2020-2021学年云南省玉溪市高一上学期期末数学试题及答案

2020-2021学年云南省玉溪市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知全集U =R ，集合{}
13A x x =-<<，{}
14,B x x x Z =≤<∈，则A B =
（ ） A ．{}
13x x ≤< B ．{}
14x x -<< C ．{}1,2,3 D ．{}1,2
答案：D
根据集合的交集的概念及运算，准确运算，即可求解.
解：由题意，集合{}
13A x x =-<<，{}
{}14,1,2,3B x x x Z =≤<∈=， 根据集合交集的运算，可得{}
{}{}131,2,31,2A B x x ⋂=-<<⋂=， 故选D.
2．函数()()3log 3f x x =-的定义域为（ ） A ．(]3,5 B ．(),5-∞
C ．()3,5
D ．()3,+∞
答案：A
根据对数的真数大于零，偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
解：对于函数()()3log 3f x x =-，有30
50
x x ->⎧⎨
-≥⎩，得35x <≤，
所以函数()()1log 3f x x =-的定义域为(]3,5， 故选：A. 3．已知4
sin 5
ϕ=-
，且ϕ为第四象限角，则tan ϕ=（ ） A ．
43 B ．
34
C ．43
-
D ．34
-
答案：C
利用同角三角函数的基本关系可求得tan ϕ的值.
解：
4sin 5ϕ=-且ϕ为第四象限角，可得3
cos 5
ϕ==，
因此，sin 4
tan cos 3
ϕϕϕ==-. 故选：C.
4．实数a 、b 不为0，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．
11
a b
> B ．0a b +> C ．22a b > D ．0a b ->
答案：D
结合题设条件和不等式的性质，逐项判定，即可求解. 解：对于A 中，由
11b a a b ab
--=，其中ab 的符号不确定，所以正确； 对于B 中，例如1,2a b ==-时，满足a b >，但0a b +<，所以不正确； 对于C 中，例如1,2a b ==-时，满足a b >，但22a b <，所以不正确； 对于D 中，因为a b >，则0a b ->，所以D 正确. 故选：D.
5．已知幂函数()()
22
344n
n f x n n x
-=+-，n Z ∈在()0,∞+上是减函数，则n 的值
为（ ） A ．1 B ．2
C ．5-
D ．1或5-
答案：A
利用幂函数的定义与单调性可得出关于n 的等式与不等式，由此可解得整数n 的值. 解：因为幂函数()()
22
344n
n f x n n x
-=+-，n Z ∈在()0,∞+上是减函数，
所以，22
441
30n n n n n Z ⎧+-=⎪-<⎨⎪∈⎩
，解得1n =.
故选：A.
6．若实数3log a π=，0.1
13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，51log 4c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
答案：B
根据指数函数与对数函数的图象与性质，分别求得,,a b c 的取值范围，即可求解. 解：由对数的运算性质，可得3log 1a π=>，5
1
log 04
c =<， 由指数函数的性质，可得 2.1
1013b ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭
，所以a b c >>.
故选：B
7．已知函数()()1,1 23,1x
x f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩
，则()1f -=（ ）
A ．
12
B ．2
C ．
14
D ．
18
答案：C
根据函数的解析式，代入计算，即可求解.
解：由题意，函数
()()1,1
23,1x
x f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪+<⎩
，可得
()()()2
11
113224
f f f ⎛⎫-=-+=== ⎪⎝⎭.
故选：C.
8．若01a <<，则函数()
log 1a y x =-的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：D
根据函数的定义域和函数的奇偶性、结合图象变换和对数函数的单调性，即可求解. 解：因为01a <<，函数()()
log 1a g x x =-满足10x ->，解答1x <-或1x >， 即函数()()
log 1a g x x =-的定义域为()
(),11,-∞-+∞，排除A 、B ，
又由()()()
()log 1log 1a a g x x x g x -=--=-=，所以函数()g x 为偶函数， 所以函数()g x 的图象关于y 对称的偶函数，
当1x >时，函数()()
log 1a g x x =-是函数log a y x =的图像向右平移一个单位得到
的， 可排除C. 故选：D.
