宁夏省银川一中高一数学上学期期末试卷新人教A版

俯视图
侧视图
命题教师：裔珊珊
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分。

在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

把正确答案的代号填在答题卷上。

）
1. 在直角坐标系中,直线033=--y x 的倾斜角是（ ） A ．30° B ．120°
C ．60°
D ．150°
2. 经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A.2x y +=
B. 1x y +=
C. 2x y +=或y x =
D.1x =或1y =
3．若方程2
2
(62)(352)10a a x a a y a --+-++-=表示平行于x 轴的直线，则a 的值是（ ） A ．
2
3
B ．12
-
C ．
23
,12-
Ｄ．1
4. 圆柱的底面积为S,侧面展开图为正方形,那么这个圆柱的侧面积为( ) A.S π B. S π2
C. S π3
D. S π4
5. 直线0=+ky x ，0832=++y x 和01=--y x 交于一点，则k 的值是( ) A ．
21 B.2
1
- C. 2 D. -2
6．某几何体三视图及相关数据如右图所示，则该几何体的 体积为 （ ）
A ．16
B ．163
C ．64+163
D ． 16+
3
3
4 7. 点()21P ，
为圆()2
2
125x y -+=的弦AB 的中点, 则直线AB 的方程为（ ） A ．10x y +-=
B ．230x y +-=
C ．03=-+y x
D ．250x y --=
8．已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．下面四个命题中不正确．．．
的是（ ） A ． ,//,,n m m ααββ⊥⊆⇒⊥n B ．αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥； C ． ,α⊥m m n ⊥,βαβ⊥⇒⊥n D ．m n ∥，m n αα⇒∥∥； 9. 正方体ABCD -1111A B C D 中，1BD 与平面ABCD 所成角的余弦值为
( )
A ．
3 B. 3
C.
2
3
D. 310．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
A ．1)3
7()3(22=-+-y x B ．1)1()2(22=-+-y x
C ．1)3()1(22=-+-y x
D ．1)1()2
3(22=-+-y x
11．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G
分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角为( ) A ．
30
B ．
45
C ．
60
D ．
90
12. 若直线y=kx+4+2k 与曲线24x y -=有两个交点，则k 的取值范
围是（ ）．
A ．[1,+∞)
B ． [-1,-43)
C ． (4
3
,1] D ．(-∞,-1] 二、填空题（本大题共4小题，每题4分,满分16分。

将答案填在答题卷的相应位置上。

） 13. 点（-1，1）关于直线x-y-1=0对称的点的坐标____________.
14. 长方体的长为5，宽为4，高为3，则该长方体的外接球体的表面积为_________. 15. 直线l y x =：与圆2
2
260x y x y +--=相交于,A B 两点，则AB =________. 16．下面给出五个命题：
① 已知平面α//平面β，,AB CD 是夹在,αβ间的线段，若AB //CD ，则AB CD =； ② ,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 一定是异面直线； ③ 三棱锥的四个面可以都是直角三角形。

④ 平面α//平面β，P α∈，PQ //β，则PQ α⊆；
⑤ 三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直； 其中正确的命题编号是 （写出所有正确命题的编号）
三、解答题（本大题共6小题,满分56分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. (本小题满分8分)
已知ABC ∆的三个顶点A (4,0），B (8,10），C (0,6）.
(Ⅰ)求过A 点且平行于BC 的直线方程； (Ⅱ)求过B 点且与点C A ,距离相等的直线方程。

18. (本小题满分8分)
如图： PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形,PA=AB=1， AD=3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动. （Ⅰ）求三棱锥E-PAD 的体积;
（Ⅱ）当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF.
E
F
P
D
C
B
A
19. (本小题满分8分)
已知动圆C 经过点()23A -，和()25B --， （Ⅰ）当圆C 面积最小时，求圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线350x y ++=上，求圆C 的方程。

20.（本小题满分10分）
如图,ABC ∆是边长为2的正三角形. 若1,AE AE =⊥平面ABC , 平面BCD ⊥平面ABC ,CD BD = ,且.BD CD ⊥ （Ⅰ）求证：AE //平面BCD ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面CDE 。

21．(本小题满分10分)
如图，在三棱锥S —ABC 中，SC ⊥平面ABC ，点P 、M 分别是SC 和SB 的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM 与直线SC 所成的角为60°。

（1）求证：平面MAP ⊥平面SAC 。

（2）求二面角M —AC —B 的平面角的正切值；
22．(本小题满分12分)
已知圆2
2
:2440C x y x y +-+-=，
（Ⅰ）若过定点(2,0-)的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程； （Ⅱ）若过定点(1,0-)且倾斜角为
6
π
的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的中点P 的坐标； (Ⅲ) 问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为EF ,且以EF 为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

