【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练11

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练11
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．如图所示，下列长方体中由如图所示的平面图形围成的是( )
解析实际进行操作，D成立．
答案D
2．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如下图所示，则该几何体的俯视图为( )
解析 如图所示，当俯视时，P 与B ，Q 与C ，R 与D 重合，故选C . 答案 C
3．(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A .
5603
B .
5803
C ．200
D ．240
解析 该几何体是上、下底面均为矩形，左、右侧面均为等腰梯形的多面体，求体积时把等腰梯形作为上、下底面，则几何体为一个高为10的四棱柱，于是V ＝1
2×(2＋8)×4×10
＝200.
答案 C
4．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA⊥平面ABCD ，AB⊥BC，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于( )
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
解析 如图所示，由AB⊥BC 知，AC 为过A ，B ，C ，D 四点小圆直径， 所以AD⊥DC. 又SA⊥平面ABCD ，
设SB 1C 1D 1－ABCD 为SA ，AB ，BC 为棱长构造的长方体，
得体对角线长为12＋12
＋
2
2
＝2R ，
所以R ＝1，球O 的表面积S ＝4πR 2
＝4π.故选A . 答案 A
5．(2013·湖南卷)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．
等于( ) A ．1 B . 2 C .
2－1
2
D .
2＋1
2
解析 由俯视图的面积为1可得底面与水平面平行，当正方体正放时，正视图的面积最小为1，正方体旋转其正视图为其对角面时，面积最大为2，
2－1
2
<1，故不可能． 答案 C
6．(2013·唐山一模)点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，AD⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝6，则该球的体积为( )
A ．323π
B ．48π
C ．643π
D ．163π
解析 如图所示，O 1为三角形ABC 的外心，过O 做OE⊥AD，∴OO 1⊥面ABC ， ∴AO 1＝
3
3
AB ＝3.∵OD＝OA ， ∴E 为DA 的中点．∵AD⊥面ABC ， ∴AD∥OO 1，∴EO＝AO 1＝ 3. ∴DO＝DE 2
＋OE 2
＝2 3. ∴R＝DO ＝2 3.
∴V＝43π(23)3
＝323π.
答案 A
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．
7．(2013·陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．
解析 由三视图可知，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥的一半，则体积V ＝
1
3π×2×12＝π
3
.
答案
π3
8．(2013·安徽江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．
解析 由三视图可知，直观图为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1去掉三棱锥B 1－A 1BC 1，所以其外接球的直径为正方体的体对角线的长度：22
＋22
＋22
＝23，
V 球＝4π3·(3)3
＝43π.
答案 43π
9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 为线段BC 1的中点，E 为线段A 1C 1上的动点，则下列结论中正确的为________．
①存在点E 使EF∥BD 1
②不存在点E 使EF⊥平面AB 1C 1D ③EF 与AD 1所成的角不可能等于90° ④三棱锥B 1－ACE 的体积为定值 解析 ①中，若存在点E 使EF∥BD 1， 则BD 1∥平面A 1BC 1.
而BD 1∩平面A 1BC 1＝B ，故①错； 当E 为A 1C 1的中点时，EF∥A 1B.
由A 1B⊥平面AB 1C 1D 知，EF⊥平面AB 1C 1D ，故②错；
当E 与A 1重合时，△A 1BC 1为等边三角形，此时EF⊥BC 1而BC 1∥AD 1，所以EF⊥AD 1，故③错；
因为B 1到平面ACE 的距离为定值，△ACE 的面积也为定值， 所以三棱锥B 1－ACE 的体积为定值，故④正确． 答案 ④
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·山西晋城一模)如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积．
解 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，
由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧
l ＋r ＋2r ＝
＋22，
2πr l
＝π
2，
解得r ＝2，l ＝4 2.
所以S ＝πrl ＋πr 2＝10π，h ＝l 2－r 2
＝30， V ＝13πr 2
h ＝230π3
. 11．(本小题10分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．
(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥E －BCD 的体积．
解 (1)证明：取BC 中点G ，连接AG ，EG ， 因为E 是B 1C 的中点， 所以EG ∥BB 1，且EG ＝1
2BB 1.
由直棱柱知，AA 1綊BB 1.
而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD. 所以四边形EGAD 是平行四边形． 所以ED ∥AG.
又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC.
(2)解：因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE. 所以V E －BCD ＝V D －BCE ＝V A －BCE ＝V E －ABC . 由(1)知，DE ∥平面ABC ，
所以V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD·12BC·AG＝1
6
×3×6×4＝12.
12．(本小题10分)下图是一个几何体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图．其中俯视图为正方形，正(主)视图为直角梯形，侧(左)视图为等腰直角三角形，且CE 是中线．
(1)若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥面PCD ； (2)证明：BD ∥面PEC.
解 (1)由几何体的三视图可知，底面ABCD 是正方形，PA ⊥面ABCD ，PA ∥EB ，PA ＝2EB.
∵PA ＝AD ，F 为PD 的中点，∴PD ⊥AF.
又∵CD ⊥DA ，CD ⊥PA ，∴CD ⊥AF ，∴AF ⊥面PCD. (2)取PC 的中点M ，连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，EM. ∴MN ＝12PA ，MN ∥PA ，又由已知得BE 綊12PA.
∴MN ＝EB ，MN ∥EB ，故BEMN 为平行四边形． ∴EM ∥BN ，EM ⊂面PEC ，BD ⊄面PEC. ∴BD ∥面PEC.。