循环码（7,4）

循环码（7,4）
8.4 循环码
时间：2012年09⽉01⽇信息来源：《通信原理》精品课程⽹站点击：2452次我要评论(0) 【字体：⼤中⼩】
循环码是线性分组码重要的⼀个⼦类，现有的重要线性分组码都是循环码或与循环码密切相关。

与其他⼤多数码相⽐，循环码的编码及译码易于⽤简单的具有反馈连接的移位寄存器来实现，这是它的优势所在。

另外，对它的研究是建⽴在⽐较严密的数学⽅法基础之上，因此⽐较容易获得有效的译码⽅案。

循环码在实际中应⽤很⼴。

8.4.1 循环码基本概念
⼀个线性（）分组码，如果它的任⼀码字经过循环移位后（左移或右移），仍然是该码
的⼀个码字，则称该码为循环码。

上⼀节中表8-3所⽰的（7，3）分组码就是⼀个循环码。

为了便于观察，将（7，3）码重新排列如表8-9所⽰。

表8-9 循环码的循环移位
（8.4-1）
来描述⼀个码字。

表8-9中的任⼀码组可以表⽰为
（8.4-2）
这种多项式中，仅是码元位置的标记，因此我们并不关⼼x的取值，这种多项式称为码多项式。

例如，码字（0100111）可以表⽰为
（8.4-3）
左移⼀位后为（1001110），其码字多项式为
（8.4-4）
需要注意的是，码字多项式和⼀般实数域或复数域的多项式有所不同，码字多项式的运算是基于模⼆运算的。

（1）码多项式相加，是同幂次的系数模⼆加，不难理解，两个相同的多项式相加，结果系数全为0。

例如
（8.4-5）
（2）码多项式相乘，对相乘结果多项式作模⼆加运算。

例如
（8.4-6）
（3）码多项式相除，除法过程中多项式相减按模⼆加⽅法进⾏。

当被除式的幂次⾼于等于除式的幂次，就可以表⽰为⼀个商式和⼀个分式之和，即
（8.4-7）
其中余式的幂次低于的幂次。

把称作对取模的运算结果，并表⽰为
（8.4-8）
有了这个运算规则，就可以很⽅便地表⽰⼀个移位后码字多项式。

可以证明，字长为的码
字多项式和经过次左移位后的码字多项式的关系为
（8.4-9）
例如，（7，3）循环码的码字（1001110），其多项式为，移位3次后的多项式可求得如下：
（8.4-10）
即，它对应的码字为1110100
8.4.2 循环码⽣成多项式
由表8-9可知，（7，3）循环码的⾮0码字多项式是由⼀个多项式分别乘以得到的。

⼀般地，循环码是由⼀个常数项不为0的次多项式确定的，这就称为该码的⽣成多项式。

其形式为
（8.4-11）
码的⽣成多项式⼀旦确定，则码也就确定了。

因此，循环码的关键是寻求⼀个合适的⽣成多
项式。

编码理论已经证明，（）循环码的⽣成多项式是多项式的⼀个次因式。

例如
（8.4-12）
在式中可找到两个次因式
（8.4-13）
和
（8.4-14）
它们都可以作为（7，3）循环码的⽣成多项式，⽽
（8.4-15）
和
（8.4-16）
可以⽤为（7，4）循环码的⽣成多项式。

⼀般来说，要对多项式作因式分解不是容易的事情，特别当⽐较⼤的时候，须⽤计算***搜索。

8.4.3 循环码编码
1．监督码元的产⽣⽅法
下⾯以（7，4）循环码为例，讲解采⽤系统码形式的循环码监督码元产⽣⽅法。

（7，4）循环码码字为
（8.4-17）
其码字多项式为
（8.4-18）
其中为信息多项式，为监督组多项式。

两边同时加，则有
（8.4-19）
可以证明，码字多项式可以被⽣成多项式除尽，即为的⼀个因式：
（8.4-20）
⽤除式（8.4-19）两边得
（8.4-21）
和式（8.4-7）⽐较可知，，即监督组多项式是除以所得的余式。

