高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》知识点总复习

新《空间向量与立体几何》专题

一、选择题

1．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC 所成的角为α，SE 与平面ABC D 所成的角为β，二面角S-AB-C 的平面角为γ，则（ ）

A ．αβγ≤≤

B ．βαγ≤≤

C ．a βγ≤≤

D ．γβα≤≤

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意，分别求出SE 与BC 所成的角α、SE 与平面ABC D 所成的角β、二面角S-AB-C 的平面角γ的正切值，由正四棱锥的线段大小关系即可比较大小. 【详解】

四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等， 所以四棱锥为正四棱锥，

（1）过E 作//EF BC ，交CD 于F ，过底面中心O 作ON EF ⊥交EF 于N ，连接

SN ，取AB 中点M ，连接OM ，如下图（1）所示：则tan SN SN NE OM

α==；

（2）连接,OE 如下图（2）所示，则tan SO OE

β=

;

（3）连接OM ，则tan SO

OM

γ=

，如下图（3）所示：

因为,,SN SO OE OM ≥≥ 所以tan tan tan αγβ≥≥， 而,,αβγ均为锐角， 所以,αγβ≥≥ 故选：C. 【点睛】

本题考查了异面直线夹角、直线与平面夹角、平面与平面夹角的求法，属于中档题.

2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．27

3

B．

27

6

C．

27

4

D．

27

2

【答案】D

【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.

【详解】

几何体为一个三棱锥，高为33，底为一个直角三角形，直角边分别为333

，，所以体积

为

1127

=33333=

322

V⨯⨯⨯⨯，选D.

【点睛】

(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

3．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD

-中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（）

A 34

B

234

C

517

D

317

【答案】D 【解析】【分析】

首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】

如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，

则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.

因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，

所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，1

222

HG AC =

=. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167

cos 22669

PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，

则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =

在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317

172317

==

⨯⨯. 故选：D 【点睛】

本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.

4．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD V 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为( ) A ．16π B ．

32

3

π C ．12π D ．32π

【答案】A 【解析】 【分析】

先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积2S D π=求解即可. 【详解】

BCD V

外接圆直径

sin CD d CBD =

==∠ ,

故球的直径平方22222216D AB d =+=+=,故外接球表面积216S D ππ== 故选：A 【点睛】

本题主要考查侧棱垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径d ,再利用锥体高h ,

根据球直径D =.属于中等题型.

5．已知ABC V 的三个顶点在以O

为球心的球面上，且cos 3

A =

，1BC =，3AC =，三棱锥O ABC -

O 的表面积为( ) A ．36π B ．16π

C ．12π

D ．

163

π

【答案】B 【解析】 【分析】

根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC 是直角三角形，根据棱锥的体积求出O 到平面ABC 的距离，利用勾股定理计算球的半径OA ，得出球的面积． 【详解】

由余弦定理得222291cos 263

AB AC BC AB A AB AC AB +-+-===

g

，解得AB = 222AB BC AC ∴+=，即AB BC ⊥．

AC ∴为平面ABC 所在球截面的直径．

作OD ⊥平面ABC ，则D 为AC 的中点，

1111332O ABC ABC V S OD OD -∆==⨯⨯⨯=

Q g

OD ∴=

2OA ∴=． 2416O S OA ππ∴=⋅=球．

故选：B ．