A
B
C
D
E
高一期末数学试卷参考答案
二、填空题：（4’×４＝16）
13. π50 14.(2,-2) 15. 16.①③④⑤ 三 解答题（５６分）： 17. (8分)解：（1）12BC k =
过A 点且平行于BC 的直线为()1
042402
y x x y -=---=即…6分 (2).设过B 点的直线方程为()1088100y k x kx y k -=---+=即.....8分
2
3
67-==
k k 或.....10分 所求的直线方程为()7
1086y x -=
-或()82
310--=-x y 即7640x y -+= 或04423=-+y x …………12分 18.(8分) 解: （Ⅰ）三棱锥PAD E -的体积
6
3
)21(3131=⋅⋅=⋅=
∆AB AD PA S PA V ADE . ---------4分 （Ⅱ）当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行.
∵在PBC ∆中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，
∴EF ∥PC ， 又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， ∴EF ∥平面PAC . …………４分 （Ⅲ）证明:ABCD BE ABCD PA 平面，平面⊂⊥ ,
PA EB ⊥∴，又，
平面PAB AP AB A AP AB AB EB ⊂=⊥,,,
PAB EB 平面⊥∴,又PAB AF 平面⊂，∴BE AF ⊥.
又1PA AB ==,点F 是PB 的中点,,PB AF ⊥∴
PBE BE PB B BE PB 平面又⊂=⋂,, ,PBE AF 平面⊥∴.
PE AF PBE PE ⊥∴⊂，平面 . ----------４分
19(8分)解：（Ⅰ）要使圆C 的面积最小，则AB 为圆C 的直径，------2分
圆心()0,4C -,
半径1
2
r AB =
= -----------4分 所以所求圆C 的方程为：()2
2
45x y ++=. ------------6分 （Ⅱ）法一：因为1
2
AB k =
，AB 中点为()0,4-， 所以AB 中垂线方程为42y x +=-，即240x y ++= ----------8分 解方程组240350x y x y ++=⎧⎨
++=⎩得：1
2
x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心C 为(1,2)--．------10分
根据两点间的距离公式，得半径r =，------------11分 因此，所求的圆C 的方程为22
(1)(2)10x y +++=. -------12分 法二：设所求圆C 的方程为2
2
2
()()x a y b r -+-=， 根据已知条件得
222
222
(2)(3)(2)(5)350a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪++=⎩
----------6分 21210a b r ⎧=-⎪
⇒=-⎨⎪=⎩
-------------------------11分 所以所求圆C 的方程为2
2
(1)(2)10x y +++= . ----------12分 20. (10分)证明:(1) 取BC 的中点M ,连接DM 、AM ,
因为CD BD =，且.BD CD ⊥ 2=BC ……2分 所以1DM =,DM BC ⊥,AM BC ⊥. ……3分 又因为平面BCD ⊥平面ABC ,
所以DM ⊥平面ABC 所以AE ∥DM ， ………4分
又因为AE ⊄平面BCD ,DM ⊂平面BCD ， ………5分 所以AE ∥平面BCD . …………6分 (2)由(1)已证AE ∥DM ,又1AE =,1DM =, 所以四边形DMAE 是平行四边形,
所以DE ∥AM . ……………8分 由（1）已证AM BC ⊥，又因为平面BCD ⊥平面ABC , 所以AM ⊥平面BCD , 所以DE ⊥平面BCD .
又CD ⊂平面BCD ,所以DE CD ⊥ . ........10分 因为BD CD ⊥,D DE BD = ,
所以CD ⊥平面BDE . 因为CD ⊂平面CDE ,
所以平面BDE ⊥平面CDE . …12分
21.解：（10分）（I ）∵SC ⊥平面ABC ，SC ⊥BC ，又∵∠ACB =90°
∴AC ⊥BC ，AC ∩SC =C ，BC ⊥平面SAC ， 又∵P ，M 是SC 、SB 的中点
∴PM ∥BC ，PM ⊥面SAC ，∴面MAP ⊥面SAC ， （５分） （II ）∵AC ⊥平面SBC ，
∴AC ⊥CM ，AC ⊥CB ，从而∠MCB 为二面角M —AC －B 的平面角， ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60°
∴过点M 作MN ⊥CB 于N 点，连结AN ， 则∠AMN =60°在△CAN 中，由勾股定理得.2=AN
在Rt △AMN 中，AMN
AN
AN ∠=
tan =.36332=⋅
在Rt △CNM 中，3
6
136
tan ====∠CN MN CN MN MCN 22. (1２分)（Ⅰ）根据题意，设直线l 的方程为：2x my =-
联立直线与圆的方程并整理得：()
()2
2
14640m y m y ++-+= …2分
22048m m ∆=-所以21212
20480,0,5
m m m m -===
从而，直线l 的方程为：2512100x x y =--+=或 …4分 （Ⅱ）根据题意，设直线l
的方程为：1x =-
代入圆C
方程得：(2
44110y y +--=，显然0∆>， …6分 设()()1122,,,A x y B x y
则12121,1y y x x +=+=所以点P
的坐标为1122⎛⎫-
⎪ ⎪⎝⎭
…8分 （Ⅲ）假设存在这样的直线l ：y x b =+
联立圆的方程并整理得：()22222440x b x b b ++++-=
当()
2469b b ∆=-+
-0,33b >⇒--<< …9分 设()()3344,,,E x y F x y 则()()2
343411,442
x x b x x b b +=-+=+- 所以()2
341242
y y b b =
+- …10分 因为以EF 为直径的圆经过原点，所以()()3344,,,,0OE x y OF x y OE OF ==•=
23444120,3401,4
x x y y b b b b ∴+=+-=∴==-即
均满足33b --<<。

所以直线l 的方程为：1040x y x y -+=--=或。

…13分 （Ⅲ）法二：可以设圆系方程()2
2
2440x y x y x y b λ+-+-+-+=
则圆心坐标24,22λλ--⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，圆心在直线y x b =+上，且该圆过原点。

易得b 的值。