9．现有以下结论：
①函数1
y x x
=+
的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则2b a
a b
+≥；
③
y =的最小值是2；
④函数()4
230y x x x
=--
>的最小值为2-其中，正确的有（ ）个 A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
答案：B
取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 解：对于①，当0x <时，1
0y x x
=+
<，①错误；
对于②，若a ，b R ∈且0ab >，说明
0b a >，0a b >，则2b a a b +≥=，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，②正确；
对于③，
2y =
≥=，
=
231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不
正确，③错误；
对于④，因为0x >，所以4
3x x
+≥
函数()4
230y x x x
=-->的最大值为2-，所以结论不正确，④错误. 故选：B.
点评：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的
最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．使“不等式24
1122x x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭
成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A ．1x <
B ．0x <
C ．1x >
D ．0x >
答案：B
根据指数函数的性质，求得不等式的解集，再结合充分不必要条件和选项，即可求解.
解：由不等式24
1122x x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭
，可得24122x x -++>，即241x x -+>+，解得1x <，
结合选项，可得“不等式24
1122x x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭
成立”的一个充分不必要条件可以是0x <.
故选：B.
11．设函数()ln e x f x e x +⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，则()f x 是（ ）
A ．奇函数，且在()0,e 上是增函数
B ．奇函数，且在()0,e 上是减函数
C ．偶函数，且在()0,e 上是增函数
D ．偶函数，且在()0,e 上是减函数 答案：A
求出()f x 的定义域，判断其奇偶性；利用导数判断单调性即可.
解：()ln e x f x e x +⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
的定义域为(),e e -
而()()ln e x f x f x e x -⎛⎫
-==-
⎪+⎝⎭
,所以()f x 为奇函数； 在()0,e 上，()()()ln ln ln e x f x e x e x e x +⎛⎫==+-- ⎪-⎝⎭
，
因为()ln y e x =+在(),e e -上为增函数()ln y e x =-在(),e e -上为减函数， 所以()f x 在(),e e -上是增函数 故选：A.
点评：（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：()()f x f x =-或()()f x f x =-； （2）函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用． 12．已知函数224
14ax x y -+⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的值域为10,
16⎛⎤ ⎥⎝⎦
，若不等式()()log 4log 2x a x
a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ）
A ．2
,25⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．2,5⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．(,2)-∞
D ．()0,2
答案：A
根据题意，先求得12
a =，把不等式
()()
1122log 4log 2x x t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，转化为40
2042x x
x x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩
在[]1,2x ∈上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解.
解：由题意，函数224
14ax x y -+⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的值域为10,
16⎛⎤ ⎥⎝⎦
，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数24
14x y -+⎛⎫= ⎪
⎝⎭
显然不存在最大值；
当0a >时，函数224
14ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
在1,
x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝
⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
上单调
递减，当1x a =时，函数y 有最大值，即12
4
11416a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
，解得12a =； 当0a <时，224
14ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
在1,
x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
此时函数y 无最大值， 所以(
)()11
2
2
log 4
log 2
x
x
t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，
即402042x x
x x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩
在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]
1,2x ∈上恒成立，可得0t >；
由20x t ->在[]
1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；
由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x x
t >=
++在[]1,2上恒成立，
令()122x
x f x =+
，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min
5
12
f x f ==，即25
t >
， 综上可得
225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：A. 二、填空题
13．sin300︒=__________．
答案： (
)sin300sin 36060sin 602
︒=︒-︒=-︒=-
. 14．命题“0x ∃≥，220x x -<”的否定是__________. 答案：2
0,20x
x x ∀≥-≥
根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 解：根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“2
200,x
x x ∃-≥<”的否定为“2
0,20x
x x ∀≥-≥”. 故答案为：2
0,20x
x x ∀≥-≥.
15．已知函数()()
2
3log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是
_________. 答案：4,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
由题意，把函数()()
2
3log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为
2430ax x -+>对x ∈R 上恒成立，列不等式解得a 的范围.
解
：
()()23log 440
f x x x α=-+>恒成立，即
()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.
当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43
a <，所以4,3a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：4,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
点评：（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.
（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式. 16．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1959年，考古学家在河南洛阳假师市区二里头村发掘出一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62%.请你大致推断二里头遗址距今大约有________年.（用对数表示结果，无需计算出具体值） 答案：4011
根据x 年后剩余量()1x y k p =-，得出函数的解析式1
573012x
y k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，令62%y k =，得出关于x 的方程，即可求解.
