振动基本原理

结论：上式中不含简谐振动因子，阻尼使能量耗尽， 故不振动。
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大阻尼情况下的振动曲线：
y
& 0＞０ y
y = cht
y
y0
o t
y = sht
o t
& 0 > 时位移 − 时间曲线 y0 >０ ,y
（3） ζ =ω，临界阻尼情况 特征根 通解
r1 = r2 = −ζ = −ω
（两个相同的实根）
y = e −ζ t (G1 + G2t )
m
k
c
y 0 ( t)
k ( y 0 (t ) − y1 (t ))
y 1 ( t)
c
d ( y0 (t ) − y1 (t )) dt
m
d 2 y 0 (t ) d t2
+c
d ( y 0 (t ) − y1 (t )) + k ( y 0 (t ) − y1 (t )) = 0 dt
y 01 (t ) = y 0 (t ) − y1 (t )
振动基本原理
振动的特性 • 当一部机器用全部的能量来完成工作，理想状态下机器 完全不会产生振动。但事实上，机器运转的循环力经由 机器本身的传递而产生另一副产品“振动”。因此，机器 一部分能量以振动形式消散。 • 机器振动时机器本身在平衡位置附 近做来回运动，一秒钟内完成来回 运动的次数称为“频率”，以Hz为单 位。来回运动的大小称为“振幅”。
& =0 cy
& + ky = 0 m& y
令 其解 令 则
ω= k m
则
& &+ω2 y = 0 y
c2 = c sin φ
c φ c1 c2
y = c1 sin ω t + c 2 cos ω t
c1 = c cosφ
y = c sin(ωt + φ )
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ce −ζ t
2π ω’t
y
ce
φ
结论：振幅e-ζt衰减的自由振动。
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（2） ζ ＞ω，大阻尼情况 特征根 r1 , r2 = −ζ ± ζ 2 − ω 2 通解 令 则 或 （两个不等的负实根）
y = c1e
( − ζ + ζ 2 −ω 2 ) t
+ c2 e
( − ζ + ζ 2 −ω 2 ) t
ωr
阻尼越小，ωr愈接近ω0 阻尼为零时， ω r ≈ ω 0
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振动基本原理
振动大小的表示方式 有以下的振动表达方式来代表振 动的严重程度 • 峰峰值(peak-to-peak)表示机器 振动位移量的大小。 • 峰值(peak)表示机器瞬间承受冲 击的振动量大小。 • 平均值(average)表示机器在某 段时间内的振动量平均值。 • 均方根值(RMS)最能表示机器 在某段时间内所承受的振动能 量，即振动的破坏能力。
振动基本原理
• 机械振动及其数学描述 • 单自由度系统的振动 • 多自由度系统的振动 • 转子系统振动
1
振动基本原理
1、机械振动及其数学描述 机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动
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振动基本原理
A(ω ) =
6
[1 − (ω / ω ) ]
n
(ω / ω n ) 2
2 2
+ [2ζω / ω n ]
2
5
ζ = 0.01
0.1 0.2 0.5 0.7 1
4
3
2
1
基 础 振 动 的 幅 频 曲 线
A(ω)
-
0
0
0.5
1
ω ωn
1.5
2
2.5
3
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T t
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受迫振动 振动系统在周期性外力持续作用下进行的振动。 强迫力
x
A
O
振动周期与周期性外 力的周期相同
t
受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与振 动系统的性质(固有频率、质量)、阻尼的大小和强迫力的 特征有关。
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共振 位移共振 强迫力角频率为某一 定值ωr时，受迫振动 位移振幅达到极大值 的现象。 共振频率
振动基本原理
机械振动的来源 •机器零件的制造公差 •组装时的间歇 •零件间的摩擦 •旋转不平衡等 但有时也利用振动的特性来帮 助我们工作
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几个术语 （1）周期：振动一次所需的时间。
2π T= ω
（2）工程频率： 单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。
1 ω f= = T 2π
（3）频率（圆频率）： 旋转向量的角速度，即体系在2π秒内的振动次数。自由 振动时的圆频率称为“自振频率”。 自振频率是体系本身的固有属性，与体系的刚度、质量有 关，与激发振动的外部因素无关。
振动基本原理
振动有各种不同的形式：机械振动电磁振动
广义 振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近 反 复变化。
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振动基本原理
180 160 140
ζ =0 ζ = 0.01
2ζω / ω n Φ(ω ) = −arctg 2 ω ω 1 − ( / ) n
0.1 0.2
