第2章谓词逻辑

例2.2.2 将命题“没有最大的自然数”符号化。 解 命题中“没有最大的”显然是对所有的自然 数而言，所以可理解为“对所有的x，如果x是自然 数，则一定还有比x大的自然数”，再具体点，即 “对所有的x如果x是自然数，则一定存在y，y也是 自然数，并且y比x大”。令 N(x): x是自然数， G(x,y): x大于y， 则原命题表示为：
2.3 约束变元与自由变元
定义2.3.1 给定一个谓词公式A，其中有一 部分公式形如(x)B(x)或(x)B(x)，则称它为A 的x约束部分，称B(x)为相应量词的作用域或辖 域。在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x 称为约束变元；A中不是约束出现的其它个体变 元的出现称为自由出现，这些个体变元称自由 变元。自由变元可以看作是公式中的参数。
有了项的定义，函数的概念就可用来表示 个体常元和个体变元。例如，令f(x,y)表示x+y， 谓词N(x)表示x是自然数，那么f(2,3)表示个体自 然数5，而N(f(2,3))表示5是自然数。这里函数是 就广义而言的，例如P(x): x是教授，f(x): x的父 亲，c:张强，那么P(f(c))便是表示“张强的父亲 是教授”这一命题。
(x)(N(x)(y)(N(y)∧G(y,x)))。
例2.2.3 将语句“今天有雨雪，有些人会跌跤” 符号化。
解 本语句可理解为“若今天下雨又下雪，则 存在x，x是人且x会跌跤”。
令R: 今天下雨，S: 今天下雪，M(x): x是人， F(x): x会跌跤，则本语句可表示为： R∧S(x)(M(x)∧F(x))。
2.1 个体、谓词和量词 2.2 谓词公式与翻译 2.3 约束变元与自由变元 2.4 公式解释与类型 2.5 等价式与蕴涵式 2.6 谓词公式范式 2.7 谓词逻辑的推理理论
2.1 个体、谓词和量词
在Lp中，命题是具有真假意义的陈述句。 从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部 分组成。在Lp中，为揭示命题内部结构及其不 同命题的内部结构关系，就按照这两部分对命 题进行分析，并且把主语称为个体或客体，把 谓语称为谓词。
谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了 个体性质；当与两个或两个以上个体相联系时， 它刻划了个体之间的关系。表示特定谓词，称 为谓词常元，表示不确定的谓词，称为谓词变 元，都用大写英文字母，如P，Q，R，…，或 其带上、下标来表示。在本书中，不对谓词变 元作更多地讨论。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写 字母和表示其谓词的大写字母来表示时，规定 把小写字母写在大写字母右侧的圆括号( )内。
３.量词
利用n元谓词和它的论域概念，有时还是不 能用符号来很准确地表达某些命题。
例如 S(x)表示x是大学生，而x的个体域为 某单位的职工，那么S(x)可表示某单位职工都 是大学生，也可表示某单位有一些职工是大学 生，为了避免理解上的歧义，在Lp中，需要引 入用以刻划“所有的”、“存在一些”等表示 不同数量的词，即量词，其定义如下：
１.个体、谓词和命题的谓词形式
定义2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称 为个体；用以描述个体的性质或个体间关系的 部分，称为谓词。
例如：张三是个大学生；5大于3
个体，是指可以独立存在的事物，它可以 是具体的，也可以是抽象的，如张三，计算机， 精神等。表示特定的个体，称为个体常元，以a， b，c…或带下标的ai，bi，ci…表示；表示不确 定的个体，称为个体变元，以x，y，z…或xi，yi， zi…表示。
如果在解答时，指明了个体域，便不用特 性谓词，例如在①、③中令个体域为全体大学 生，②和④中的个体域为全部自然数，则可符 号化为：
①(x)L(x)
②(x)R(x)
③(x)I(x)
④(x)P(x)
谓词前加上了量词，称为谓词的量化。若
一个谓词中所有个体变元都量化了，则该谓词
就变成了命题。这是因为在谓词被量化后，可
则例中各命题分别表示为：
①(x)(S(x)L(x)) ②(x)(N(x)R(x))
③(x)(S(x)I(x))
④(x)(N(x)P(x))
在该例的解答中，由于命题中没有指明个 体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论， 因而都使用了特性谓词，如S(x)、N(x)。而且还 可以看出，量词与特性谓词的搭配还有一定规 律，即全称量词后跟一个条件式，而特性谓词 作为其前件出现；存在量词后跟一个合取式， 特性谓词作为一个合取项出现。
以在整个个体域中考虑命题的真值了。这如同
数学中的函数f(x)，
的值是不确定的，
但
可确定其值便处理数学和计算机科学的逻辑问 题及谓词表示的直觉清晰性，将引进项的概念。
定义2.2.1 项由下列规则形成： ① 个体常元和个体变元是项； ② 若f是n元函数，且t1，t2，…，tn是项， 则f(t1，t2，…，tn)是项； ③ 所有项都由①和②生成。