解：假设样本中原有的碳14为k 个单位，每年衰减率为p ，则x 年后剩余量
()1x
y k p =-，
因为碳14的含量大约每过5730年衰减为原来的一半，即
()5730
12
k k p =-， 可得1
5730
112p ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
，所以1
573012x
y k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， 当62%y k =时，可得1
5730162%2x k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， 则
1262lg lg 6221005730log 0.62573057305lg 51lg 10x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭==⨯=⨯-⎛⎫ ⎪⎝⎭
1.792573040110.701-=⨯=-.
故答案为：4011. 三、解答题 17．计算：
（1）11
3
0.2564381272-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（2）14
log 3
3
log
2lg 5lg 44
+-.
答案：（13；（2）
73
. （1）利用指数的运算性质可求得所求代数式的值； （2）利用对数的运算性质可求得所求代数式的值.
解：（1）原式()
((13
3
0.25
4
42
323423233
33
⎡
⎤
⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎦=
+-⎢⎥⎣
-=； （2）原式3112117log 9lg 25lg 4lg1002333333
=
++-=+-=+=. 18．已知全集U =R ，集合{}
11A x x =-<，2511x B x x ⎧⎫
-=≥⎨⎬-⎩⎭
.
（1）求A
B ；
（2）求(
)U
A B ∩
.
答案：（1）{2|x x <或4}x ≥；（2）{}
12x x ≤<.
（1）根据不等式的解法，分别取得集合,A B ，再结合集合的并集运算，即可求解； （2）由（1）和集合的补集运算，求得{}14U
B x x =≤<，再利用集合交集的运算，
即可求解.
解：（1）由不等式11x -<，可得111x -<-<，解得02x <<，即{}
02A x x =<<， 又由不等式
2511x x -≥-，即254
1011
x x x x ---=≥--，解得1x <或4x ≥， 即{|1B x x =<或4}x ≥ 所以{|2A B x x ⋃=<或4}x ≥.
（2）由（1）知集合{}
02A x x =<<，{|1B x x =<或4}x ≥， 可得
{}14U
B x x =≤<，所以(){}12U A B x x ⋂=≤<.
19．已知1
sin cos 5
αα+=，其中0απ<<. （1）求
11
sin cos αα
+的值； （2）求tan α的值.
答案：（1）
115sin cos 12αα+=-；（2）4
tan 3
α=-. （1）将等式1
sin cos 5
αα+=两边平方，可求出sin cos αα的值，进而可求得
11
sin cos αα
+的值； （2）法一：利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值，结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，进而可求得tan α的值；
法二：由弦化切可得出
222
sin cos tan 12
sin cos tan 125
αααααα==-++，可得出关于tan α的二次方程，由已知条件可得出tan 1α<-，由此可求得tan α的值.
解：（1）由1sin cos 5αα+=
①，得()2
1sin cos 12sin cos 25
αααα+=+=. 12
sin cos 25αα∴=-，所以，
1
11sin cos 5512sin cos sin cos 1225
αααααα++===--； （2）法一：由（1）知12
sin cos 25
αα=-，
0απ<<，sin 0α>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->. ()2
49sin cos 12sin cos 25
αααα∴-=-=
，7
sin cos 5αα∴-=②.
由①②得，4sin 5
α
，3cos 5α=-，sin 4
tan cos 3∴=
=-ααα； 法二：由（1）知12sin cos 25
αα=-，22sin cos 1αα+=，22sin cos 12
sin cos 25αααα∴=-+. 2222sin cos 12cos sin cos 25cos αα
αααα
∴=-+，即2
tan 12tan 125
αα=-+，整理可得212tan 25tan 120αα++=，
得4
tan 3α=-
或3tan 4
α=-. 因为0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<， 又
1sin cos 05αα+=
>，所以sin cos αα>，tan 1α∴<-，所以4
tan 3
α=-. 点评：方法点睛：在利用同角三角函数的基本关系求值时，可利用以下方法求解： （1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2
sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二； （2）关于sin α、cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
20．已知函数2
211
,1()321,1
x x f x x x x -⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+-<⎩.