120
0.5 0.7 1
−ϕ /
o
100 80 60 40 20 0
0
0.5
Fra Baidu bibliotek
1
ω 1.5 ω n
2
2.5
3
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振动基本原理
拍振－两个简谐振动的合成 合成振动为周期性非简谐振动 x = A1 sin ω 1t + A2 sin ω 2 t 振幅变化的频率等于 (ω 1 − ω 2 ) 振幅的数值在 A1 + A2 到A1 - A2间变化
(ω 1 − ω 2)
A1
2
1
ω
+ ω 2
π
A2
2
2 ω
1
-ω
π
2
A 1 + A2
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振动基本原理
振动的测量单位 振动的测量单位有三种： •位移 (displacement) •速度(velocity) •加速度(acceleration) •对于中、高频振动信号的频谱 分析一般用速度与加速度传感器 测量 •对于较低频的振动信号及机械 元件的振动则用位移作量测
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振动基本原理
单自由度系统在基础受力时的受迫振动
f ( t)
d 2 y0 m d t2
m
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振动基本原理
2、单自由度体系的振动
2.1 无阻尼自由振动 特点 (1)无能量耗散,振动一经开始永不休止： p( t ) = 0 (2)无振动荷载： 运动方程及其解的形式
结论：由振动过渡到非振动的临界状态。 应用于天平调衡
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同相和反相 当∆ϕ = ±2kπ , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相 x A1 A2 o - A2 -A1 x2 T t x1 同相 当∆ϕ = ±(2k+1)π , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相反,称反相 x A1 A2 o - A2 -A1 x2 x1 反相
振动基本原理
A(ω ) = [1 − (
6
1 ω 2 2 ω 2 ) ] + ( 2ζ ) ωn ωn
ζ = 0.01
5
0.1
4
A(ω)
3
0.2 0.5 0.7 1
ω 1.5 ωn
2
1
质 量 块 运 动 的 幅 频 曲 线
2.5 3
-
0
0
0.5
1
2
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振动基本原理
振动现象 • 自人类使用机器以来，振动控制问 题一直是个重要课题 • 近年来，由于测量仪器及振动知识 的进步，振动控制技术已经整合到 机械设计中，取得很好的效果。 • 因此，了解机械振动的测量分析技 术，将大大地有助于机械性能的改 善。
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m
d 2 y 01 (t ) d t2
dy 01 (t ) d 2 y1 (t ) +c + ky 01 (t ) = − m dt d t 2 19
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r1 , r2 = −ζ ± i ω 2 − ζ 2
（一对共轭复根）
y = e −ζ t (c1 cos ω ' t + c2 sin ω ' t )
式中
ω'= ω 2 − ζ 2
称为“有阻尼振动的圆频率” 称为“有阻尼振动的自振周期”
相应地 或：
ω'
−ζ t
2π T'= ω'
−ζ t
y = ce
sin( ω ' t + φ )
振动基本原理
x A
f t k T
力学模型
x(t)
& + kx = f ( t ) m& x
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G + G2 c1 = 1 2
y = e −ζ t (G1 e
ζ 2 −ω 2 t
c2 =
− G1 + G 2 2
−e 2
− ζ 2 −ω 2 t
+ G2
e
ζ 2 −ω 2 t
+e 2
− ζ 2 −ω 2 t
)
y = e −ζt (G1sh ζ 2 − ω 2 t + G2 ch ζ 2 − ω 2 t )
振动基本原理
比较质量块运动的幅-频曲线
f (t)
f (t)
m
k c y(t) ky(t) c dy (t ) dt
d 2 y (t ) m dt 2
m
d 2 y (t ) d t2
d y (t ) +c + k y (t ) = f (t ) dt
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2.2 有阻尼的自由振动 振动方程及其解
& + cy &+k y =0 m& y
令 则
ζ = c 2m
ω= k m
& & + 2ζ y & +ω2 y = 0 y
特征方程 特征根
r 2 + 2ζ r + ω 2 = 0
r1 , r2 = −ζ ± ζ 2 − ω 2
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（1）ζ＜ω，小阻尼情况
A 1 -A2
1
2
3
4
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振动基本原理
• 当ω1≈ω2时，合成振动为拍振 ω1 −ω 2 ω1 +ω 2 x = 2 A cos( ) t ⋅ sin( )t 2 2 • 振幅变化的频率等于ω