函数的使用给谓词表示带来很大方便。例 如，用谓词表示命题：对任意整数x，x21=(x+1)(x-1)是恒等式。令I(x): x是整数， f(x)=x2-1，g(x)=(x+1)(x-1)，E(x,y): x=y，则该 命题可表示成：(x)(I(x)E(f(x),g(x)))。
定义2.2.2 若P(x1，x2，…，xn)是n元谓词， t1，t2，…，tn是项，则称P(t1，t2，…，tn)为Ls 中原子谓词公式，简称原子公式。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称 量词。量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有 了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大 加强了。
例2.1.1 试用量词、谓词表示下列命题： ① 所有大学生都热爱祖国； ② 每个自然数都是实数； ③ 一些大学生有远大理想； ④ 有的自然数是素数。
解 令S(x)：x是大学生，L(x)：x热爱祖国， N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，I(x)：x有 远大理想，P(x)：x是素数。
P，QR
然 而 ， (P∧Q)→R 并 不 是 永 真 式 ， 故 上 述 推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的 结论，问题在哪里呢? 问题就在于这类推理中， 各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之 间，而是体现在构成原子命题的内部成分之间， 即体现在命题结构的更深层次上。对此，Ls是 无能为力的。所以，在研究某些推理时，有必 要对原子命题作进一步分析，分析出其中的个 体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的逻 辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓 词逻辑（简称为Lp）的基本内容。
第二章 谓词逻辑
在Ls中，把命题分解到原子命题为止，认 为原子命题是不能再分解的，仅仅研究以原子 命题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和 推理。这样，有些推理用命题逻辑就难以确切 地表示出来。例如，著名的亚里士多德三段论 苏格拉底推理：
退出
所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 根据常识，认为这个推理是正确的。但是， 若用Ls来表示，设P、Q和R分别表示这三个原 子命题，则有
③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后 跟条件式，存在量词(x)后跟合取式。
④用恰当的联结词把给定命题表示出来。
例2.2.1 将命题“没有不犯错误的人”符号 化。
解 令 M(x): x是人; F(x): x犯错误， 则原命题表示为：
(x(M(x) ∧F(x)) 也可以表示为：(x)(M(x)F(x))。
２.原子谓词公式
原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽 象，比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常元 被替换成个体变元，如x1,x2,···,xn，这样便得了 一种关于命题结构的新表达形式，称之为n元原 子谓词。
定义2.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变元 (如x1，x2，…，xn)组成的P(x1，x2，…，xn)， 称它为n元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓 词。而个体变元的论述范围，称为个体域或论 域。
例如，在命题“张三是位大学生”中， “张三”是个体，“是位大学生”是谓词，它 刻划了“张三”的性质。设S：是位大学生，c： 张三，则“张三是位大学生”可表示为S(c)，或 者写成S(c)：张三是位大学生。
又如，在命题“武汉位于北京和广州之间” 中，武汉、北京和广州是三个个体，而“…位 于…和…之间”是谓词，它刻划了武汉、北京 和广州之间的关系。设P：…位于…和…之间， a：武汉，b：北京，c：广州，则P(a，b，c)： 武汉位于北京和广州之间。
由于人们对命题的文字叙述含意理解的不同， 强调的重点不同，对个体性质的刻画深度不同， 会影响到命题符号化的形式不同。
例2.2.4 “这只大红书柜摆满了那些古书”。 解法1 设F(x, y): x摆满了y; R(x): x是大红书 柜；Q(y): y是古书; a: 这只; b:那些. R(a)∧Q(b)∧F(a, b). 解法2 设A(x): x是书柜; B(x): x是大的; C(x): x是红的; D(y): y是古老的; E(y): y是书; F(x, y): x 摆满了y; a: 这只; b:那些. A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(b)∧E(b)∧F(a,b).
