2024(精品课件)抛物线的简单几何性质

(精品课件)抛物线的简单几何性质
contents •抛物线基本概念及引入•抛物线标准方程及性质•抛物线平移变换规律探究•抛物线焦点弦性质研究•抛物线切线问题解决方法•抛物线综合应用举例
目录
抛物线基本概念及引入
抛物线定义与数学表达式
定义
抛物线是指平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹。

数学表达式
一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（开口向上或向下）或$x = ay^2 + by + c$
（开口向左或向右）。

其中，$a$、$b$、$c$ 为常数，$a neq 0$。

体育运动工程设计科学研究
桥梁、拱门等建筑结构的形态设计。

弹道学、天文学等领域的研究。

03
02 01
抛物线在实际生活中应用
如篮球、足球、铅球等运
动项目的轨迹分析。

当椭圆的长轴无限延长时，椭圆将趋近于抛物线。

与椭圆关系
双曲线的一支在无限远处与抛物线相交。

与双曲线关系
抛物线、椭圆和双曲线都是二次曲线，具有一些共同的几何性质，如对称性、切线性质等。

二次曲线共性
抛物线与其他二次曲线关系
通过学习抛物线的基本概念，为进一步学习其他二次曲线打下基
础。

掌握基本概念
通过对抛物线几何性质的探究，培养学生的几何直觉和空间想象力。

培养几何直觉
掌握抛物线知识，可以帮助学生更好地理解和解决一些实际问题，如运动轨迹分析、建筑设计等。

解决实际问题
引入课程目的和意义
抛物线标准方程及性质
标准方程形式及推导过程
标准方程形式
y^2=2px(p>0)或x^2=2py
(p>0)，其中p为焦准距，表示焦点
到准线的距离。

推导过程
通过抛物线的定义（平面内到一个
定点和一条定直线的距离相等的点
的轨迹）和几何性质，可以推导出
抛物线的标准方程。

焦点、准线概念及其性质
焦点
抛物线上的一个固定点，记为F，对于
标准方程y^2=2px，焦点坐标为
(p/2,0)；对于x^2=2py，焦点坐标为
(0,p/2)。

准线
抛物线的一条固定直线，记为l，对于
标准方程y^2=2px，准线方程为x=-
p/2；对于x^2=2py，准线方程为
y=-p/2。

性质
抛物线上的任意一点到焦点的距离等于到准线的距离。

开口方向、对称轴判断方法
开口方向
对于标准方程y^2=2px，抛物线开口
向右；对于x^2=2py，抛物线开口向
上。

对称轴
对于标准方程y^2=2px，对称轴为y=0
（即x轴）；对于x^2=2py，对称轴为
x=0（即y轴）。

已知抛物线的标准方程为y^2=4x ，求抛物线的焦点和准线方程。

例题1已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，且经过点(2,2)，求抛物线
的标准方程。

例题2
由标准方程y^2=4x 可知，2p=4，
解得p=2。

因此，焦点坐标为(1,0)，
准线方程为x=-1。

解答
设抛物线的标准方程为y^2=mx 。

将点(2,2)代入方程，解得m=2。

因
此，抛物线的标准方程为y^2=2x 。

解答
01
03
02
04
典型例题分析与解答
抛物线平移变换规律探究
平移不改变抛物线的
形状和大小，只改变
其位置。

平移遵循“左加右减，
上加下减”的原则。

对于标准形式的抛物线，平移后的新方程可快速得出。

平移变换对抛物线影响分析
竖直平移
抛物线沿y 轴方向移动，新抛物线的顶点在原抛物线的上方或下
方。

水平平移
抛物线沿x 轴方向移动，新抛物线的对称轴与原抛物线平行且等
距。

平移组合
水平和竖直平移可同时进行，形
成复杂的平移变换。

水平平移和竖直平移情况讨论
通过平移变换，可将复杂函数图像转化为简单函数图像进行求解。

利用平移规律，可快速判断函
数图像的对称性和周期性。

在实际问题中，平移变换常用
于求解最值、交点等问题。

综合应用：求解复杂函数图像
03
例题3
利用平移变换求解复杂函数的图像和性质。

01
例题1
求解平移后的抛物线方程和顶点坐标。

02
例题2
判断平移后的抛物线与x 轴的交点个数。

典型例题分析与解答
抛物线焦点弦性质研究
焦点弦定义及其重要性阐述
焦点弦定义
连接抛物线任意两点A、B的线段AB称为抛物线的弦，如果弦AB经过抛物线的焦点F，则称AB为抛物线的焦点弦。