（1）画出函数()f x 的图像，并指出函数的单调区间（无需说明理由）；
（2）若()()g x f x a =-，讨论()g x 的零点个数.
答案：（1）图像见解析，()f x 在(),1-∞-，()1,2上单调递减，在()1,1-，()2,+∞单调递增；（2）答案见解析.
（1）作出分段函数图像，然后根据图像判断函数的单调区间；（2）将函数()()g x f x a =-的零点个数即为()y f x =与y a =的交点个数，
结合图像分析判断a 取不同范围对应的不同交点个数情况.
解：（1）图像如图所示，
由图像知，()f x 在(),1-∞-，()1,2上单调递减，在()1,1-，()2,+∞单调递增.
（2）由题意函数()()g x f x a =-的零点个数即为()y f x =与y a =的交点个数，根据（1）的图像可判断：
当2a <-时，()g x 没有零点；
当20a -<<或2a =时，()g x 有2个零点；
当01a <<时，()g x 有4个零点；
当12a ≤<或0a =时，()g x 有3个零点；
当2a >或2a =-时，()g x 有1个零点.
21．2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响，了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快.经过2分钟菌落的覆盖面积为18mm 2，经过3分钟覆盖面积为27mm 2，现菌落覆盖面积y （单位：mm 2）与经过时间()x x N ∈分钟的关系有两个函数模型()0,1x y ka k a =>>与()12
0y px q p =+>可供选择.
1.732≈≈，lg20.3010≈，lg30.4771≈，lg1.50.1761≈）
（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，求开始时菌落的面积，并求约经过多久培养基中菌落面积是开始时的1000倍. 答案：（1）()0,1x y ka k a =>>合适，理由见解析，()382x
y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ；（2）开始时菌落的面积为8mm 2，约经过17分钟，培养基中菌落面积是开始时的1000倍.
（1）根据题意，选择用()0,1x y ka k a =>>模型，再用待定系数法求解析式；
（2）由（1）中的函数代入数据计算即可. 解：（Ⅰ）()0,1x y ka k a =>>的增长速度越来越快，()1
20y px
q p =+>的增长速度越来越慢，∴依题意应选函数()0,1x y ka k a =>>.
则有231827ka ka ⎧=⎨=⎩，解得328
a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩. ∴()382x
y x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
N . （Ⅱ）当0x =时，8y =经过x 分钟，该培养基中菌落面积是当初投放的100倍.有38810002⎛⎫⨯=⨯ ⎪⎝⎭x
.
∴32lg10003log 100017.033lg3lg 2lg 2
x ==
=≈-. 答：开始时菌落的面积为8mm 2，约经过17分钟，培养基中菌落面积是开始时的1000倍.
点评：数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围；
(3)可以建立多个函数模型时,要对每个模型计算,进行比较,选择最优化模型．
22．已知函数2()21
x x a f x b +=⋅+是定义域为R 的奇函数． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若存在[2,2]x ∈-使不等式1(4)(12)0x x f m f +⋅+-≥成立，求m 的最小值． 答案：（1）21()21
x x f x ； （2）8- . (1)由 f （0）=0,求得a,根据又()()f x f x -=-，求得b ，可得解析式.（2）根据()f x 在[]2,2-上单调递增，将原不等式等价变形为1421x x m +⋅≥-在[]
2,2-有解，分参得1214x x m +-≥，设11,,424x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,可得1214x x +-的最小值，得到结果. 解：(1)因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，可知f （0）=0,∴a=-1,
又()()f x f x -=-，则2121x x b ---⋅+=-2121
x x b -⋅+， 122x x b -∴+=-2121
x x b -⋅+，∴b=1， ()2121
x x f x -∴=+ （2）()2121
x x f x -=+ =1-221x +，所以()f x 在[]2,2-上单调递增； 由()()()
1141221x x x f m f f ++⋅≥--=- 可得1421x x m +⋅≥-在[]2,2-有解
分参得
1
2111
2
424
x
x x x
m
+-
≥=⋅-，
设
11
,,4
24
x
t t
⎡⎤
=∈⎢⎥
⎣⎦
,()2
2211
m t t t
≥-+=--+，所以8
m≥-,
则m的最小值为8-．
点评：本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了指数函数式的运算及最值问题，属于中档题.。