利⽤上述多项式的除法，便可以求得。

【例8-2】（
7，4）循环码的，信息码为，求相应码字。

解：，于是
按照上述多项式的除法，得
于是得到，因此。

相应码字为。

⽤该⽅法可得该（7，4）循环码的所有许⽤码字，如表8-10所⽰。

表8-10 （7，4）循环码
码字
码字
0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1
2
上⾯讨论的产⽣监督码元的⽅法可⽤以下两个式⼦加以概括：
（8.4-22）
因此采⽤系统码的循环码编码器就是将信息组乘上，然后⽤⽣成多项式除，求余式的电路，如图8-4所⽰。

图8-4 系统循环码编码电路
下⾯以⼆进制（7，4）循环码为例，来说明编码电路的⼯作原理。

当输⼊信息码元为(1001)，即，设循环码的⽣成多项式，则：
因此，相应码字为，其编码电路如图8-5所⽰。

图8-5 （7，4）循环码编码电路
电路编码过程如下：
（1）三级移存器初始状态全为“0”，门1开，门2关。

信息组以⾼位先⼊的次序送⼊电路，⼀⽅⾯经或门输出编码的前个信息码元，另⼀⽅⾯送⼊除法电路的右端，这对应于完成⽤除的除法运算。

（2）四次移位后，信息组全部通过或门输出，它就是系统码码字的前四个信息码元，同时它也全部进⼊除电路，完成除法运算。

此时在移存器中存的数就是余式的
系数，也就是码字的校验码元。

（3）门1关闭，门2打开，再经三次移位后，移存器中的校验码元跟在信息组后⾯
输出，形成⼀个完整的码字
（4）门1打开，门2关闭，送⼊第⼆组信息组，重复上述过程。

表8-11列出了上述编码器的⼯作过程。

设输⼊信息组为(1001)，七个移位脉冲过后，在输出端得到已编好的码字(1001110)。

表8-11 （7，4）循环码编码电路⼯作过程
输出
1 1
00
0 1
10
1
7 0 0 0 0
8.4.4 循环码译码
1. 伴随式的计算
设发送的码字为，对应的多项式为，信道错误图样为，则接收到的码字多项式为
其中，许⽤码字多项式可以被⽣成多项式除尽，因此，⽤除所得的余式等于⽤除所得的余式，即
称作伴随式。

若，说明，，没有错误。

若，说明传输中出现了错误。

设（7，4）码的⽣成多项多为，假如，对应的多项式为，两者相除得
则，即。

同理可得该（7，4）循环码的其余伴随式和错1位的错误图样之间的关系，如表8-12所⽰。

错误图样伴随式
1
0 1
0 1
0 0
0 1
0 0
2．译码电路
循环码译码⼀般包括以下三个步骤：(1) 根据接收码字多项式计算相应的伴随式多项式：；(2)求对应的错误图样；(3) 利⽤错误图样进⾏纠错。

因此，译码电路包括三⼤部分：
（1）伴随式计算器：计算伴随式；
（2）⾃发计算器：根据伴随式求相应的错误图样；
（3）相加器：求
例如⽣成多项多为的（7，4）循环码的译码电路如图8-6所⽰。

图8-6 循环码译码电路
其中伴随式计算器和⾃发计算器的内部结构如图8-7所⽰。

图8-7 伴随式计算器和⾃发计算器内部结构
图中，接收的码字分别同时进⼊伴随式计算器和寄存器。

当全部移⼊寄存器时，伴随式寄存器中就是的伴随式。

若，表⽰接收码字⽆错；若，则通过控制门把这⼀状态设定为⾃发计算器的初始状态，检测错误的码元位置。

例如接收错误图样为，即错误，前⾯已算得此时，⾃发计算器从这⼀状态开始，每移位⼀次就改变状态⼀次，同时寄存器也移出码字中的⼀位。

经过⼀次移位，⾃寄存器中的移出，移到寄存器的输出位，同时⾃发计算器的状态由，因此与门的输出，当移出时，便得到纠正，即。

⼀般地，由于⾃发计算器初始状态对应着⼀个错误图样，当寄存器中码字的错误位移动到末级时，⾃发计算器的状态也刚好为，与门的输出总是1，因此可以纠正⼀位错
误。

与分组码⽐较，循环码采⽤移位寄存器构成的译码电路要简单得多，因此应⽤⼴泛。