没有实数根，故C 错误；
D 选项：()2141150∆=-⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故D 正确； 故选：D.
【点睛】
此题考查一元二次方程的根的情况，正确求根的判别式的值，掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键.
11．D
【分析】
根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．
【详解】
解：A 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
B 、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．
C 、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
D 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
12．A
解析：A
【分析】
由219990n n ++=可得211199910n n
⋅
+⋅+=，进而可得1,m n 是方程2199910x x ++=的两个根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可求解．
【详解】 解：由219990n n ++=可得211199910n n ⋅
+⋅+=， ∴1,m n
是方程2199910x x ++=的两个根， ∴19911,1919m m n n +
=-⋅=， ∴4119914451919
mn m m m n n n ++=+⋅+=-+⨯=-； 故选A ．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题
13．6【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2+2x ﹣1=0的两个根利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2mn=﹣1将其代入m2+n2=（m+n ）2﹣2mn 中即可得出结论【详解】解：∵（x ◆2）﹣5=x2+
解析：6
根据新定义可得出m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1，将其代入m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn 中即可得出结论．
【详解】
解：∵（x ◆2）﹣5=x 2+2x+4﹣5，
∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1=0的两个根，
∴m+n=﹣2，mn=﹣1，
∴m 2+n 2=（m+n ）2﹣2mn=6．
故答案为6．
【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a
是解题的关键． 14．【分析】根据根与系数关系即可得出a+b 和ab 的值再对代数式变形整体代入即可【详解】解：∵ab 是方程的两个实数根∴∴故答案为：【点睛】本题考查根与系数关系熟记根与系数关系的公式是解题关键 解析：22019
【分析】
根据根与系数关系即可得出a+b 和ab 的值，再对代数式
11a b
+变形整体代入即可． 【详解】
解：∵a ，b 是方程2220190+-=x x 的两个实数根，
∴2a b +=-，2019ab =-， ∴
112220192019
a b a b ab +-+===-． 故答案为：22019
． 【点睛】 本题考查根与系数关系．熟记根与系数关系的公式是解题关键．
15．3cm 【分析】设横彩条的宽度是xcm 竖彩条的宽度是3xcm 根据如果要使彩条所占面积是图案面积的19可列方程求解【详解】解：设横彩条的宽度是xcm 竖彩条的宽度是3xcm 则（30-3x ）（20-2x ）=
解析：3cm
【分析】
设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，根据“如果要使彩条所占面积是图案面积的19%”，可列方程求解．
【详解】
解：设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，则
（30-3x ）（20-2x ）=20×30×（1-19%），
解得x 1=1，x 2=19（舍去）．
所以3x=3．
答：竖彩条的宽度是3cm ．
故答案为：3cm
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题．
16．729【分析】设每轮传染中平均每人传染了x 人根据经过两轮传染后共有81人患了流感可求出x 进而求出第三轮过后共有多少人感染【详解】设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人由题意可列得解得（舍去）即每轮传 解析：729
【分析】
设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，可求出x ，进而求出第三轮过后，共有多少人感染．
【详解】
设每轮传染中平均每个人传染的人数为x 人，
由题意可列得，()1181x x x +++=，
解得18x =，210x =-（舍去），
即每轮传染中平均每个人传染的人数为8人，
经过三轮传染后患上流感的人数为：81881729+⨯=（人）.
故答案为：729.
【点睛】
本题考查理解题意的能力，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人，然后求出三轮过后，共有多少人患病．
17．-1【分析】根据正比例函数的概念可直接进行列式求解【详解】解：∵函数为正比例函数∴且解得：；故答案为-1【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程 解析：-1
【分析】
根据正比例函数的概念可直接进行列式求解．
【详解】
解：∵函数2y mx m m =++为正比例函数，
∴20m m +=，且0m ≠，
解得：1m =-；
故答案为-1．
【点睛】
本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法，熟练掌握正比例函数的概念及一元二次方程的解法是解题的关键．
18．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解：∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为：5【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax
解析：5
【分析】
直接根据根与系数的关系，求出12x x +，12x x 再代入求值即可．
【详解】
解：∵x 1，x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，
∴x 1+x 2=--55-=22，121=2
x x ． ∴1
2125
2==512
x x x x + 故答案为：5．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a
． 19．4【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2ab=-再变形后代入即可求出答案