定义2.1.4 ①符号称为全称量词符，用来 表达“对所有的”、“每一个”、“对任何一 个”、“一切”等词语；x称为全称量词，称x 为指导变元。
②符号称为存在量词符，用来表达“存在 一些”、“至少有一个”、“对于一些”、 “某个”等词语；x称为存在量词，x称为指导 变元。
③符号!称为存在唯一量词符，用来表达 “恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为 存在唯一量词，称x为指导变元。
当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二 元谓词，…。特别地，当n=0，称为零元谓词。 零元谓词就是通常的命题，这样命题与谓词就 得到了统一。
通常一元谓词表达了个体的“性质”，而 多元谓词表达了个体之间的关系。
n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用 特定个体或个体常元替代时，才能成为一个命 题。但个体变元在哪些论域取特定的值，对命 题的真值极有影响。
⑤ 仅有有限项次使用①、②、③和④形成 的才是合式谓词公式。
２.谓词逻辑的翻译
把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出 来，称为谓词逻辑的翻译或符号化；反之亦然。 一般说来，符号化的步骤如下：
①正确理解给定命题。必要时把命题改叙， 使其中每个原子命题、原子命题之间的关系能明 显表达出来。
②把每个原子命题分解成个体、谓词和量 词；在全总论域讨论时，要给出特性谓词。
定义2.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P) 和n个有次序的个体常元(如a1，a2，…，an)表 示成P(a1，a2，…，an)，称它为该原子命题的 谓词形式或命题的谓词形式。
应注意的是，命题的谓词形式中的个体出 现的次序影响命题的真值，不是随意变动，否 则真值会有变化。如上述例子中，P(b,a,c)是假。 通常个体出现的次序事先要约定好。
例如，令S(x)：x是大学生。若x的论域为 某大学的计算机系中的全体同学，则S(x)是真 的；若x的论域是某中学的全体学生，则S(x)是 假的；若x的论域是某剧场中的观众，且观众中 有大学生也有非大学生的其它观众，则S(x)是 真值是不确定的。
通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域 综合在一起作为它的论域，称为n元谓词的全总 论域。定义了全总论域或全总个体域，为深入 研究命题提供了方便。当一个命题没有指明论 域时，一般都从全总论域作为其论域。而这时 又常常要采用一个谓词如P(x)来限制个体变元x 的取值范围，并把P(x)称为特性谓词。
下面，由原子公式出发，给出Lp中的合式 谓词公式的归纳定义。
定义2.2.3 合式谓词公式当且仅当由下列规 则形成的符号串
① 原子公式是合式谓词公式；
② 若A是合式谓词公式，则(A)是合式谓 词公式；
③ 若A，B是合式谓词公式，则(A∧B)， (A∨B)，(A→B)和(AB)都是合式谓词公式；
④ 若A是合式谓词公式，x是个体变元，则 (x)A、(x)A都是合式谓词公式；
对于给定的谓词公式，能够准确地判定它 的辖域、约束变元和自由变元是很重要的。