重要性阐述
焦点弦是抛物线的重要几何特征之一，研究焦点弦的性质对于理解抛物线的几何特性和解决与抛物线相关的问题具有重要意义。

焦点弦长度计算公式推导
•公式推导：设抛物线方程为$y^2=2px$，焦点F的坐标为$(\frac{p}{2},0)$，弦AB的端点A、B的坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$。

根据抛物线的定义和焦点弦的性质，可以推导出焦点弦长度公式$|AB|=x_1+x_2+p$。

焦点弦与准线关系探讨
•焦点弦与准线关系：抛物线的准线是垂直于对称轴且经过焦点的直线。

对于任意一条焦点弦AB，其长度与A、B两点到准线的距离之和相等，即$|AB|=|AA'|+|BB'|$，其中A'、B'分别为A、B 在准线上的射影。

例题1
已知抛物线$y^2=4x$的焦点为F，弦AB过点F，求弦AB的长。

解答
根据抛物线的方程可知$p=2$，焦点F的坐标为$(1,0)$。

设弦AB的方程为$y=k(x-1)$，代入抛物线方程消去y得$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0$。

由韦达定理得
$x_1+x_2=frac{2k^2+4}{k^2}$，所以弦AB的长
$|AB|=x_1+x_2+2=frac{2k^2+4}{k^2}+2=frac{4}{k^2}+4$。

例题2
已知抛物线$y^2=2px$和焦点弦AB，且$|AB|=8$，求$p$的值。

解答
根据焦点弦长度公式$|AB|=x_1+x_2+p$，代入已知条件$|AB|=8$得$x_1+x_2+p=8$。

又因为A、B两点在抛物线上，所以有$y_1^2=2px_1$和$y_2^2=2px_2$。

两式相减得$(y_1-y_2)(y_1+y_2)=2p(x_1-x_2)$。

由于弦AB经过焦点F，所以$y_1+y_2=0$，从而得到$x_1=x_2$。

代入$x_1+x_2+p=8$得$2x_1+p=8$，解得$p=4$。

抛物线切线问题解决方法
通过切点坐标代入斜率函数求得
切线斜率注意斜率不存在的特殊情况处理
利用抛物线方程求导得到斜率函
数
切线斜率求解技巧讲解
010204利用导数求解切线方程步骤
确定抛物线方程并求导得到斜率函数根据切点坐标求得切线
斜率
利用点斜式或斜截式求
解切线方程
验证所求切线方程是否
满足条件
03
切线与法线关系辨析
切线与法线斜率互为负倒数切线与法线在切点处相交且垂直
利用切线与法线关系求解相关问题
例题一
已知抛物线方程和切点坐标，求切线方程
解题思路
先求导得到斜率函数，再代入切点坐标求得切线斜率，最后利用点斜式求解切线方程
例题二
已知抛物线方程和切线上一点坐标，求切点坐标
解题思路
设切点坐标，利用切线斜率等于该点导数值建立方程，解方程求得切点坐标
例题三
已知抛物线方程和与切线垂直的直线方程，求切点
坐标
解题思路
设切点坐标，利用切线与给定直线垂直建立方程，联立抛物线方程求解切点坐标
典型例题分析与解答
抛物线综合应用举例
在物理学中运动轨迹问题应用
投掷运动
分析物体被投掷后的运动轨迹，如铅球、标枪等。

弹道学
研究子弹或炮弹在发射后的飞行轨迹，以及受空
气阻力、重力等因素的影响。

天体物理学
分析行星、卫星等天体的运动轨迹，以及受到其
他天体引力作用时的轨道变化。

1 2 3利用抛物线描述随着产量增加，边际成本的变化趋势。

边际成本分析
分析在不同产量水平下，如何实现收益最大化。

收益最大化
通过抛物线描述市场供需关系，以及价格随供需变化而波动的规律。

供需平衡
在经济学中成本收益曲线分析
在其他领域中抛物线应用拓展
建筑学
分析抛物线形状在建筑设计中的应用，如抛物线型屋顶、拱门等。

美学与艺术
探讨抛物线在美学和艺术领域中的应用，如绘画、雕塑等。

地理学
分析地形地貌中抛物线的形态特征，如河流弯道、山谷等。

总结抛物线的定义、标准方程及几何性质等
知识点。

抛物线定义与性质回顾
归纳解决抛物线相关问题的解题方法和技巧。

解题方法与技巧总结对本章所学知识点进行梳理，形成清晰的知
识体系框架。

知识体系梳理
引导学生对学习过程进行反思，提出改进建议，并展望未来的学习计划和目标。

学习反思与展望课程总结与回顾
感谢观看。