【详解】解：∵是方程的两根∴故答案为：4【点睛】本题考查了根与系数的关系能够整体代入是解此题的关键
解析：4
【分析】
根据根与系数的关系得出a+b=-2，ab=-
32
，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】
解：∵a ，b 是方程22430x x +-=的两根， ∴42232a b ab ⎧+=-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ()()()222222224a ab b a a b b a b a b +-=+-=--=-+=-⨯-=．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键．
20．-43【分析】由根与系数的关系可得出关于p或q的一元一次方程解之即可得出结论【详解】解：根据题意得﹣3+（﹣1）＝p﹣3×（﹣1）＝q所以p＝﹣4q＝3故答案为﹣43【点睛】本题考查了根与系数的关系
解析：-4 3
【分析】
由根与系数的关系可得出关于p或q的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：根据题意得﹣3+（﹣1）＝p，﹣3×（﹣1）＝q，
所以p＝﹣4，q＝3．
故答案为﹣4，3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出-3+（-1）=-p,（-3） （-1）=q是解题的关键．
三、解答题
21．（1）x1＝x2＝42）x1＝2，x2＝6．
【分析】
（1）先配方、然后运用直接开平方求解即可；
（2）先将等式右边因式分解，然后移项，最后用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）x2﹣8x+1＝0，
x2﹣8x＝﹣1，
x2﹣8x+16＝﹣1+16，
（x﹣4）2＝15，
∴x﹣4＝
∴x
1＝x2＝4
（2）∵2（x﹣2）2＝x2﹣4，
∴2（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣6＝0．
解得x1＝2，x2＝6．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键．
22．（1）8、9两月平均每月降价的百分率是10%；（2）12月份该市的商品房成交均价/m，见解析
不会跌破30000元2
【分析】
（1）设8、9两月平均每月降价的百分率是x，那么9月份的房价为50000（1-x），10月
份的房价为50000（1-x ）2，然后根据10月份的40500元/m 2即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出今年12月份商品房成交均价，然后和30000元/m 2进行比较即可作出判断．
【详解】
解：（1）设这两月平均每月降价的百分率是x ，根据题意得：
()2
50000140500x -=
解得：1210% 1.9x x ==，（不合题意，舍去）
答：8、9两月平均每月降价的百分率是10%
（2）不会跌破30000元2/m ． ()22405001405000.93280530000x -=⨯=>
∴12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元2/m
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
23．（1）12x =，23x =；（2）112
x =
，22x =；（3）2x =- 【分析】
（1）利用因式分解法解方程，即可得到答案；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程，即可得到答案；
（3）先把分式方程化为整式方程，然后解方程即可得到答案．
【详解】
解：（1）2560x x -+=， (2)(3)0x x --=，
∴12x =，23x =，
∴原方程的解为：12x =，23x =．
（2）23(21)(21)x x -=-，
∴2(21)3(21)0x x ---=，
∴(21)(213)0x x ---=，
∴(21)(24)0x x --=， ∴112
x =，22x =． ∴原方程的解为：112x =
，22x =． （3）23139
x x x -=--， ∴2(3)39x x x +-=-，
∴22339x x x +-=-，
∴36x =-，
∴2x =-，
经检验：2x =-为原方程的解，
∴原方程的解为2x =-．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解方程的方法，注意解分式方程时组要检验．
24．（1）①见解析，()1,M m m -；②12m ≤≤；（2）存在，12b =-，20c =
【分析】
（1）①根据根的判别式和衍生点的定义，即可得出结论；
②先确定点出点M 在在直线y=x+1上，借助图象即可得出结论；
（2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．
【详解】
解：（1）①()22210x m x m m --+-=，
∵()()
2221410m m m ⎡⎤∆=----=>⎣⎦， ∴不论x 为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
()22210x m x m m --+-=，
解得：11x m =-，2x m =，
方程()22210x m x m m --+-=的衍生点为()1,M m m -．
②由①得，()1,M m m -，
令1-=m x ，m y =，∴1y x =+，
∴点M 在在直线1y x =+上，与y 轴交于A 点，
当x=0时，y=1，
∴()0,1A ，
∵直线1l ：3y x =-+与直线1y x =+交于B 点，
解31y x y x =-+⎧⎨=+⎩
， 解得12x y =⎧⎨=⎩
， ∴()1,2B ，
∵点M 的在直线l ：3y x =-+与坐标轴围成的区域上
∴12m ≤≤；
（2）存在．直线()()25210y kx k k x =+-=-+，过定点()2,10M ，
∴20x bx c ++=两个根为12x =，210x =，
∴210b +=-，210c ⨯=，∴12b =-，20c =．
【点睛】
本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
25．AB=8米，BC=12米．
【分析】
设AB 为x 米，然后表示出BC 的长为（36-3x ）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
【详解】
解：设AB 为x 米，则BC 为（36-3x ）米，
x （36-3x ）=96，
解得：x 1=4，x 2=8，
当x=4时，
36-3x=24＞22（不合题意，舍去），
当x=8时，
36-3x=12．
答：AB=8米，BC=12米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．
26．1241x x =-=，
【分析】
方程整理后，利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：(2)4x x x +=-，
方程整理得：2340x x +-=，
因式分解得：()()410x x +-=，
则40x +=或10x -=，
∴1241x x =-=，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．。